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histograma, polígono de frecuencias o diagrama de cajas. • Representar gráficamente las variables cuantitativas discretas mediante:

diagrama de barras y sectores. 1. Presenta ción Las variables cuantitativas son las que mayor información ofrecen, porque permiten el cálculo de índices matemáticos más complejos, proporcionando al investigador estudios más fiables. Precisamente, en este tema abordaremos el cálculo de los principal es índices estadísticos y su representación gráfica. 2. Ordenación de los datos Se trata de una técnica para la organización de los datos recogidos, estableciendo un orden. Para ello, la ordenación se hará de menor a mayor, de forma que el primer lugar lo tomará aquel sujeto que tenga el valor más bajo de la variable, y le seguirán los sujetos, sucesivamente, en orden ascendente hasta el valor máximo, que ocupará la última posición de la ordenación. Para ordenar los valores se utilizan dos métodos: el diagrama del tronco y hojas y la tabla de frecuencias por intervalos. 1. Diagrama de tronco y hojas Permite ordenar todos los valores originales y ofrece una interpretación visual de la distribución. ¿Cómo se elabora un diagrama de tronco y hojas? Para su construcción, cada valor de las variables se separa en dos partes. Los primeros dígitos de la puntuación son el tallo y el último dígito es la hoja, de forma que, por ejemplo, si estoy hablando del peso de una persona que es 68 kg, el primer dígito 6 será el tronco y la hoja será el 8. Lo primero que se tiene que hacer es detectar el valor mínimo y el máximo. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 4 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Desde el valor mínimo, se pondrán tantos troncos como haya hasta el valor máximo, y detrás de cada tronco se añadirán las hojas correspondientes en orden creciente. Elaboración de un diagrama de tronco y hojas En un estudio sobre leucemia, se han recogido las edades de 26 pacientes.

Ordenar los valores mediante un diagrama de tronco y hojas. 15, 13, 42, 35, 23,10, 22, 16, 20, 11, 30, 40, 44, 12, 26, 26, 28, 33, 34, 42, 10, 37, 49, 16, 16, 24. El valor mínimo es el 10 y el máximo el 49. Por lo tanto, los troncos serán:

1, 2, 3, 4. Detrás de cada tronco colocamos las hojas de forma ordenada. Diagrama de tronco y hojas: 1 : 0 0 1 2 3 5 6 6 6 2 : 0 2 3 4 6 6 8 3 : 0 3 4 5 7 4 : 0 2 2 4 9 Este diagrama permite detectar el máximo y mínimo, década en la que es más frecuente la leucemia, valor que más se repite (16). Las principales ventajas de este diagrama son: • Fácil de construir. • Localiza fácilmente medi das de posición y de orden. • Identifica concentraciones de datos. • Localiza faltas de datos. • Indica la amplitud de la distribución. • Identifica valores alejados. 2. Tablas de frecuencias por intervalos En las variables cuantitativas continuas (y ocasionalmente en las cuantitativas discretas), en las que a veces se trabaja con series de datos muy amplias, se recomienda agrupar dichos valores por intervalos. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 5 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Para ello, hay que tener en cuenta: • Número de intervalos. • Límite de los intervalos de clase. • Amplitud del intervalo. • Punto medio del intervalo. • Tipos de frecuencias. Frecuencias por intervalos En un estudio sobre leucemia, se han recogido las edades de 26 pacientes.

Ordenar los valores mediante una tabla de frecuencias por intervalos. 15, 13, 42, 35, 23,10, 22, 16, 20, 11, 30, 40, 44, 12, 26, 26, 28, 33, 34, 42, 10, 37, 49, 16, 16, 24. El valor mínimo es el 10 y el máximo el 49. Por lo tanto, los intervalos elegidos serán los de la decena, veintena, treintena y cuarentena. Tabla 1. Ejemplo tabla de frecuencias por intervalos . Edad Lim Fa Fr % Faa Far Amplitud 10 -19 9,5 -19,5 9 0,35 35 9 0,35 10 20 -29 19,5 -29,5 7 0,27 27 16 0,62 10 30 -39 29,5 -39,5 5 0,19 19 21 0,81 10 40 -49 39,5 -49,5 5 0,19 19 26 1 10 Total 26 1 100 Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 6 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. 3. Índices estadísticos basados en ordenaciones Son índices que se calculan a partir de la posición que ocupa un sujeto, con respecto al resto de participantes de la muestra. Son útiles para aquellas distribuciones que tienen valores alejados y que los valores de la variable de cada sujeto no se agrupan en torno a un valor central, donde está la mayoría de los sujetos. Los valores muy alejados pierden peso porque no intervienen en los cálculos. Los índices son los percentiles, deciles, quintiles, cuartiles y mediana. Tabla 2. Índices basados en ordenaciones: percentiles, deciles, quintiles, cuartiles y mediana. Índice estadístico Descripción Percentiles Resultan de dividir a la distribución en 100 p artes iguales (hay 99). El percentil que ocupa un sujeto indica, según el valor que tenga su variable, la posición con respecto al resto de los individuos de la muestra. El percentil de orden K es aquel que deja por debajo del K% de sujetos con valores de la variable inferiores al suyo. Deciles Dividen a la distribución en 10 partes iguales (hay 9). Quintiles Dividen a la distribución en 5 partes iguales (hay 4). Cuartiles Dividen a la distribución en 4 partes iguales (hay 3): Q 1, Q 2 y Q 3. Mediana Dividie a la distribución en dos partes iguales. El 50 % de los individuos tendrán valores inferiores a ella y el otro 50 % valores superiores. ¿Cuál es la equivalencia entre los índices estadísticos? • D1 = P10, D2 = P20, D3 = P30…, D5 = P50 • Q1 = P25, Q2 = P50, Q3 = P75 • Md = Q2 = P50 = D5 Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 7 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. 4. Cálculo de percentiles En el cálculo de percentiles, hay que tener en cuenta si es sin intervalo o en una tabla de frecuencias con intervalo. 1. Sin intervalo: todos los datos de la distribución ordenados, según el valor de variable más pequeña, hasta el valor de la variable más grande. • Para calcular el percentil de orden r (Pr) que ocupa una posición según el valor de su variable, que es j, hay que calcular cuá l es la posición de j para ese tanto por ciento. • Su fórmula es: = Pr · N 100 • El valor de la variable que ocupa esa posición (x) nos indica cuál es el valor del percentil r. • Puede surgir el problema de que, al calcular la posición j, esta no sea un número exacto, y que esté entre dos; lo que haremos será hallar la media entre los dos valores de la variable entre los que se encuentre la posición. Interpretación de la fórmula Para comprender los parámetros que presenta la fórmula, hay que tener en cuenta que: • n: n.º de sujetos. • Pr: el percentil. • 100: es el número en que debemos dividirlo para alcanzar el percentil (si fuera deciles se dividiría entre 10). Cálculo de percentiles En un estudio sobre leucemia, se han recogido las edades de 26 pacientes, que se presentan ordenados: 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 16, 16, 20, 22, 23, 24, 26, 26, 28, 30, 33, 34, 35, 37, 40, 42, 42, 44, 49 Para calcular el percentil 25: P25 se calcula la posición j; = 25 · 26 100 = 6,5 El valor de posición 6,5 se encuen tra entre la posición 6, cuyo valor es 15 años, y la posición 7, cuyo valor es 16 años , por lo tanto, el percentil 25 (P25) será la media entre estos dos valores de variables: 15 + 16 / 2 = 15,5 años. Explicación del P25: el 25 % de la población de enfermo s de leucemia tienen una edad igual o inferior a 15,5 años. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 8 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. 2. Cálculo de los percentiles en una tabla de distribución de frecuencias por intervalos: • Para calcular el percentil de orden r (Pr) que ocupa una posición según el valor de su variable, que es j, hay que calcular cuál es la posición de j para ese tanto por ciento: j = r x N / 100 (es una simple regla de 3). El valor de la variable que ocupa esa posición (x i) nos indica cuál es el valor del percentil r. • Una vez calculada la posición, se busca en la columna de la tabla de las frecuencias acumuladas, en donde hay que hacer una corrección del valor de la variable, porque esta no se ajusta a un número exacto de la posición. La corrección se ajusta a la fórmula siguiente: = lim + 100 − ·() Tabla de intervalos En un estudio sobre leucemia, se han recogido las edades de 26 pacientes. Para ordenar los valores y calcular el percentil 75 (P75), es necesario: = lim + 100 − ·() 75 = 20 75·26100 −9 7 ·(9)= 33 ,5 El P(75) equivale a 33,5 años. Interpretación de la fórmula Para comprender los parámetros que presenta la fórmula, hay que tener en cuenta que: • Lim inf : es el valor de la variable del límite inferior del intervalo donde se encuentra la posición del sujeto (esta posición la buscamos en las frecuencias relativas acumuladas). • r: rango del percentil. • n: n.º de sujetos. • fac : es la frecuencia acumulada del intervalo anterior (el anterior más bajo en el valor de las variables, con respecto al lugar ocupado por el indivi duo). • f: es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el valor de la variable. • i: es la amplitud del intervalo. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 9 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. 6. Medidas de tendencia central Los índices estadísticos de tendencia central son la media, la mediana y la moda: 1. Media: μ, . Pretende con un único valor representar el conjunto de datos. Se define como la suma de todos los valores de la variable ∑ Xi dividido por el total de sujetos de la muestra (n). La media tiene las mismas unidades que la variable. Se represent a por la letra µ cuando hablamos de población (índice teórico) y por el símbolo cuando hablamos de muestras. μ= ∑ x̅= ∑ 2. Mediana (Md). La mediana divide a la distribución en dos partes iguales: 50 % de los individuos tienen valores menores que e lla y el otro 50 % mayores. Equivale al percentil 50, sus unidades son las de la variable. 3. Moda (Mo). Es el valor de la variable (xi) que más veces se repite, es decir, el de mayor frecuencia absoluta. En el caso en que haya dos modas, se dirá que la distr ibución es bimodal; si hubiera tres, se dirá que es trimodal. Media y varianza en variables agrupadas Las fórmulas para el cálculo de la media y la varianza son: μ= ∑ x̅= ∑ Cálculo de la mediana Si en la siguiente muestra se quiere indicar el valor de la mediana: 22, 33, 43, 12, 17, 11. Será el valor de la variable que ocupa el valor central. Previamente habrá que ordenar los datos de menor a mayor: 12, 12, 17, 22, 33, 43. Como la distribución es par, la mediana será la media de los dos valores centrales: (17 + 22) / 2 = 19,5 En la siguiente tabla se muestra el número de hijos por mujer en una muestra de 20 mujeres. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 10 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Para indicar el valor de la moda, el razonamiento es el siguiente: Tabla 3. Cálculo de la moda . N.º de hijos 0 5 2 3 4 N.º de mujeres 5 5 4 3 3 La moda será 0 hijos y 1 hijo. Por lo tanto, la distribución es bimodal. 7. Medidas de variabilidad En las medidas de variabilidad, los valores se agrupan en torno a la media, que por sí sola ofrece una información poco fiable y precisa de la varianza y la desviación típica o estándar. Por ejemplo, tenemos una muestra A de 5 sujetos con los siguientes valores para la variable edad: 1, 5, 56, 66, 32 (años), y una muestra B de 5 sujetos con valores para la edad de: 30, 31, 33, 34, 32 (años). Las medias de ambas muestras presentan el mismo valor: = 32 (años). Sin embargo, entre estas dos muestras hay una gran diferencia, aunque presenten la misma media. En la segunda, los datos son mucho más fiables que los de la primera por ser más parecidos. Por lo tanto, la media tendrá que ir acompañada de una medida de dispersión , que nos diga si los datos son próximos a la media o si, por el contrario, están alejados.

Cuanto menor sea la dispersión, mejor me representará la media la dis tribución de la muestra. 4. Varianza: (σ 2 · S2x) Es una medida de dispersión media que se basa en la diferencia entre el valor de la variable ordenada (Xi) y la media. Su cálculo es la suma de la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distri bución. Sus unidades son las de la variable al cuadrado. 2= ∑ (− )2 N 5. Desviación típica : σ, S, DE Es una medida de dispersión que se calcula a partir de la varianza. Es la raíz cuadrada de la varianza. Sus unidades son las de la variable. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 11 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. ¿De dónde sale la fórmula de la varianza? Para comprobar cómo son de cercanos o lejanos nuestros valores de la variable, lo único que tendremos que hacer es comparar cada valor de la variable con la media individualmente (hallar la diferencia): (x1 - x), (x 2 - x), (x 3 - x) … (x n - x) Estos valores podrán ser negativos (cuando la variable sea mayor que la media) y positivos; para evitar los números negativos, elevaremos todos los valores al cuadrado. (x1 - x)2, (x 2 - x) 2, (x 3 - x) 2 … (x n - x) 2 8. Medidas de dispersión Las medidas de dispersión son la amplitud o recorrido, el rango intercuartil y el coeficiente de variación de Pearson, que es una medida de dispersión relativa. • Amplitud o recorrido (A). Se define como la diferencia entre el valor máximo de la variable y el valor mínimo. Así, por ejemplo, en una distribución de las edades de los enfermos de leucemia, el valor máximo es de 77 años y el mínimo de 11 años, por lo que la amplitud de la distri bución es de 66 años. • Rango intercuartil (IQR). El rango intercuartil suministra información sobre la distribución interna de los datos de la variable, concretamente del 50 % de los valores centrales de la distribución. No tiene en cuenta los valores del 2 5 % de los datos más bajos y del 25 % de los valores más altos. Su cálculo es la diferencia entre el valor del percentil 75 menos el valor del percentil 25. IQR = P75 - P25 = Q 3 - Q1. • Coeficiente de variación de Pearson (CV). Es una medida de dispersión re lativa, que permite comparar variables que se miden en diferentes unidades o muestras. Su cálculo es el cociente entre la desviación típica y la media, multiplicado por 100. El CV carece de unidades y por ello la variable que tenga un mayor coeficiente de variación será la que más dispersión presente. = 100 Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 12 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Coeficiente de variación de Pearson Se han medido la talla y el peso de los varones, en dos períodos diferentes del crecimiento: a los dos años y a los 17, obteniéndose los valores de la tabla adjunta. ¿Qué es más variable a lo largo de los años, el peso o la talla? Tabla 4. Cálculo del coeficiente de variación de Pearson Edad Peso (Kg) Media Peso (Kg) DE Talla (cm) Media Talla (cm) DE 2 años 12,4 2,05 87 4,1 17 años 60,8 6,69 147,3 5,9 = 2ñ 100 = 2,05 12,4 100 = 16 ,5 = 2ñ 100 = 4,1 87 100 = 4,7 = 17 ñ 100 = 6,69 60 ,8 100 = 11 = 17 ñ 100 = 5,9 147 ,3 100 = 4 Lo que más varía es el peso, en ambas edades, más que la talla. 9. Concepto de simetría y curtosis La simetría y la curtosis son medidas que indican la dispersión de los datos. Si se trabaja con poblaciones o muestras de gran tamaño en variables de salud, las distribuciones son simétricas y me socúrticas; sin embargo, con muestras donde el azar puede influir, no siempre se cumplen estos requisitos. 1. Grado de simetría Una distribución es simétrica cuando el número de individuos a la derecha y a la izquierda de la mediana es muy semejante (Md -P25 v alor muy semejante a P75 -Md). Si por el contrario hay más valores a un lado u otro de la mediana, habrá una dispersión de datos y la distribución será asimétrica. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 13 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Dependiendo de a qué lado de la distribución, con respecto a la mediana, haya más individuos se dirá que presenta asimetría a la derecha (valores más pequeños) o asimetría a la izquierda (valores más grandes). Figura 1. Grados de simetría . 2. Medidas de forma: curtosis o apuntamiento La curtosis es una medida de la forma o apuntamiento de las distribuciones. Así, las medidas de curtosis (también llamadas de apuntamiento o de concentración central) tratan de estudiar la mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribución. Las curvas simétricas pueden tomar tres formas: leptocúrtica (gran concentración de valores), mesocúrtica (concentración normal) y platicúrtica (baja concentración). Figura 2. Medidas de forma . ¿Cómo expresar la simetría? También se puede expresar la simetría como: Asimétric a +, Asimétrica – y Simétrica. Para ello existe una fórmula: = (75 + 25)+ 2 75 + 25 Donde S puede tomar los siguientes valores: • S > 0 Asimétrica + • S < 0 Asimétrica – • S = 0 Simétrica Cuando una muestra es simétrica, la media y la mediana coinciden en su valor. Hay otra fórmula para calcular la simetría de la distribución que compara media con mediana. 1= 3 (X− Md ) S Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 14 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. La simetría puede tomar los siguientes valores: • = 0: distribución simétrica, media y mediana coinciden. • > 0: valor positivo, existen valores alejados por la derecha. • < 0: valor negativo, existen valores alejados por la izquierda. 10. Representación gráfica Es la visualización de las distribuciones de las frecuencias. Las representaciones gráficas ofrecen una informació n global de forma resumida. Normalmente, la variable se representa en abscisas y en ordenadas las frecuencias o porcentajes correspondientes. 1. Histograma La representación de una variable cuantitativa continua se denomina Histograma o Polígono de frecuencia s. • Histograma . Se parte de datos ordenados mediante diagrama de tallo y hojas y luego se agrupan en intervalos de clase. Sobre cada intervalo se dibuja un rectángulo, con área igual a la frecuencia correspondiente. La altura del rectángulo es igual a la fr ecuencia dividida por la amplitud (límites del intervalo). • Polígono de frecuencias . Resulta al unir los centros de los extremos superiores de cada barra. Figura 2. Representación gráfica de frecuencias . 2. Diagrama de cajas Es la representación gráfica de una variable cuantitativa para expresar los índices de ordenación (percentiles y cuartiles). Consiste en un rectángulo de tamaño arbitrario, cuyos extremos representan el valor del percentil 25 (cuartil 1) y el percentil 75 (cuart il 3) en el otro extremo. En el interior del rectángulo aparece una franja, que representa el valor de la mediana (percentil 50 o cuartil 2). Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 15 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. De ambos extremos de la caja salen unas patillas cuyo final representan el mínimo y el máximo de la distribución. También están representados los valores anómalos, que son valores de la variable muy alejados. Figura 3. Interpretación de un diagrama de cajas . ¿Cómo se representa? Se representan los límites de cada clase sobre el eje de abscisas y en el eje de orde nadas el cociente entre frecuencia y amplitud de los intervalos. La base está centrada en el punto medio de la clase representada y una amplitud igual a la del intervalo que representa. La superficie será igual al número de casos del intervalo. El histograma tiende a representar de forma empírica la distribución de la probabilidad de una variable. El área de cada barra representa la frecuencia que es fundamental cuando los intervalos de clase no tienen amplitudes iguales. 11. Propiedades de la cur va normal En una distribución normal se cumple: • El 100 % de los sujetos de la distribución están englobados debajo de la curva. • El área de debajo de la curva es igual a 1. • La curva es simétrica con respecto a la media. • Al ser simétrica, media, mediana y mo da coinciden. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 16 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. • La media se sitúa en el centro de la distribución. • A ambos lados de la curva hay dos puntos la distancia. Estos dos puntos y la media se corresponden con el valor de la desviación estándar. • El intervalo de valores, que va desde la media más l a desviación estándar, y la media menos la desviación estándar agrupa al 68 % de los valores de la población representada en la curva. • El intervalo de valores, que va desde la media más dos veces el valor de la desviación estándar, y la media menos dos vec es el valor de la desviación estándar agrupa al 95 % de los valores de la población representada debajo de la curva. • El intervalo de valores, que va desde la media más 2,57 veces el valor de la desviación estándar, y la media menos 2,57 veces el valor de l a desviación estándar agrupa al 99 % de los valores de la población representada debajo de la curva. • El intervalo de valores, que va desde la media más tres veces el valor de la desviación estándar, y la media menos tres veces el valor de la desviación est ándar agrupa al 99,75 % de los valores de la población representada debajo de la curva. Figura 4. Curva normal. 12. Resumen En la estadística descriptiva, es necesario conocer la ordenación de una variable cuantitativa continua para los casos que se prec ise. Hay dos metodologías a emplear: • El diagrama de tronco y hojas, que permite ordenar los valores originales además de ofrecer una interpretación visual de la distribución. • La tabla de frecuencias por intervalos, que permite ordenar series de datos muy amplias que requieren que se agrupen por intervalos. Iniciación a la investigació n educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 17 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Los principales índices estadísticos descriptivos son: • Percentiles. • Media. • Moda. • Medidas de desviación. • Medidas de dispersión. Finalmente, ten en cuenta que la representación gráfica de estas variables, así como la elección del gráfico más apropiado, es fundamental para presentar la información que ofrecen las variables cuantitativas, siendo destacables: • Los histogramas. • Polígono de frecuencias. • Diagrama de cajas. Iniciación a la investigación educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas 18 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Anexo Iniciación a la investigación educativa Tema 15. Descripción de variables cuantitativas . Anexo 19 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. Anexo. Tabla de frecuencias por intervalos Los aspectos más relevantes que hay que tener en cuenta, cuando se agrupan las variables cuantitativas en intervalos, son: 1. Número de intervalos. El investigador decide a priori el número de intervalos con los qu e quiere trabajar. Se ha dicho en alguna ocasión que el número de intervalos óptimo sería igual a la raíz cuadrada del número de observaciones realizadas; esta regla es orientativa y no debe utilizarse de manera estricta. Una vez decidido el número de inte rvalos de clase que formarán la tabla de frecuencias, se colocarán en la primera columna. 2. Límite de los intervalos de clase. Son los extremos de cada uno de los tramos en que se han dividido los valores que puede tomar la variable; el límite inferior se corresponde con el valor mínimo y el límite superior se corresponde con el valor máximo que puede tomar la variable de cada intervalo. Debemos distinguir los límites exactos o reales que corresponden a los extremos verdaderos de los cortes que hemos realiza do, de los límites aparentes, que son los valores de los extremos que figuran en la tabla de distribución de frecuencias. Ejemplo: a) 70‐79 79‐88 88‐97 b) 70‐79 80‐89 90‐99 En el ejemplo a) coinciden estos dos tipos de límites, mientras que si se opta por la forma b), al observar los límites aparentes de estos intervalos, comprobamos que existe un salto de una unidad entre el extremo inferior de un intervalo y el límite super ior del siguiente. En este caso los límites exactos o reales de estos intervalos se forman al añadir a cada extremo aparente del intervalo media unidad para que exista continuidad. 65,5 ‐ 79,5 79,5 ‐ 89,5 89,5 ‐ 99,5 Siempre se deben especificar los lí mites exactos del intervalo. 3. Amplitud del intervalo: es la distancia entre el límite exacto inferior y el límite exacto superior de un intervalo : o Punto medio del intervalo . es el valor representativo de todos los valores que componen un determinado interv alo de clase; se calcula sumando ambos límites y dividiendo por 2. El proceso de enseñanza -aprendizaje I Tema 15. Descripción de variables cua ntitativas . Anexo 20 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. o Tipos de frecuencias: – F. Absolutas (Fa) es el número de veces que se repite la variable estudiada. Su suma equivale al total de la muestra. – F. Relativas (Fr) resultan de dividir las frec uencias absolutas por el total de sujetos que integran la muestra. Su suma es igual a la unidad. – F. Absolutas acumuladas (Faa) son aquéllas que expresan el sumatorio del número de veces que ocurren determinados valores de la variable hasta el valor dado. – F. Relativas acumuladas (Fra) se calculan dividiendo las frecuencias absolutas acumuladas por el número total de individuos de la muestra. Porcentajes (%) resultan de multiplicar las frecuencias relativas por 100. De la misma forma podemos calcular los porcentajes acumulados. El proceso de enseñanza -aprendizaje I Tema 15. Descripción de variables cua ntitativas . Anexo 21 © Copyright Universidad Europea. Todos los derechos reservados. © Todos los derechos de propiedad intelectual de esta obra pertenecen en exclusiva a la Universidad Europea de Madrid, S.L.U. Queda terminantemente prohibida la reproducción, puesta a disposición del público y en general cualquier otra forma de explotación de toda o parte de la misma. La utilización no autorizada de esta obra, así como los perjuicios ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial de la Universidad Europea de Madrid, S.L.U., darán lugar al ejercicio de las acciones que legalmente le correspondan y, en su caso, a las responsabilidades que de dicho ejercicio s e deriven.