What is difference of external and internal?

2. Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The M c. Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10 th ed), 2010.

C ũng nh ư các tài li ệu trong n ướ c, phù h ợp điều ki ện, ch ươ ng trình đào t ạo c ủa Vi ệt Nam nh ư:

1. Nguy ễn Huy Hoàng – Toán c ơ sở cho kinh t ế, NXB Thông tin và Truy ền thông, 2011& NXB GD, 2014. N ội dung cu ốn giáo trình, đượ c trình này d ướ i d ạng mô hình và ph ươ ng pháp gi ải bao g ồm 3 ch ươ ng và m ột ph ụ lục Toán cao c ấp, cùng m ột s ố đề tham kh ảo để sinh viên, có th ể tự rèn luy ện. Đố i tượ ng chính c ủa giáo trình là sinh viên h ệ đào t ạo ch ất lượ ng cao, nên ở m ỗi ch ươ ng chúng tôi có gi ới thi ệu thu ật ng ữ Anh – Vi ệt, giúp sinh viên d ễ dàng đọ c sách tham kh ảo b ằng ti ếng Anh.

N ội dung c ụ th ể giáo trình :

Ch ươ ng 1. M ột s ố mô hình đạ i s ố tuy ến tính nh ư mô hình cân đố i liên ngành, mô hình IS – LM, các mô trình cân b ằng th ị tr ườ ng… Ch ươ ng 2. S ử d ụng đạ o hàm trong phân tích kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh nh ư: phân tích hàm c ận biên, h ệ số co dãn, h ệ số tăng tr ưở ng, t ối ưu hàm m ột bi ến…Trình bày ph ươ ng pháp s ử dụng công c ụ tích phân trong kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh nh ư: tìm hàm t ổng khi bi ết hàm c ận biên, hàm qu ỹ vốn khi bi ết hàm đầ u t ư, tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và c ủa ng ườ i tiêu dùng và ph ươ ng trình vi phân áp d ụng phân tích kinh t ế nh ư: tìm hàm c ầu khi bi ết h ệ số co dãn,… 6 Ch ươ ng 3. Trình bày các ứng d ụng đạ o hàm riêng và vi phân toàn ph ần trong phân tích kinh t ế nh ư phân tích c ận biên, h ệ số co dãn riêng, m ột s ố hình t ối ưu hàm nhi ều bi ến trong kinh t ế nh ư tối đa hóa l ợi nhu ận, t ối thi ểu hóa chi tiêu, …Các mô hình t ối ưu có điều ki ện ràng bu ộc: t ối đa hóa l ợi ích v ới ràng bu ộc ngân sách chi tiêu, … Để thu ận l ợi trong vi ệc tra c ứu các ki ến th ức c ơ bản v ề Toán cao c ấp, ph ục v ụ vi ệc gi ải thích các ki ến th ức n ền cho phân tích kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh chúng tôi đư a vào ph ần ph ụ lục Toán cao c ấp.

Giáo trình do TS. Nguy ễn Huy Hoàng và ThS. Nguy ễn Trung Đông là các gi ảng viên có nhi ều n ăm kinh nghi ệm gi ảng d ạy toán dành cho sinh viên kh ối ngành kinh t ế và qu ản tr ị kinh doanh, cùng biên t ập.

Giáo trình ch ắc ch ắn còn nhi ều thi ếu sót, r ất mong đượ c s ự góp ý c ủa các đồ ng nghi ệp cùng các em sinh viên. M ọi ý ki ến đóng góp xin g ởi v ề địa ch ỉ email: [email protected] và [email protected] . Xin trân tr ọng c ảm ơn!

Các tác gi ả 7 MỘT SỐ KÝ HIỆU 1. Q : Sản lượng. 2. D : Cầu. 3. S : Cung. 4. DQ: Lượng cầu. 5. SQ : Lượng cung. 6. P : Giá bán. 7. L : Lao động (nhân công). 8. MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động. 9. K : Vốn (tư bản). 10.  : Lợi nhuận. 11. TR : Tổng doanh thu. 12. MR: Doanh thu biên. 13. TC : Tổng chi phí. 14. FC : Chi phí cố định. 15. VC : Chi phí biến đổi (chi phí khả biến). 16. MC: Chi phí biên. 17. AC : Chi phí trung bình (chi phí bình quân). 18. T : Tổng thuế. 19. t : thuế trên một đơn vị sản phẩm. 20. TU : Tổng hữu dụng. 21. MU: Hữu dụng biên. 22. Y X: Hệ số co giãn của Y theo X. 23. Yr: Hệ số tăng trưởng của Y (nhịp tăng trưởng của Y). 24. dY : Thu nhập khả dụng. 25. I : Nhu cầu đầu tư của dân cư. 26. G : Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ. 27. X : Nhu cầu xuất khẩu. 28. M : Nhu cầu nhập khẩu. 29. IS – LM : Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền. 8 Chương 1 Một số mô hình đại số và tuyến tính áp dụng trong phân tích kinh tế 1.1. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input – Output của Leontief) Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu một mô hình kinh tế, công cụ chủ yếu để giải mô hình này là các phép toán đối với ma trận và định thức. 1.1.1. Giới thiệu mô hình Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa nào đó (output) đòi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyên liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng, nó bao gồm: – Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất. – Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu,... Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, 2,..., n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền. Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i (i 1, 2,..., n) được ký hiệu, ix và xác định bởi: i i1 i 2 in ix x x x b (i 1, 2, ..., n)      (1.1) Trong đó: ikx: là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản xuất của mình (giá trị cầu trung gian). ib : là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu (giá trị cầu cuối cùng). Tuy nhiên, trong thực tế, ta thường không có thông tin về giá trị cầu trung gian ikx , nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào của sản xuất. 9 Gọi ika: là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i, nó được tính bởi công thức: ikikkxa i 1, 2,..., nx  Trong đó +) ik0 a 1 , và ở đây, giả thiết ika là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i, k 1, 2, ..., n . Người ta còn gọi ika là hệ số chi phí đầu vào và ma trận. +) iknA a được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào (ma trận hệ số kỹ thuật). +) Giả sử ika 0, 3 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình, ngành k đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất. Đặt 12nbbBb       Ta gọi X là ma trận tổng cầu và B là ma trận cầu cuối cùng. Khi đó, từ đẳng thức (1.1), thay ik ik kx a x  chúng ta có: i i1 1 i 2 2 in n ix a x a x a x b (i 1, 2,..., n)         Hay biểu diễn dưới dạng ma trận: 1 11 12 1n 1 12 21 22 2 n 2 2n n1 n 2 nn n nx a a ... a x bx a a ... a x b ... ... ... ... x a a ... a x b                                              Tức là X AX B  (1.2) 1.1.2. Phương pháp giải Từ (1.2), ta có I A X B  Trong đó, I là ma trận đơn vị cấp n, nếu I A không suy biến thì: 10 1X I A B  (1.3) Công thức (1.3) được gọi là công thức tính ma trận tổng cầu. +) Ma trận I A được gọi là ma trận Leontief. Như vậy, nếu chúng ta biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các ngành sản xuất. +) Ma trận 1ijn nC I A c  , và gọi là ma trận hệ số chi phí toàn bộ. Hệ số ijc cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành j, thì ngành i cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là ijc. 1.1.3. Các ví dụ Ví dụ 1. Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất: ngành 1 và ngành 2 có ma trận hệ số kỹ thuật là: 0, 2 0, 3A0, 4 0,1    Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự là 10, 20 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành. Giải Gọi 12xXx    là ma trận tổng cầu. Với 1x là giá trị tổng cầu của ngành 1, 2x là giá trị tổng cầu của ngành 2. Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 10B20    Ta có: 0, 8 0, 3I A0, 4 0, 9     Ma trận phụ hợp tương ứng 0, 9 0, 3I A *0, 4 0, 8     11 Ma trận nghịch đảo của I A 10, 9 0, 31I A0, 4 0, 80, 6     Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1X I A B  Vậy ma trận tổng cầu là: 250, 9 0, 3 10 151 1X1000, 4 0, 8 20 200, 6 0, 63                       Hay: Giá trị tổng cầu của ngành 1 là 1x 25 tỉ đồng. Giá trị tổng cầu của ngành 2 là 2100x3 tỉ đồng. Ví dụ 2. Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2 và ngành 3. Biết ma trận hệ số kĩ thuật là: 0, 4 0,1 0, 2A 0, 2 0, 3 0, 20,1 0, 4 0, 3      và giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành thứ tự là 40, 40 và 110 (đơn vị tính: nghìn tỉ đồng). Hãy xác định giá trị tổng cầu của từng ngành sản xuất. Giải Gọi 123xxXx      là ma trận tổng cầu. Với 1x là giá trị tổng cầu của ngành 1, 2x là giá trị tổng cầu của ngành 2, 3x là giá trị tổng cầu của ngành 3. Theo giả thiết ma trận cầu cuối B có dạng: 40B 40110      12 Ta có: 1 0 0 0, 4 0,1 0, 2 0, 6 0,1 0, 2I A 0 1 0 0, 2 0, 3 0, 2 0, 2 0, 7 0, 20 0 1 0,1 0, 4 0, 3 0,1 0, 4 0, 7                                 Định thức của ma trận I A 0, 6 0,1 0, 2I A 0, 2 0, 7 0, 2 0, 20,1 0, 4 0, 7       Ma trận phụ hợp tương ứng 0, 41 0,15 0,16I A * 0,16 0, 40 0,160,15 0, 25 0, 40       Ma trận nghịch đảo của I A 10, 41 0,15 0,161(I A) 0,16 0, 40 0,160, 20,15 0, 25 0, 40       Áp dụng công thức (1.3) để tính ma trận tổng cầu: 1X I A B  0, 41 0,15 0,16 40 2001X 0,16 0, 40 0,16 40 2000, 20,15 0, 25 0, 40 110 300                            Vậy giá trị tổng cầu của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 1x 200 (nghìn tỉ đồng), 2x 200 (nghìn tỉ đồng) và 3x 300 (nghìn tỉ đồng). Ví dụ 3. Trong mô hình input – output mở biết ma trận kỹ thuật số như sau 0, 2 m 0, 3A 0, 3 0,1 0, 20, 2 0, 3 0, 2      a) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. b) Tìm yêu cầu của ngành kinh tế mở khi m 0, 2 biết sản lượng của 3 ngành là 300, 250, 220. 13 c) Tìm m biết rằng khi sản lượng của 3 ngành là 400, 400, 300 thì ngành kinh tế thứ nhất cung cấp cho ngành kinh tế mở là 130. d) Với m tìm được ở câu c). Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận này. Giải a) Ý nghĩa 21a 0, 3: Hệ số này cho biết để sản xuất ra một đơn vị giá trị ngành 1 thì ngành 2 phải cung cấp trực tiếp cho ngành này một lượng sản phẩm có giá trị là 0,3. b) Gọi X là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành. Từ giả thiết đề cho, ta có 300X 250220      Giá trị sản lượng cầu cuối: 124B I A X 9141        c) Gọi Y là ma trận giá trị sản lượng của 3 ngành 123400 XY 400 X300 X            Từ giả thiết đề bài, ta có: 1 11 1 12 2 13 3 1X a X a X a X b    400 0, 2 400 400m 0, 3 300 130 m 0, 25.         d) Với m 0, 25. Ta có 0, 2 0, 25 0, 3A 0, 3 0,1 0, 20, 2 0, 3 0, 2      Ma trận hệ số chi phí toàn bộ: 11, 751 0, 769 0, 849C I A 0, 743 1, 538 0, 6630, 716 0, 769 1, 711        Hệ số 32c 0, 769 cho biết: để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu cuối cùng của ngành 2 thì ngành 3 cần phải sản xuất một lượng sản phẩm có giá trị là 0, 769. 14 1.1.4. Bài tập Bài số 1. Trong mô hình cân đối liên ngành cho ma trận hệ số kỹ thuật và ma trận cầu cuối. Hãy xác định ma trận tổng cầu: 1) 0, 2 0, 4 200A ; B0,1 0, 3 300           2) 0, 4 0, 2 0,1 40A 0,1 0, 3 0, 4 ; B 1100, 2 0, 2 0, 3 40                 3) 0, 3 0, 5 0, 3 20000A 0, 2 0, 2 0, 3 ; B 100000, 4 0, 2 0, 3 40000                 Đáp số: 1) 500X500   ; 2) 200X 300200     ; 3) 265178, 6X 175892, 9 .258928, 6      Bài số 2. Cho dòng 3 trong ma trận hệ số kỹ thuật của mô hình cân đối liên ngành gồm bốn ngành sản xuất là 0, 2 0,1 0, 2 0, 3 Hãy xác định số tiền mà ngành 4 phải trả cho ngành 3 để mua sản phẩm của ngành 3 làm nguyên liệu đầu vào của sản xuất, biết tổng giá trị sản phẩm của ngành 4 là 200 nghìn tỷ đồng. Đáp số: 60. Bài số 3. Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0, 3 0, 2A 0, 4 0, 2 0,10, 2 0, 3 0, 3      1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 1 của ma trận A. 2) Cho ma trận cầu cuối TB 110 52 90 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là TB 124 66 100 15 Đáp số: 1) 21a 0, 4; 2) 270X 239308     ; 3) 286X 230323     . Bài số 4. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là: 0, 2 0 0, 3A 0,1 0,1 0,10, 2 0, 2 0,1      1) Nếu ý nghĩa phần tử nằm ở dòng 1, cột 3 của ma trận A. 2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. 3) Cho biết ma trận cầu cuối của các ngành là TB 800 1500 700 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. Đáp số: 1) 13a 0, 3; 2) 0, 79 0, 06 0, 271C 0,11 0, 66 0,110, 5720, 2 0,16 0, 72     ; 3) 1592, 7X 2019, 2 .1580, 4      Bài số 5. Cho ma trận hệ số chi phí toàn bộ và ma trận tổng cầu như sau: 1, 5625 0, 3125 0, 3125 150C 0, 3977 1, 5341 0, 625 ; X 2000, 5398 0, 6534 1, 5625 150                 1) Nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận C. 2) Tìm ma trận hệ số kỹ thuật. 3) Tìm ma trận cầu cuối. Đáp số: 23c 0, 625; 2) 0, 3 0,1 0, 2A 0,1 0, 2 0, 30,1 0, 3 0, 2     ; 3) 55B 10045     . Bài số 6. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0, 3 0,1 0,1A 0,1 0, 2 0, 30, 2 0, 3 0, 2      1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận A. 2) Cho ma trận cầu cuối TB 70 100 30. Tìm sản lượng mỗi ngành. 16 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 2 tiết kiệm được 50% nguyên liệu lấy từ ngành 3 và ma trận cầu cuối là TB 50 80 20 Đáp số: 1) 23a 0, 3; 2) 150X 200150     ; 3) 102, 7X 141, 877, 3     . Bài số 7. Trong mô hình input – output mở gồm 3 ngành với ma trận hệ số kỹ thuật là 0,1 0, 3 0, 2A 0, 4 0, 2 0, 30, 2 0, 3 0,1      1) Nếu ý nghĩa kinh tế của phần tử nằm ở hàng 3 cột 2 của ma trận A. 2) Cho ma trận cầu cuối TB 118 52 96 . Tìm sản lượng của mỗi ngành. 3) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là TB 118 52 96 Đáp số: 1) 32a 0, 3; 2) 300X 320280     ; 3) 276, 3X 264, 7256, 3     . Bài số 8. Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t như sau: 0, 3 0, 2 0, 3A 0,1 0, 3 0, 20, 3 0, 3 0, 2      1) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này. 2) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ và nêu ý nghĩa phần tử nằm ở hàng 2 cột 3 của ma trận này. 3) Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành lần lượt là 180, 150, 100 (tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, biết rằng các hệ số chi phí năm (t 1) và năm t như nhau. Đáp số: 1) 23a 0, 2;2) 232 1 1C 0, 56 1, 88 0, 68 , c 0, 680, 96 1, 08 1, 88      ; 3) 610X 450, 8522, 8     . 17 Bài số 9. Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở bảng sau (đơn vị tính : triệu USD). Ngành cung ứng sản phẩm (Output) Ngành ứng dụng sản phẩm (Input) Cầu cuối cùng 1 2 3 4 1 80 20 110 230 160 2 200 50 90 120 140 3 220 110 30 40 0 4 60 140 160 240 400 Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ 3 chữ số thập phân). Đáp số: 600600X4001000       ; 0,133 0,033 0,275 0,230, 333 0,083 0,225 0,12A0, 367 0,167 0,075 0,040,1 0,233 0,4 0,24      . Bài số 10. Xét nền kinh tế có hai ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp là 0,1 0,15A0, 2 0,1    1) Tính định thức của ma trận B với 31B A .6 2) Cho biết mệnh đề sau đúng hay sai? 1 1A I A I I A     3) Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ. 4) Tìm sản lượng của mỗi ngành. Biết rằng do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu lấy từ ngành 2 và ma trận cầu cuối là Tb 20 40 . Đáp số: 1) 51B 1045  ; 2) Sai; 3) 1,1538 0,1923C0, 2564 1,1538   ; 4) 30, 5X49, 5   . 18 1.2. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế Trong phần này, chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế, công cụ toán học được sử dụng chính ở đây là hệ phương trình tuyến tính. 1.2.1. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan 1.2.1.1. Giới thiệu mô hình Giả sử chúng ta nghiên cứu thị trường bao gồm n hàng hóa có liên quan: hàng hóa 1, 2,..., n. Khái niệm này được hiểu là khi giá của một mặt hàng nào đó thay đổi thì nó không những ảnh hưởng tới lượng cung iSQ và lượng cầu iDQ của bản thân mặt hàng đó, mà nó còn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng cầu của các mặt hàng còn lại. Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các hàng hóa bởi hàm cung và hàm cầu như sau: iiS i 1 2 nD i 1 2 nQ S P , P ,..., P , i 1, 2,..., n;Q D P , P , ..., P , i 1, 2, ..., n.   Trong đó 1 2 nP , P , ..., P là ký hiệu thứ tự là giá của hàng hóa 1, 2,..., n. Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan (cân bằng cung cầu) được xác định bởi: i iS DQ Q , i 1, 2,..., n  (1.4) Nếu giả thiết các iSQvà iDQ i 1, 2,..., n có dạng tuyến tính, thì mô hình trên chính là một hệ gồm có n phương trình và n ẩn 1 2 nP , P ,..., P . Giải hệ phương trình chúng ta tìm được bộ giá cân bằng thị trường: 1 2 nP P , P ,..., P Thay vào iSQ(hoặc iDQ) chúng ta thu được bộ lượng cân bằng thị trường: 1 2 nQ Q , Q ,..., Q 1.2.1.2. Các ví dụ Ví dụ 3. Cho biết hàm cung, hàm cầu của thị trường hai loại hàng hóa như sau: 1 1S 1 D 1 2Q 2 3P ; Q 8 2P P      2 2S 2 D 1 2Q 1 2P ; Q 11 P P      19 Với 1SQ,2SQlà lượng cung hàng hóa 1 và 2. 1DQ,2DQlà lượng cầu hàng hóa 1 và 2. 1 2P , P là giá của hàng hóa 1 và 2. Khi thị trường cân bằng hãy thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn số là 1P và 2P. Sử dụng quy tắc Cramer (phương pháp định thức) xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: 1 12 2S D1 1 2 1 2S D 2 1 2 1 2Q Q2 3P 8 2P P 5P P 10Q Q 1 2P 11 P P P 3P 12                    Giải hệ bằng quy tắc Cramer: 5 1D 141 3 ; 1P10 1D 4212 3 ; 2P5 10D 701 12  Vậy bộ giá cân bằng là: 1 2P P1 2D D42 70P 3; P 5D 14 D 14         Lượng cân bằng là: 1 11 D S 1Q Q Q 2 3P 2 3.3 7         2 22 D S 2Q Q Q 1 2P 1 2.5 9         Ví dụ 4. Giả sử thị trường gồm hai loại hàng hóa: hàng hóa 1 và hàng hóa 2 có hàm cung và cầu như sau: 1S 1Q 2 2P  ; 1D 1 2Q 1 P P   2S 1Q 5 3P  ; 2D 1 2Q 2 5P P   trong đó: iSQ(i 1, 2): là lượng cung hàng hóa i. iDQ(i 1, 2): là lượng cầu hàng hóa i. iP (i 1, 2) : là giá hàng hóa i. 20 Bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, hãy xác định bộ giá và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa nói trên. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: 1 12 2S D1 1 2S D 2 1 2Q Q2 2P 1 P PQ Q 5 3P 2 5P P           hay 1 223P P 35P 4P 7    Giải hệ phương trình trên bằng quy tắc Cramer Đặt các ma trận sau: 12P3 1 3A ; B ; XP5 4 7               Ta có 3 1A 75 4 ; 14 11A5 37    Hệ phương trình trên tương đương: AX B Suy ra 1194 1 3 191 17X A .B5 3 7 36 367 77                         Vậy bộ giá cân bằng là: 1 219 36P ; P7 7     tương ứng với bộ lượng cân bằng là: 1 12 21 D S2 D S19 24Q Q Q 2 27 736 73Q Q Q 5 37 7           Ví dụ 5. Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau: 21 1 1S 1 D 1 3Q 10 P ; Q 20 P P      (chè) 2 2S 2 D 2 3Q 2P ; Q 40 2P P    (café) 3 3S 3 D 1 2 3Q 5 3P ; Q 10 P P P       (ca cao) Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của ba loại hàng hóa trên. Sử dụng quy tắc Cramer xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường. Giải Áp dụng công thức (1.4), ta có hệ phương trình: 1 12 23 3S D1 3S D 2 31 2 3S DQ Q2P P 30Q Q 4P P 40P P 4P 15Q Q          Xác định giá và lượng cafe ở trạng thái cân bằng thị trường bằng quy tắc Cramer: 2 0 1D 0 4 1 301 1 4 ; 2P2 30 1D 0 40 1 2801 15 4  Vậy giá cafe ở trạng thái cân bằng thị trường là: 2P2D280 28PD 30 3   và lượng cân bằng là: 22S28 56Q Q 2.3 3  . 1.2.2. Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân 1.2.2.1. Giới thiệu mô hình Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản, với các ký hiệu: Y là tổng thu nhập quốc dân, G là chi tiêu chính phủ, I là đầu tư hộ gia đình và C là tiêu dùng của các hộ gia đình. Chúng ta giả thiết rằng chi tiêu Chính phủ và đầu tư là cố định 0G G và 0I I, còn chi tiêu hộ gia đình có dạng tuyến tính: C aY b  0 a 1, b 0  . Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình, 2 ẩn Y và C: 22 O OO OY G I CY C G IaY C bC aY b         Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế. 1 1D 1 a 0a 1    (do 0 a 1 ) O OO OYG I 1D G I bb 1    ; O OO OC1 G ID b a G Ia b    Vậy O OYG I bDYD 1 a   O OCb a G IDCD 1 a   Tiếp theo, xét mô hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t% (thường biểu diễn dưới dạng thập phân). Khi đó, thu nhập sau thuế là: dY Y tY 1 t Y    và hàm chi tiêu khi đó có dạng: dC aY b a 1 t Y b     Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét mô hình với ảnh hưởng của yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu M. Khi đó, mô hình có dạng: O OY G I C X MC a 1 t .Y b       Chú ý Hai yếu tố xuất khẩu X và nhập khẩu M có thể cho dưới dạng hàm của thu nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước. Chúng ta vẫn biến đổi đưa mô hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C. 1.2.2.2. Các ví dụ Ví dụ 6. Cho mô hình sau: 23 dC 0, 8Y 250 ; 0I I; 0G G; dY 1 t Y  (t là thuế suất thu nhập). a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng. b) Tính mức thu nhập quốc dân và chi tiêu ở trạng thái cân bằng với 0I 150, 0G 500 (đơn vị: tỉ VNĐ) và t 0,15 (15%). Giải Đầu tiên ta xác định mô hình cân bằng: O OY G I CC 0, 8Y 250    Hay O OY C G I0, 8 1 t Y C 250      Ta có 1 1D 1 0, 8 1 t0, 8 1 t 1    ; O OO OYG I 1D G I 250250 1    ; O OO OC1 G ID 250 0, 8 1 t G I0, 8 1 t 250     . a) Vậy thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là: O OYG I 250DYD 1 0, 8 1 t    O OC0, 8 1 t G I 250DCD 1 0, 8 1 t     Nhận xét: Y và C phụ thuộc vào 0 0I , G và t. b) Với 0I 150, 0G 500, t 0,15 chúng ta có: 24 150 500 250 900Y 2812, 51 0, 8 1 0,15 0, 32     (tỉ VNĐ) 0, 8 1 0,15 150 500 250692C 2162, 51 0, 8 1 0,15 0, 32      (tỉ VNĐ). Ví dụ 7. Xét mô hình cân bằng: 0 0 0Y C I G X M     Với C a 1 t Y, 0 a 1   , t là thuế suất M b 1 t Y, 0 b 1    a) Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng Y, C bằng quy tắc Cramer. b) Tính Y và C khi t 0,1; a 0, 85; 0b 0,1; I 250; 0G 400 và 0X 100. Đơn vị tính 0 0 0I , G , X là tỉ VNĐ; t là %. Giải a) Ta thiết lập hệ 2 phương trình 2 ẩn Y và C : Ta có O O OY C I G X b 1 t YC a 1 t Y       O O O1 b 1 t Y C I G Xa 1 t Y C 0            Các định thức 1 b 1 t 1D 1 1 t b aa 1 t 1       ; O O OO O OYI G X 1D I G X0 1     ; O O OO O OC1 b 1 t I G XD a 1 t G I Xa 1 t 0        . Vậy thu nhập và chi tiêu quốc dân cân bằng là: O O OYG I XDYD 1 1 t b a     25 O O OCa 1 t G I XDCD 1 1 t b a      b) Khi 0 0t 0,1; a 0, 85; b 0,1; I 250; G 400     và 0X 100. Ta có: 250 400 100 750Y 2307, 69231 1 0,1 0,1 0, 85 0, 325     (tỉ VNĐ) 0, 85 1 0,1 250 400 100573, 75C 1765, 38461 1 0,1 0,1 0, 85 0, 325      (tỉ VNĐ). 1.2.3. Mô hình IS – LM Trong tiếng Anh, IS – LM là viết tắt của Investment/Saving – Liquidity preference/Money supply (Đầu tư/Tiết kiệm – Nhu cầu thanh khoản/Cung tiền) 1.2.3.1. Giới thiệu mô hình Mô hình IS – LM phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, chúng ta xét cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. Mục tiêu là chúng ta xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng. +) Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm  Chi tiêu chính phủ : 0G G  Chi tiêu hộ gia đình : C aY b, 0 a 1, b 0      Đầu tư : I d cr, c, d 0   với r là lãi suất.  Phương trình cân bằng thị trường hàng hóa, dịch vụ (Phương trình đường IS) 0 0Y C I G aY b cr d G        01 a Y cr b d G      +) Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố  Lượng cầu tiền: L L Y, r mY nr, m, n 0     Lượng cung tiền: 0M M  Phương trình cân bằng thị trường tiền tệ (Phương trình đường LM) 0L M mY nr M    Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng Y và r chúng ta thiết lập hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và r (mô hình IS – LM) 26 00(1 a )Y cr b d GISmY nr MLM       Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có: 1 a cD n 1 a mcm n    ; OO OOYb d G cD n b d G cMM n      ; OO OOr1 a b d GD 1 a M m b d Gm M       . Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là: O OYn b d G cMDYD n 1 a mc     O Or1 a M m b d GDrD n 1 a mc      . 1.2.3.2 Các ví dụ Ví dụ 8. Xét mô hình IS – LM với: C 0, 6Y 35 ; I 65 r ; 0G G; L 5Y 50r ; 0M M. a) Sử dụng quy tắc Cramer xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng. b) Tính Y, r khi 0 0G 70; M 1500  (nghìn tỉ VNĐ). Giải a) Phương trình đường IS: 0 0Y C I G 0, 6Y 35 65 r G        00, 4Y r 100 G    Phương trình đường LM: 0 0L M 5Y 50r M    Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình, 2 ẩn Y và r. 27 OO0, 4Y r 100 GIS5Y 50r MLM     Ta có 0, 4 1D 255 50   OO OOY100 G 1D 5000 50G MM 50     OO OOr0, 4 100 GD 0, 4M 500 5G5 M    Vậy O OY5000 50G MDYD 25   O Or500 5G 0, 4MDrD 25  . b) Với 0 0G 70; M 1500  chúng ta có: YD 5000 3500 1500Y 400D 25   (ngàn tỉ VNĐ) rD 500 350 600r 10D 25   %. Ví dụ 9. Xét mô hình IS – LM với: 0 00C a(1 t) b cr;I I ; G G ;L mY nr; M M .       Với các hệ số 0 a 1, b 0, c 0, m 0, n 0, 0 t 1       . a) Thiết lập mô hình IS – LM. b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer. c) Nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng thay đổi như thế nào? Giải a) Phương trình đường IS: 0 0Y C I G a 1 t Y b cr I G         28 0 01 a 1 t Y cr b I G          Phương trình đường LM: 0L M mY nr M    Mô hình IS – LM: O OO[1 a 1 t Y cr b I GISLMmY nr M        b) Giải mô hình bằng quy tắc Cramer: Ta có 1 a 1 t cD n 1 a 1 t mcm n          O OO O OOYb I G cD n b I G cMM n       O OO O OOr1 a 1 t b I GD 1 a 1 t M m b I Gm M             Vậy, O O OYn(b I G ) cMDYD n 1 a(1 t) mc      O O Orm b I G 1 a 1 t MDrDn 1 a 1 t mc             . c) Ta có O O O0n(b I G ) cMYn 1 a (1 t ) mc     O O O1n(b I G 1) cMYn 1 a (1 t ) mc      Suy ra 1 0nY Y Y 0n 1 a (1 t ) mc       Vậy nếu chi tiêu chính phủ tăng 1 đơn vị thì thu nhập cân bằng tăng: nn 1 a (1 t ) mc  . 29 1.2.4. Bài tập Bài số 1. Xét thị trường hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1 1S 1 D 1 2Q 1 P ; Q 20 2P P      2 2S 2 D 1 2Q P ; Q 40 P 2P    Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. Đáp số: 1 21 223 99 15 99P ; P ; Q ; Q .8 8 8 8    Bài số 2. Sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của hai loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1) 1 1S 1 D 1 2Q 2P ; Q 20 P P    2 2S 2 D 1 2Q 10 2P ; Q 40 P 2P      2) 1 1S 1 D 1 2Q 20 2P ; Q 100 5P P      2 2S 2 D 1 2Q 10 P ; Q 80 2P 4P      Đáp số: 1) 1 21 2130 170 260 230P ; P ; Q ; Q .11 11 11 11    2) 1 21 2170 130 120 20P ; P ; Q ; Q .11 11 11 11    Bài số 3. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1 1S 1 D 1 3Q 10 P ; Q 20 P P      2 2S 2 D 2 3Q 2P ; Q 40 2P P    3 3S 3 D 1 2 3Q 5 3P ; Q 10 P P P       Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng quy tắc Cramer. Đáp số: 1 2 31 2 341 28 8 11 56P ; P ; P ; Q ; Q ; Q 3.3 3 3 3 3      Bài số 4. Xét thị trường ba loại hàng hóa với hàm cung và hàm cầu như sau: 1 1S 1 3 D 1 2Q 60 6P 2P ; Q 120 5P P       2 2S 1 2 3 D 1 2 3Q 30 P 9P P ; Q 160 P 6P P         30 3 3S 1 3 D 2 3Q 20 2P 8P ; Q 140 P 4P       Hãy xác định bộ giá trị và lượng cân bằng thị trường của ba hàng hóa đó bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Đáp số: 1 2 319910 16760 17155P ; P ; P ;933 933 933   1 2 329170 28595 78760Q ; Q ; Q .933 311 933   Bài số 5. Xét thị trường có 4 loại hàng hóa. Biết hàm cung và cầu của 4 loại hàng hóa trên như sau: 1 1S 1 2 3 4 D 1 2 3 4Q 30 20P 3P P P ; Q 115 11P P 2P 5P           2 2S 1 2 3 4 D 1 2 3 4Q 50 2P 18P 2P P ; Q 250 P 9P P 2P           3 3S 1 2 3 D 1 2 3 4Q 40 P 2P 12P ; Q 150 P P 7P 3P          4 4S 2 3 4 D 1 3 4Q 15 2P P 18P ; Q 180 P 2P 10P         Tìm điểm cân bằng thị trường. Đáp số: 1 2 3 4P 10; P 15; P 15; P 10;    1 2 3 4Q 100; Q 260; Q 100; Q 120.    Bài số 6. Xét mô hình cân bằng thu nhập quốc dân: 0 0Y G I C;   C 0, 4Y 30.  Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết 0 0I 200, G 500  (triệu USD). Đáp số: 3650 3100Y ; C .3 6  Bài số 7. Xét mô hình 0 0Y G I C;  dC 0, 8Y; dY 1 t Y  Hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân ở trạng thái cân bằng bằng quy tắc Cramer, biết 0 0I 200, G 500  (triệu USD) và thuế suất thu nhập t 0,1. Đáp số: 17500Y ; C 4200.3  Bài số 8. Xét mô hình 31 0 0 0Y C G I X M    ; dC aY , (0 a 1)  ; d dY 1 t Y; M 0,1Y  . 1) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập và chi tiêu quốc dân Y, C ở trạng thái cân bằng. 2) Tính Y, C khi 0 0 0I 200, G 500, X 100, a 0,1    và t 0,1. Đáp số: 0 0 00 0 0G I Xa (1 t )(G I X )1) Y ; C ;a (1 t ) 0,1t 1,1 a (1 t ) 0,1t 1,1            2) Y 800; C 72.  Bài số 9. Xét mô hình Y C I;C 0, 8Y 50;I 20 5r;    0L 0, 5Y 100 r;M 200.   Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. Đáp số: 5700 50Y ; r .27 9  Bài số 10. Xét mô hình 0Y C I G ;   C 0, 8 1 t Y; t 0,1;   0G 200; I 100 r ; L 0, 5Y 2r; 0M 500. Hãy sử dụng quy tắc Cramer, xác định thu nhập và lãi suất ở trạng thái cân bằng. Đáp số: 55000 7500Y ; r .53 53  Bài số 11. Cho mô hình thu nhập quốc dân: 00 1 0 1 0 1 1 10 1 2 0Y C I GC b b Y (a , a , b , b 0; a b 1)I a a Y a R         32 trong đó: 0G là chi tiêu chính phủ; 0R là lãi suất; I là đầu tư; C là tiêu dùng; Y là thu nhập 1) Sử dụng quy tắc Cramer để xác định Y, C ở trạng thái cân bằng. 2) Với 0b 200; 1b 0, 7; 0a 100; 1a 0, 2; 2a 10; 0R 7; 0G 500. Tính Y, C. Đáp số: 1) 0 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 1 01 1 1 1a a R G b b a b a b a b R b GY ; C1 a b 1 a b          ; 2) Y 7300; C 5310.  Bài số 12. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế (đóng) có mối liên hệ sau: Y C I G;   dC 0, 85Y 70;  dY Y T.  trong đó: Y: là thu nhập quốc dân; C: là tiêu dùng dân cư; dY: là thu nhập khả dụng; I: là đầu tư; G: là chi tiêu chính phủ; T: là thuế. Với I 200; G 500; T 500.   Hãy 1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. 2) Phân tích chủ trương “kích cầu” của chính phủ thông qua chính sách giảm thuế. Đáp số: 1) Y 2300; 2) Chính phủ giảm thuế làm cho thu nhập tăng lên. Bài số 13. Một số chỉ tiêu kinh tế vĩ mô của nền kinh tế có mối liên hệ sau Y C I G X N;    C 0, 08 1 t Y;  N 0, 015 1 t Y.  trong đó: Y: là thu nhập quốc dân; C: là tiêu dùng dân cư; I: là đầu tư; G: là chi tiêu chính phủ; X: là xuất khẩu; M: là nhập khẩu; t: là thuế. Biết rằng I 700; G 900; X 600;t 0, 015. Hãy 1) Xác định thu nhập quốc dân ở trạng thái cân bằng. 2) Với chỉ tiêu ở câu 1, có ý kiến cho rằng nếu giảm xuất khẩu 10% thì chính phủ có thể tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập. Hãy nhận xét ý kiến này. Đáp số: 1) Y 2350, 490131; 2) Ý kiến trên sai. 33 Thuật ngữ chính chương 1 Tiếng Anh Tiếng Việt Consumption Disposable Income Equilibrium Price Equilibrium Quantity Demanded Export Gross Domestic Product Gross National Income Income Tax Rates Import Input – Output Model IS – LS Model Investment Money Demand Money Supply Market Prices Market Equilibrium Matrix of Producting Coefficients Market Model National Income Model Price Quantity Supplied Quantity Demanded Saving Tax The final demand matrix The matrix of Outputs Utility Tiêu dùng Thu nhập khả dụng Giá cân bằng Lượng cầu cân bằng Xuất khẩu Tổng sản phẩm quốc nội Tổng thu nhập quốc dân Thuế thu nhập Nhập khẩu Mô hình cân đối liên ngành Mô hình IS – LM Đầu tư Lượng cầu tiền Lượng cung tiền Giá thị trường Thị trường cân bằng Ma trận hệ số kỹ thuật Mô hình cân bằng Mô hình cân bằng kinh tế quốc dân Giá hàng hóa Lượng cung Lượng cầu Tiết kiệm Thuế Ma trận cầu cuối Ma trận tổng cầu Lợi ích 34 Chương 2 Áp dụng phép tính vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân vào phân tích kinh tế và kinh doanh 2.1. Bài toán lãi suất và hiệu quả đầu tư 2.1.1. Giới hạn e và bài toán lãi suất Định nghĩa số e nn1e lim 1n     với e 2, 71828... Giả sử ta có một khoản tiền 0V đồng (giá trị hiện tại) gửi vào ngân hàng với lãi suất cố định r% một năm. Gọi tV là số tiền ta có được sau t năm (giá trị tương lai): tt 0V V 1 r .  (2.1) Nếu trong một năm có n lần tính lãi với lãi suất mỗi lần tính là nrrn thì trong t năm có n t lần tính lãi. Vậy số tiền sau t năm có là ntntt 0 n 0rV V 1 r V 1n       Giả sử việc tính lãi trên là liên tục, tức là cho n ,  khi đó số tiền nhận được sau t năm: r.tnntrr.tt 0 0 0n nr rV lim V 1 lim V 1 V .en n                    (2.2) Công thức (2.2) là công thức tính lãi gộp liên tục. Giải ngược công thức (2.1), ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền tV sau t năm t0 tV V 1 r  (2.3) Giải ngược công thức (2.2) ta được công thức tính giá trị hiện tại của khoản tiền /tV sau t năm r.t0 tV V .e (2.4) 35 Ví dụ 1. Ngày 5/3/2016, giả sử Ông Bách gửi 10 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm lãi suất 5,24% năm. Tính số tiền Ông Bách sở hữu vào ngày 5/3/2020 (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt 4 năm). Giải Ta có +) Số tiền hiện tại vào ngày 5/3/2016: 0V 10 triệu đồng, +) Ngày đáo hạn 5/3/2020: t 4 năm, +) Lãi suất: r 5, 24%/năm. Áp dụng công thức (2.1), ta có lượng vốn được đầu tư trong 4 năm. Lượng tiền Ông Bách nhận được vào gày 5/3/2020, 44V 10 1 0, 0524 12, 267    triệu đồng. Ví dụ 2. Giả sử Ông Bách mong muốn sở hữu khoản tiền 20 triệu đồng vào ngày 2/3/2020 ở một tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi Ông Bách cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này vào ngày 2/3/2015 để đạt được mục tiêu đề ra (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt 5 năm). Giải Ta có +) Số tiền tương lai vào ngày 2/3/2020: 5V 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm, +) Lãi suất: r 6, 05%/năm. Áp dụng công thức (2.3), ta có lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm. Do đó, lượng vốn cần đầu tư vào ngày 2/3/2015 là : 50V 20 1 0, 0605 14, 91    triệu đồng. Ví dụ 3. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy liên tục với lãi suất 6%. So sánh với phương thức tích lũy năm lãi suất 6%. (Giả sử lãi suất không đổi trong suốt thời gian). Giải Ta có +) Số tiền tương lai sau 3 năm: 3V 20 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 3 năm, 36 +) Lãi suất: r 6%/năm. Áp dụng công thức (2.4) cho hiện giá 0V khi tích lũy liên tục : 0,06 30V 20 e 20 0, 835270 16, 705      triệu đồng. Áp dụng công thức (2.3) cho hiện giá 0V khi tích lũy theo năm : 30V 20 1, 06 16, 792   triệu đồng. Hiện giá theo phương thức tích lũy liên tục nhỏ hơn hiện giá theo phương thức tích lũy năm. Ví dụ 4. Sau 5 năm, một thương phiếu sẽ được thanh toán với số tiền là 10000 USD. Với lãi suất 9% năm, hãy tính giá trị hiện tại của thương phiếu. Giải Ta có +) Số tiền tương lai sau 5 năm: 5V 10000 triệu đồng, +) Kỳ hạn: t 5 năm, +) Lãi suất: r 9%/năm. Áp dụng công thức (2.3), ta có giá trị hiện tại của thương phiếu là 50V 10000 1, 09 6499, 31   (USD) 2.1.2. Đánh giá hiệu quả đầu tư Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phi triển khai dự án. Giá trị hiện tại ròng được tính theo công thức: tNPV B 1 r C   (2.5) trong đó, C là khoản chi phí hiện tại; B là khoản mà dự án đem về sau t năm, r là lãi suất năm. Một tiêu chuẩn cơ bản để dự án đầu tư được chấp thuận là NPV 0. Ví dụ 5. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án: +) Dự án 1. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 3000 USD sau 4 năm. +) Dự án 2. Chi phí hiện tại là 2000 USD và đem lại 4000 USD sau 6 năm. +) Dự án 3. Chi phí hiện tại là 3000 USD và đem lại 4800 USD sau 5 năm. Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào? Giải 37 Để trả lời câu hỏi này ta so sánh NPV của các dự án nói trên +) Chi phí hiện tại của các dự án 1 2 3C 2000, C 2000, C 3000   +) Khoản tiền mà các dự án đem lại 1 2 3B 3000, B 4000, B 4800   +) Lãi suất của các dự án 1 2 3r r r 10% 0,1    +) Kỳ hạn của các dự án 1 2 3n 4, n 6, n 5   Áp dụng công thức (2.5), ta có Dự án 1. 1n 41 1 1 1NPV B 1 r C 3000 1,1 2000 49, 04       USD. Dự án 2. 2n 62 2 2 2NPV B 1 r C 4000 1,1 2000 257, 9       USD. Dự án 3. 3n53 3 3 3NPV B 1 r C 4800 1,1 3000 19, 58       USD. Ta chọn dự án 2 vì dự án này NPV lớn nhất. 2.1.3. Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ là tổng số giá trị hiện tại của các kỳ khoản được phát sinh trong tương lai (Giá trị của chuỗi tiền tệ được quy về điểm gốc). Gọi +) ia là giá trị của kỳ khoản thứ i, i 1, 2,..., n, +) r là lãi suất một kỳ, +) n là số lần thanh toán, +) PV là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ. Công thức xác định giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ (cuối kỳ) như sau: niii 1PV a 1 r  (2.6) Nếu chuỗi tiền tệ cố định, tức là ia a, i 1, 2,.., n  thì nnii 11 (1 r)PV a 1 r ar    (2.7) 38 Ví dụ 6. Một dự án số vốn đầu tư ban đầu là 30000 USD sau một năm đem lại cho bạn đều đặn 5000 USD mỗi năm, liên tiếp trong 10 năm sau đó. Lãi suất không đổi 10%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Giải Để đánh giá dự án, ta tính giá trị hiện tại ròng của dự án Ta có +) Số tiền mỗi năm: a 5000 USD, +) Lãi suất: r 10% /năm, +) Kỳ hạn: n 10 năm, +) Vốn ban đầu: C 30000 USD Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 10n1 1,11 (1 r)PV a 5000 30722, 8r 0,1    USD. Giá trị hiện tại ròng: NPV PV C 30722, 9 30000 722, 8     USD. Vì NPV 0 nên chấp nhận dự án. Ví dụ 7. Một công ty ôtô bán xe VIOS theo hai phương án sau: +) Phương án 1. Trả luôn một lần với giá 18000 USD. +) Phương án 2. Trả ngay 5000 USD và nhận xe, phần còn lại trả góp theo quý (liên tục trong 6 quý) mỗi quý là 2450 USD, biết lãi suất là 3%/quý. Nếu cần mua xe ôtô bạn chọn phương án thanh toán nào? Giải Phương án 2. +) Số tiền mỗi năm: a 2450 USD, +) Lãi suất: r 3% /quý, +) Kỳ hạn: n 6 quý, Giá trị hiện tại của dòng tiền, ta áp dụng biểu thức (2.7): 6n1 1, 031 (1 r)PV a 2450 13272,12r 0, 03    USD. Tổng số tiền phương án 2 phải trả: 5000 13272,12 18272,12  USD. Kết luận. Trả góp đắt hơn. 39 2.1.4. Bài tập Bài số 1. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết: 1) Giá trị tương lai của khoản tiền 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm. 2) Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm. Đáp số: 1) 4,142 triệu đồng; 2) 3,252 triệu đồng. Bài số 2. Hôm nay, Ông Bách đầu tư 5 triệu đồng vào một tài khoản tiết kiệm với lãi suất năm 4,5%. 1) Tính giá trị số tiền ông ta sở hữu sau 5 năm, 10 năm, 30 năm. 2) Tính giá trị số tiền ông Bách sở hữu sau 10 năm khi lãi suất giữ nguyên ở mức 4,5% trong hai năm đầu, giảm xuống còn 3% trong năm năm kế tiếp và tăng lên thành 6% trong ba năm cuối. Đáp số: 1) 6,23; 7,765; 18,73; 2) 7,54. Bài số 3. Dân số thành phố A là 20000 người, tăng trưởng 3% năm, và của thành phố B là 30000, tăng trưởng 1% năm. Sau bao nhiêu năm thì dân số hai thành phố này bằng nhau. Đáp số : 20,7 năm. Bài số 4. Xác định giá trị nhận được bởi lượng vốn 10 triệu đồng đầu tư theo phương thức tích lũy liên tục trong 5 năm ở mức lãi suất năm 4%. Đáp số : 12,2 triệu đồng. Bài số 5. Xác định hiện giá của khoản tiền 20 triệu đồng nhận được sau 3 năm, khi tích lũy liên tục với lãi suất 6%. Đáp số : 16,71 triệu đồng. Bài số 6. Một dự án đòi hỏi số tiền đầu tư ban đầu là 6000 USD và sẽ đem lại 10000 USD sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án trên. Đáp số: NPV 499, 314. Bài số 7. Một công ty đề nghị góp vốn 3500 USD và đảm bảo sẽ trả 750 USD mỗi năm, liên tiếp trong 7 năm. Lãi suất không đổi là 9%/năm. Bạn có chấp nhận dự án này hay không? Đáp số: NPV 274, 715 USD. Bài tập 8. Xác định giá trị nhận được của lượng vốn 10 triệu đồng, đầu tư trong 4 năm ở mức lãi 3,5%, trong các điều kiện sau : 40 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm. Đáp số: 1) 11,503 triệu đồng; 2) 11,475 triệu đồng. Bài số 9. Với mức lãi 4%, tính hiện giá của khoản tiền 5 triệu đồng nhận được sau 4 năm, nếu phương thức tích lũy là 1) Tích lũy liên tục, 2) Tích lũy hàng năm. Đáp số: 1) 4,261 triệu đồng; 2) 4,274 triệu đồng. Bài số 10. Có 3 dự án cùng một số vốn ban đầu là 10000 USD và các luồng thu nhập CF như sau : +) Dự án A. Năm 1 2 3 CF 4000 USD 4000 USD 4000 USD +) Dự án B. Năm 1 2 3 CF 3000 USD 5000 USD 8000 USD +) Dự án C. Năm 1 2 3 CF 8000 USD 5000 USD 3000 USD Giả sử lãi suất cả 3 dự án đều là 10%. Nếu phải chọn 1 trong 3 dự án thì bạn nên chọn dự án nào ? Đáp số : Chọn dự án C. Bài số 11. Một doanh nhân bỏ ra K USD vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại rượu nho để bán vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai, biết giá của lô rượu này tăng theo quy luật ttV Ke (t là biến thời gian). Giả sử chi phí bảo quản trong đáng kể (có thể bỏ qua). Cho lãi suất liên tục r%. Hãy xác định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất. Đáp số : 21t .4r Bài số 12. Hãy xác định lãi suất r tính gộp liên tục một năm tương đương với lãi đơn gộp 5%/năm, tính lãi 1 năm 1 lần. Đáp số: 4,9%. 41 2.2. Áp dụng đạo hàm vào phân tích kinh tế và kinh doanh 2.2.1. Các hàm số thường gặp trong phân tích kinh tế và kinh doanh 2.2.1.1. Hàm sản xuất ngắn hạn Để tiến hành sản xuất, đầu tiên chúng ta cần các yếu tố đầu vào là vốn K và lao động L . Trong ngắn hạn, người ta giả thiết K là không thay đổi, khi đó sản lượng đầu ra Q sẽ phụ thuộc hàm số vào yếu tố đầu vào L và gọi là hàm sản xuất ngắn hạn: Q f L , L 0  Ví dụ 5. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 23Q 120.L; Q a.L (a 0, 0 1)     2.2.1.2. Hàm chi phí (tổng chi phí) +) Chi phí T C phụ thuộc đầu ra Q: TC TC Q , Q 0  Ví dụ 6. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào sản lượng Q 3 2TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0     0,3QTC Q 30.e 200  2TC Q 3Q 7Q 243   +) Chi phí T C phụ thuộc đầu vào L: LTC p .L TC L , L 0   (Lp giá thuê một đơn vị lao động). Ví dụ 7. Cho hàm chi phí phụ thuộc vào lao động L L LTC L p L 3.L L 0, p 3    . 2.2.1.3. Hàm doanh thu (tổng doanh thu) Doanh thu TR phụ thuộc đầu ra Q: TR P.Q TR Q , Q 0   (P ký hiệu là giá hàng hóa). Ví dụ 8. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào sản lượng Q 2TR Q 1200Q 3Q , Q 0   Doanh thu TR phụ thuộc đầu vào L : TR P.Q P.f L TR L , L 0    (P ký hiệu là giá hàng hóa) 42 Ví dụ 9. Cho hàm doanh thu phụ thuộc vào lao động L TR L 5.300 L 1500 L , L 0 (P 5; Q 300 L )    . 2.2.1.4. Hàm lợi nhuận (tổng lợi nhuận) Lợi nhuận  được tính bằng hiệu giữa doanh thu TR và chi phí T C: +) Lợi nhuận  phụ thuộc đầu ra: Q TR Q TC Q   Ví dụ 10. Cho hàm doanh thu 2TR Q 1200Q 3Q , Q 0   và hàm chi phí 3 2TC Q Q 6Q 140Q 1500, Q 0     Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào sản lượng Q 3 2Q TR Q TC Q Q 3Q 1060Q 1500, Q 0         +) Lợi nhuận  phụ thuộc đầu vào: L TR L TC L  . Ví dụ 11. Cho hàm sản xuất: Q 300 L, giá một đơn vị lao động là 3, giá sản phẩm là 5. Xác định hàm lợi nhuận. Ta có +) Hàm doanh thu : TR L PQ 5.300 L 1500 L   +) Hàm chi phí: LTC L p L 3L  +) Suy ra hàm lợi nhuận phụ thuộc vào lao động L L TR L TC L 1500 L 3.L, L 0     . 2.2.1.5. Hàm chi tiêu Chi tiêu C phụ thuộc thu nhập Y: C C Y , Y 0  Ví dụ 12. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0     . 2.2.1.6. Hàm tiết kiệm Tiết kiệm S phụ thuộc thu nhập Y: S S Y , Y 0  Ví dụ 13. Cho hàm tiết kiệm phụ thuộc vào mức thu nhập như sau: S Y 0, 3Y 0,1. Y 100, Y 0   . 2.2.1.7. Hàm cung và hàm cầu một loại hàng hóa Lượng cung và lượng cầu hàng hóa phụ thuộc vào giá hàng hóa: 43 +) Hàm cung: SQ S P , P 0 . +) Hàm cầu: DQ D P , P 0 . Ví dụ 14. Cho hàm cung và hàm cầu dạng tuyến tính như sau: +) Hàm cung: S P aP b (a, b 0)  . +) Hàm cầu: D P cP d (c, d 0)   . 2.2.2. Đạo hàm và giá trị cận biên Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi 0x là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. Hàm số ký hiệu /My f (x) được gọi là hàm cận biên. Giá trị /0 0My(x ) f (x ) được gọi là giá trị cận biên của hàm số f (x) tại điểm 0x (hay giá trị y cận biên của x tại điểm 0x). Đối với mỗi hàm số kinh tế cụ thể, giá trị cận biên có tên gọi cụ thể. Ý nghĩa. Tại 0x, khi đối số x thay đổi một đơn vị thì giá trị hàm số f (x) thay đổi một lượng xấp xỉ bằng /0 0My(x ) f (x ). Chú ý. Nếu /0 0My(x ) f (x ) 0  thì f (x) sẽ thay đổi cùng chiều với đối số x (nghĩa là f (x) tăng khi x tăng và f ( x ) giảm khi x giảm) và nếu /0 0My(x ) f (x ) 0  thì f (x) sẽ thay đổi ngược chiều với đối số x (nghĩa là f (x) tăng khi x giảm và f (x) giảm khi x tăng). Ví dụ 15. Cho hàm doanh thu 2TR Q 1200Q Q (Q 0)   a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR Q . b) Tại 0Q 590, nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị. c) Tính giá trị doanh thu cận biên tại 0Q 610 và nêu ý nghĩa kết quả nhận được. Giải a) Hàm doanh thu cận biên: /MR Q TR Q 1200 2Q (Q 0)    44 b) MR 590 1200 2.590 20 0    Vậy tại 0Q 590 , nếu sản lượng Q tăng một đơn vị thì doanh thu sẽ tăng một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị. c) MR 610 1200 2.610 20 0     Vậy tại 0Q 610, nếu sản lượng Q thay đổi một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi (ngược chiều) một lượng xấp xỉ 20 đơn vị (trong trường hợp này, khi Q tăng thêm một đơn vị thì doanh thu sẽ giảm một lượng xấp xỉ bằng 20 đơn vị). Ví dụ 16. Cho hàm sản xuất ngắn hạn: Q 30 L , L 0  a) Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động MPL L . b) Tại 0L 144, nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị? Giải a) Hàm sản phẩm cận biên của lao động: /15MPL L Q LL . b) 15 15 5MPL 144 1, 2512 4144    (đơn vị sản phẩm) Vậy tại 0L 144 , nếu lao động L tăng thêm một đơn vị thì sản lượng sẽ tăng một lượng xấp xỉ 1,25 đơn vị. Ví dụ 17. Cho hàm chi tiêu phụ thuộc vào thu nhập như sau: C Y aY b (0 a 1, b 0), Y 0      a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên MPC Y . b) Cho biết ý nghĩa kinh tế của hệ số a trong biểu thức hàm số đã cho. Giải a) Hàm xu hướng tiêu dùng cận biên: //M P C Y C Y aY b a    b) Tại mọi mức thu nhập, khi thu nhập thay đổi một đơn vị thì chi tiêu sẽ thay đổi xấp xỉ a đơn vị. Chú ý rằng, vì a 0 nên thay đổi của chi tiêu sẽ cùng chiều với thay đổi của thu nhập. 45 Ví dụ 18. Cho hàm tổng chi phí: 2TC Q 0,1Q 0, 3Q 100 (Q 0)    a) Tìm hàm chi phí cận biên MC Q . b) Tính chi phí cận biên tại mức sản lượng 0Q 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Giải a) Hàm chi phí cận biên: /MC Q TC (Q) 0, 2Q 0, 3   b) MC 120 0, 2 120 0, 3 24, 3    (đơn vị sản phẩm) Ý nghĩa. Tại mức sản lượng 0Q 120, khi sản lượng thay đổi một đơn vị thì chi phí sẽ thay đổi một lượng xấp xỉ bằng 24,3 đơn vị, tuy nhiên vì 24,3 > 0 nên chi phí cũng sẽ thay đổi cùng chiều với sản lượng. 2.2.3. Đạo hàm và hệ số co dãn Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra), gọi 0x là một điểm thuộc tập xác định của hàm số. Giá trị /0yx 0 00x(x ) y (x )y(x )  được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại 0x . Ý nghĩa. Tại 0x , khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm số y f (x) thay đổi một lượng xấp xỉ bằng yx 0( x )%. Ví dụ 19. Xét hàm cầu của một loại hàng hóa DQ D P , tại mức giá 0P : Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá 0P : /0D 0 00PP D PD P  Áp dụng với hàm cầu 2D P 6P P ,  tại mức giá 0P 5 và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào? Giải Áp dụng công thức trên ta có /D55 D 5 4D 5    46 Ý nghĩa. Tại mức giá 0P 5, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng 4%. Còn nếu giá tăng 3% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 3.(4%) = 12%. Ví dụ 20. Cho hàm sản xuất Q a.L , a 0, 0 1 .     Tại mức sử dụng lao động nào đó, tính hệ số co dãn của sản lượng theo lao động. Giải Hệ số co dãn của Q theo L 1/QLL .a.L(L ) Q ( L ) LQ ( L)a.L      Ý nghĩa. Tại mọi mức sử dụng lao động, nếu lao động thay đổi 1% thì sản lượng sẽ thay đổi (cùng chiều) một lượng xấp xỉ %. 2.2.4. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế. Nội dung. Khi giá trị của đối số x đủ lớn, nếu giá trị của x tăng thì giá trị cận biên My sẽ giảm, hay là // /M y f ( x ) 0 . Điều kiện //f (x) 0 là biểu thị toán học của Quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Ví dụ 21. Cho hàm sản xuất Q aL , a 0, 0   , hãy tìm điều kiện của tham số  để hàm tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 1Q .a.L  +) Đạo hàm cấp 2: / / 2Q ( 1). .a.L    +) Hàm sản xuất tuân theo quy luật cận biên giảm dần / /Q 0 ( 1) 0 1.        Ví dụ 22. Cho hàm doanh thu: 2TR Q 1200Q Q .  Hàm này có tuân theo Quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? Giải +) Đạo hàm cấp 1: /TR Q 1200 2Q  +) Đạo hàm cấp 2: / /TR Q 2 0  . Vậy hàm doanh thu này có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần. 47 2.2.5. Khảo sát hàm bình quân Cho hàm số y f (x) với x, y là các biến số kinh tế (ở đây ta xem biến số độc lập x là biến đầu vào và biến phụ thuộc y là biến số đầu ra). Hàm số yAy (x 0)x  được gọi là hàm bình quân. Chúng ta sẽ khảo sát khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số này. Ta có: ///yyy My AyxAy (x 0)x x x       Do đó, trong khoảng hàm bình quân tăng thì My Ay (đường cận biên nằm trên đường bình quân). Trong khoảng hàm bình quân giảm thì My Ay (đường cận biên nằm dưới đường bình quân). Tại điểm hàm bình quân đạt cực trị thì My Ay 0 My Ay    (đường cận biên gặp đường bình quân tại điểm đường bình quân đạt cực trị). Ví dụ 23. Chứng minh rằng: Ay/ xMy1 (x) .Ay     Giải Áp dụng công thức tính hệ số co dãn của hàm bình quân theo x, ta có /Ay / xx My Ay My(x ) Ay 1Ay Ay Ay     Ay/ xMy1 (x) .Ay    Ví dụ 24. Cho hàm chi phí TC TC Q , ( Q 0) . a) Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC Q và hàm chi phí cận biên MC Q . b) Áp dụng phân tích đối với trường hợp 2TC Q 3Q 7Q 27, Q 0.    Giải a) Hàm chi phí bình quân 48 TC QAC QQ Đạo hàm của hàm chí phí bình quân theo biến Q /MC ACAC Q (Q 0)Q  Do đó, trong khoảng hàm chi phí bình quân tăng thì MC AC (đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân). Còn trong khoảng hàm chi phí bình quân giảm thì MC AC (đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân). Tại điểm hàm chi phí bình quân đạt cực trị thì MC AC (đường chi phí cận biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực trị). b) 2TC Q 3Q 7Q 27, Q 0    Hàm bình quân: TC Q27AC Q 3Q 7Q Q    Đạo hàm cấp 1: /227AC Q 3Q  Giải phương trình: / 2AC Q 0 Q 9 Q 3     (nhận do Q > 0) +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân tăng và MC AC(đường chi phí cận biên nằm trên đường chi phí bình quân). +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân giảm và MC AC(đường chi phí cận biên nằm dưới đường chi phí bình quân). +) Nếu Q 3 thì hàm chi phí bình quân đạt cực trị và MC AC (đường chi phí cận biên gặp đường chi phí bình quân tại điểm mà đường chi phí bình quân đạt cực tiểu). Ví dụ 25. (Bạn đọc tự làm các ví dụ áp dụng với hàm số dưới đây) Cho hàm sản xuất ngắn hạn:2 3Q 40L L (L 0).   Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản phẩm bình quân của lao động QAPL (L 0)L  và hàm sản phẩm cận biên của lao động M PL. 49 2.2.6. Bài toán tối ưu hàm một biến 2.2.6.1. Tìm mức sử dụng lao động Lđể sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm sản xuất ngắn hạn là Q Q L (L là lao động). Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty sản xuất được nhiều sản phẩm nhất. Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến đầu vào và biến phụ thuộc Q là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại L 0 tìm được ta phải có mức sản lượng Q 0 . Ví dụ 26. Cho hàm sản xuất 2 3Q 120L L , L 0.   Hãy xác định mức sử dụng lao động để sản lượng tối đa. Giải +) Đạo hàm cấp 1: 2/Q L 240L 3L . +) Giải phương trình: 2/Q L 240L03L  L 80  (nhận) hay L 0 (loại). +) Hàm số có điểm dừng: L 80 +) Đạo hàm cấp 2 : / /Q L 240 6L , tại L 80. +) Ta có //Q (80) 240 0  . Vậy khi lao động là 80 thì sản lượng tối đa là maxQ Q 80 256000 . Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm sản xuất ngắn hạn là Q Q L (L là lao động), giá sản phẩm P và giá một đơn vị lao động là Lp . Hãy xác định mức sử dụng lao động để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán. Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: TR L PQ P Q L .   Bước 2. Tìm hàm chi phí: LTC L p L.  Bước 3. Tìm hàm lợi nhuận: L TR L TC L .   Bước 4. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập L là biến đầu vào và biến phụ thuộc  là biến đầu ra. 50 Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức lao động, sản lượng, chi phí, đơn giá và lợi nhuận đều dương. Ví dụ 27. Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn 53Q 100 L , L 0  và giá của sản phẩm là P 5 USD, giá thuê một đơn vị lao động là Lp3 USD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa. Giải Ta có +) Hàm doanh thu: 53T R Q P Q 5 0 0 L  +) Hàm chi phí : LTC L p L 3L   +) Hàm lợi nhuận : 53L 5 0 0 L 3L   +) Đạo hàm cấp 1 :/ 2/5L 300L 3   +) Giải phương trình /L 0 L 100000    +) Đạo hàm cấp 2: / / 7 /5L 120L   Xét lại L 1000 00, ta có / /3100000 0250000    Với L 100000 thì lợi nhuận tối đa là max100000 200000.    2.2.6.2. Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa Bài toán 1. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy xác định sản lượng Q để tổng chi phí là bé nhất. Giải quyết bài toán. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến đầu vào và biến phụ thuộc T C là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế, ta phải có mức sản lượng và chi phí đều phải dương. Ví dụ 28. Cho hàm tổng chi phí: 3 2TC Q Q 210Q 12000Q, (Q 0).    Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất. Giải +) Hàm chi phí bình quân: 51 2T C QAC Q Q 210Q 12000Q    +) Đạo hàm cấp 1: /AC Q 2Q 210  +) Giải phương trình: /AC Q 0 Q 105   +) Đạo hàm cấp 2: / /AC Q 2 0  Vậy khi Q 1 05 thì chi phí bình quân đạt giá trị nhỏ nhất là minAC AC 105 975 . Ví dụ 29. Cho biết hàm tổng chi phí: 3 2TC Q Q 9Q 60Q 150 Q 0 .     Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí nhỏ nhất. Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 2TC Q 3Q 18Q 60 (Q 0)    +) Ta có 2( 18) 4.3.60 396 0       +) Với /a 3 0 TC Q 0 Q 0      Vậy TC Q luôn tăng với Q 0 , nên TC Q đạt giá trị nhỏ nhất khi Q 0 . Bài toán 2. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí TC TC Q (Q là sản lượng) và hàm cầu của công ty là DQ D Q . Hãy xác định mức sản lượng Q để công ty thu được lợi nhuận tối đa. Giải quyết bài toán. Bước 1. Tìm hàm tổng doanh thu: 1TR Q PQ D Q Q.   Bước 2. Tìm hàm lợi nhuận: Q TR Q TC Q .   Bước 3. Ta khảo sát cực trị của bài toán này với biến độc lập Q là biến đầu vào và biến phụ thuộc  là biến đầu ra. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì ta phải có mức sản lượng, đơn giá, lợi nhuận đều dương. 52 Ví dụ 30. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là D1Q 656 P2  và hàm tổng chi phí 3 2TC Q Q 77Q 1000Q 40000.    Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Giải Với một mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho DQ Q. Do đó, ta có D1Q Q 656 P Q P 1312 2Q2      , Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 2TR (Q) P Q (1312 2Q) Q 2Q 1312Q        và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là 2 3 2Q TR Q TC Q 2Q 1312Q (Q 77Q 1000Q 40000)          Hay 3 2Q Q 75Q 312Q 40000      Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho  đạt giá giạ lớn nhất. Ta có / 2 2Q 3Q 150Q 312     Suy ra, / 2Q 0 3Q 150Q 312 0       Q 52 (nhận) hay Q 2 (loại). Mặt khác, / /Q 6Q 150    nên / /52 162 0.    Vậy Q đạt cực đại tại Q 52. Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Lợi nhuận : 38416, đơn giá : P 1208, tổng chi phí : TC 24400. Kết luận: Để đạt lợi nhuận cao nhất, xí nghiệp cần sản xuất với mức sản lượng Q 52. Khi đó lợi nhuận tương ứng là 38416 . Ví dụ 31. Cho hàm tổng lợi nhuận: 3 21Q Q 3Q 15Q 500 Q 03       Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất. 53 Giải +) Đạo hàm cấp 1: / 2Q Q 6Q 15 (Q 0)      +) Ta có 26 4.( 1).( 15) 24 0        +) Với /a 1 0 Q 0 ( Q 0 ).        Vậy Q luôn giảm với Q 0 , nên Q đạt giá trị lớn nhất khi Q 0. 2.2.6.3. Bài toán thuế doanh thu Bài toán. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là DQ D P (P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là TC TC Q (Q là sản lượng). Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Giải quyết bài toán. Với một mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm, xí nghiệp định mức sản lượng Q phụ thuộc vào thuế t sao cho đạt lợi nhuận tối đa. Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho DQ Q. Do đó, ta có 1D P Q P D Q   Doanh thu của xí nghiệp là 1TR Q P Q D Q Q    Trong đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là T t Q t . Lợi nhuận của xí nghiệp là 1Q TR Q TC Q D Q Q TC Q T t       Vậy theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm Q Q t sao cho Q đạt giá trị lớn nhất. Khi đó với tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là T t Q t t.  Ta cần tìm giá trị t 0 sao cho T t Q t t  đạt cực đại. Chú ý. Để phù hợp với thực tế thì tại t 0 tìm được ta phải có mức sản lượng và đơn giá, lợi nhuận, tổng chi phí đều dương. 54 Ví dụ 32. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là DQ 2000 P  và hàm tổng chi phí 2TC Q Q 1000Q 50.   Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Giải Với một mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, thì xí nghiệp cần phải bán theo một đơn giá P sao cho DQ Q. Do đó, ta có DQ Q 2000 P Q P 2000 Q      . Mặt khác doanh thu của xí nghiệp là 1 2TR Q P Q D Q Q 2000 Q Q Q 2000Q          Tiền thuế của xí nghiệp là : T t Q t , và lợi nhuận thu được của xí nghiệp là : 2Q TR Q TC Q Q t 2Q 1000 t Q 50          Bây giờ ta tìm Q 0 sao cho  đạt giá giạ lớn nhất. Ta có /Q 4Q 1000 t     Suy ra /1(Q) 0 4Q (1000 t) 0 Q 1000 t .4          Khi đó tiền thuế xí nghiệp phải nộp là : 21T t Q t 1000t t4    Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt cực đại. Ta có /1T t 1000 2t4 , suy ra /T t 0 1000 2t 0 t 500.      Vì / /T t 2 0   nên T t đạt giá trị lớn nhất tại t 500. Khi đó, ta có các kết quả phù hợp sau : Sản lượng: Q 125, Đơn giá: P 1875, Lợi nhuận: 31200,  tổng chi phí : TC 14067. Tiền thuế thu được là: T 62500. Khi định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 500. 55 2.2.6.4. Bài toán thuế nhập khẩu Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ S P và DQ D P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là 1 0P P, trong đó 0P là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t phải thoả điều kiện t 0 và 1 0t P P . Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sản phẩm trên để bán với đơn giá P thoả 1 0t P P P   với số lượng là D SQ Q D P S P  . Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là : 1P P P t D P S P .        Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định P sao cho (P) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P(t) và tiền thuế công ty phải nộp là : T t t D P( t) S P(t) .      Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t đạt cực đại. Mức thuế phải thoả 1 0t P P  và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương. Ví dụ 33. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 200  và DQ 4200 P  (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là 1P 1600. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có 56 D SQ Q P 200 4200 P P 2200       (0P 2200) Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : 1600 t 2200  (*) Khi đó, lượng hàng mà công ty nhập về là : D SQ Q 4200 P P 200 4400 2P.       Lợi nhuận mà công ty thu được là : 1 D S(P) P P t Q Q P 1600 t 4400 2P         Đơn giá P được định ra sao cho P đạt cực đại. Ta có /P 4P 2 3800 t ,     Suy ra /(P) 0 4P 2(3800 t) 0 P 1900 0, 5t,          và vì / /P 4 0    nên P đạt cực đại tại P 1900 0, 5t.  Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp là D ST t t Q Q t 4400 2P t 600 t .      Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có /T (t) 600 2t , Suy ra /T t 0 600 2t 0 t 300.      Vì / /T t 2 0   nên T t đạt cực đại tại t 300, với T t 90000. Thoả mãn (*) và ta có các số liệu phù hợp sau: Đơn giá: P 2025 0, lượng cung: SQ 1850 0,  lượng cầu: DQ 2150 0.  Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 300. Khi đó tiền thuế thu được là T 90000. 2.2.6.5. Bài toán thuế xuất khẩu Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ S(P) và DQ D(P) (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là 1 0P P, trong đó 0P là đơn giá tại điểm cân bằng (là điểm mà tại đó mức cung bằng lượng cầu) của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều 57 thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải quyết bài toán. Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t phải thoả điều kiện t 0 và 1 0P t P . Do được độc quyền, công ty sẽ mua sản phẩm trên với đơn giá P thoả 0 1P P P t   với số lượng là S DQ Q S P D P .   Khi đó lợi nhuận mà công ty thu được là : 1P P P t S P D P .        Tuy nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận tối đa. Do đó ta cần xác định P sao cho P đạt giá trị lớn nhất. Khi đó P P t và tiền thuế công ty phải nộp là: T( t) t S P( t) D P( t) .      Để thu được thuế nhiều nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t 0 sao cho T t đạt cực đại. Mức thuế phải thoả 1 0P t P  và để phù hợp với thực tế ta phải có các đại lượng tương ứng như đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương. Ví dụ 34. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 200  và DQ 4200 P  (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là 1P 3200. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Giải Trước hết ta tìm điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có D SQ Q P 200 4200 P P 2200       (0P 2200) Gọi t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm thoả điều kiện : t 0; 3200 t 2200   (*) Khi đó, lượng hàng mà công ty xuất khẩu là : S DQ Q P 200 4200 P 2P 4400.       Lợi nhuận mà công ty thu được là : 1 S DP P P t Q Q 3200 P t 2P 4400         58 Đơn giá P được định ra sao cho P đạt cực đại. Ta có /P 4P 2 5400 t ,     suy ra /tP 0 4P 2 5400 t 0 P 2700 ,2          và vì / /P 4 0,    nên P đạt cực đại tại 1P 2700 t.2  Khi đó tiền thuế mà công ty phải nộp: S DT t t Q Q t 2P 4400 t 1000 t .      Ta cần xác định t 0 sao cho T t đạt giá trị lớn nhất. Ta có /T (t) 1000 2t , suy ra /T (t) 0 1000 2t 0 t 500.      Vì / /T t 2 0   nên T t đạt cực đại tại t 500, như vậy với T t 250000. Thoả mãn (*), và ta có các số liệu phù hợp sau : Đơn giá: P 2450 0 , lượng cung: SQ 2250 0 , lượng cầu: DQ 1750 0.  Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t 500. Khi đó tiền thuế thu được là T 250000. 2.2.7. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) Cho hàm số y f t, với t là biến thời gian. Tỉ số /yf trf t được gọi là hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) của hàm số y f t tại thời điểm t, nó cho biết % thay đổi của giá trị hàm số y f t khi t thay đổi một đơn vị. Ví dụ 35. Cho hàm đầu tư rt0 0I t I .e , (I 0, r 0),   t tính theo năm. Hãy tính nhịp tăng trưởng của đầu tư. Giải. Ta có /rt0Irt0I tr.I .er r 0I tI .e    Điều đó có nghĩa sau mỗi năm, đầu tư tăng xấp xỉ r%. 59 Ví dụ 36. Cho hàm năng suất lao động 2Q t 2t 60t 100,    t tính theo năm. Tính nhịp tăng trưởng của Q tại t 10. Giải Nhịp tăng trưởng của Q. Ta có : /Q2Q t4t 60rQ t2t 60t 100     Với t 10 ta suy ra nhịp tăng trưởng của Q: /QQ 1020 1rQ 10 500 25   Sau năm thứ 10, năng suất lao động chỉ tăng xấp xỉ ( 1/25)%. Ví dụ 37. (Hệ số tăng trưởng của hàm hợp) Cho hàm số y f u t   , t là biến thời gian / / /t u ty f u t y y .u      Hệ số tăng trưởng / / / / /t u t u ty yu uy y .u y ur .u. .ry y y u     Áp dụng cho trường hợp: 32 2Q 300 L , L t 100 3t t    , t tính theo tháng Hệ số co dãn của Q theo L: /QLL 2Q LQ 3   Hệ số tăng trưởng của L: /L2L t3 2trL t2(100 3t t )   Hệ số tăng trưởng của Q: Q QL L22 3 2tr E .r33(100 3t t )   Với t 3. Ta có L Q3 2 3 1r r . 0, 01.200 3 200 100           60 2.2.8. Bài tập Bài số 1. Cho hàm tiêu dùng (chi tiêu) phụ thuộc vào thu nhập như sau: C 0, 8Y 0, 2 Y 300 (Y 0)    1) Tại mức thu nhập 0Y 169 USD nếu thu nhập tăng thêm 1 USD thì mức tiêu dùng thay đổi như thế nào? 2) Tính MPC Y tại mức thu nhập 0Y 144 USD. Nêu ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số: 1) MPC(169) 0, 8077; 2) MPC(144) 0, 8083. Bài số 2. Cho hàm tổng chi phí: 25QTC Q 5000Q 3  1) Tìm hàm chi phí cận biên MC Q . 2) Tính chi phí trung bình AC Q tại Q 100. 3) Tính hệ số co dãn của TC Q theo Q tại Q 17. Đáp số: 1) 225Q 30Q MC(Q 3); 2) 5650AC103; 3) TC/ Q0, 0164.  Bài số 3. Cho hàm sản xuất 23Q 120L (L 0).  Tại mức sử dụng lao động bất kỳ, nếu lao động tăng 10% hỏi sản lượng thay đổi bao nhiêu %. Đáp số: QL2.3  Bài số 4. Cho hàm sản xuất 0,5Q 100L , biết giá sản phẩm là P 4 USD và giá thuê một đơn vị lao động Lp 2 USD. Hãy xác định mức sử dụng lao động để lợi nhuận thu được là tối đa. Đáp số: max(10000) 20000.    Bài số 5. Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: 36AC Q 3Q 7Q   Đáp số: MC 6Q 7.  Bài số 6. Cho biết hàm tổng chi phí: 3 2TC Q Q 5Q 60Q.   Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất (với Q 0). 61 Đáp số: min5 215AC .2 4    Bài số 7. Cho biết hàm chi phí là 3 2TC Q Q 8Q 57Q 2, Q 0     và hàm cầu Q 90 2P.  Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đáp số: max4 6.    Bài số 8. Cho biết hàm chi phí là 3 2TC Q 4Q 5Q 500, Q 0    và hàm cầu Q 11160 P.  Hãy xác định mức sản lượng Q để lợi nhuận đạt cực đại. Đáp số: max30 220900.    Bài số 9. Cho biết hàm tổng chi phí TC và hàm cầu (đảo), hãy xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa (với Q 0): 1) 3 2TC Q Q 6Q 140Q 150   ; P 1400 7, 5Q . 2) 2TC Q 0, 2Q 4Q 57  ; P 9 0, 25Q . Đáp số: 1) max20 16450   ; 2) max50 38843,111.9 9          Bài số 10. Cho hàm cầu: Q 120 3P . Hãy tính hệ số co dãn của cầu tại các mức giá P 20 và P 30 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số: D D20 1; 30 3.      Bài số 11. Cho hàm cầu 2DQ 400 0, 01P  1) Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá 0P 120 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 2) Xác định mức giá P để hệ số co dãn của cầu theo giá bằng 1. Đáp số: 1) 0, 5625  ; 2) 100 2. Bài số 12. Cho hàm cầu -0,004PDQ 3000e. Hãy tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá 0P 100 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. Đáp số: 0, 4.   Bài số 13. Cho hàm cầu đảo 2P 150 3Q Q .   Hãy tính hệ số co dãn của sản lượng theo giá bán tại mức sản lượng 0Q 10. 62 Đáp số: D2.23   Bài số 14. Cho hàm doanh thu R (x) phụ thuộc ngân sách dành cho quảng cáo x 3 2R (x) 2x 27x 132x 207; 0 x 17      . Hãy xác định mức sử dụng ngân sách quảng cáo x để doanh thu tối đa. Đáp số: maxR R (11) 2264.  Bài số 15. Cho hàm lợi nhuận phụ thuộc sản lượng như sau: 2(x) 0, 02x 300x 200000; 0 x 20000       Hãy xác định mức sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận. Đáp số: max(7500) 925000.    Bài số 16. Cho hàm sản xuất : 0,4 0,8Y t 0, 2K Lvới K t 120 0,1t; L t 300 0, 3t . Tính hệ số tăng trưởng của vốn K, lao động L và của Y. Đáp số: K L Y0,1 0,1 0, 04 0, 08r ; r ; r .120 0,1t 100 0,1t 120 0,1t 100 0,1t       Bài số 17. Thu nhập quốc dân Y của một quốc gia có dạng: 0,4 0,3 0,01Y 0, 48K L X, với K là vốn, L là lao động và X là xuất khẩu ròng. Cho nhịp tăng trưởng của X là 4%, của K là 3%, của L là 5%. Hãy xác định nhịp tăng trưởng của Y. Đáp số: Yr 0, 0274. Bài số 18. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là DQ 300 P  và hàm tổng chi phí 3 2TC(Q) Q 19Q 333Q 10.    Hãy xác định mức sản lượng Q sao cho xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Đáp số: max11 474.    Bài số 19. Một công ty có hàm cầu về sản phẩm và hàm tổng chi phí là: 45P 2750 Q8 ; 32QTC Q 15Q 2500Q30   trong đó P là giá và Q là sản lượng. 1) Tính sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận? Tính và nêu ý nghĩa hệ số co dãn của cầu sản phẩm tại mức giá và sản lượng tối ưu? 63 2) Tìm giá bán để tối đa hóa sản lượng bán ra mà công ty không bị lỗ? Đáp số: 1) max13200 158333;9     ; 2) 305,778. Bài số 20. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là DQ 2640 P và hàm tổng chi phí 2TC(Q) Q 1000Q 100  . Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. Đáp số: 820. Bài số 21. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 200  và DQ 1800 P  (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là 1P 500. Một công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Đáp số: 250. Bài số 22. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 20  và DQ 400 P  (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là 1P 310. Một công ty được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sàn phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường quốc tế). Đáp số: 50. Bài số 23. Cho biết hàm cầu ngược và hàm chi phí của một nhà độc quyền như sau: 2P 200 Q, TC Q   (trong đó P là giá, Q là sản lượng) 1) Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại. 2) Tính hệ số co dãn của cầu tại mức tối đa hóa lợi nhuận. 3) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất của nhà độc quyền. Đáp số: 1) Q 50, P 150 ; 2) 3; 3) t 100. 64 2.3. Áp d ụng tích phân vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 2.3.1. Bài toán tìm hàm t ổng khi bi ết hàm c ận biên Gi ả s ử bi ến s ố kinh t ế y mang ý ngh ĩa t ổng giá tr ị (t ổng chi phí, t ổng doanh thu, t ổng tiêu dùng,…) là hàm s ố đượ c xác định theo giá tr ị c ủa đố i số x: y f ( x )= N ế u ta bi ết đượ c hàm giá tr ị cận biên / My f (x) = thì ta có th ể xác định đượ c hàm t ổng y f (x )= thông qua phép toán tích phân: / y f (x ) f (x )dx Mydx= = = ∫ ∫ H ằng s ố C trong tích phân b ất định trên đượ c xác định n ếu ta bi ết giá tr ị của y tại m ột điểm 0x nào đó: ( ) 0 0y f x . = Ví d ụ 38. Cho hàm s ản ph ẩm biên c ủa lao độ ng: 0,5 MPL 40.L . - = Hãy tìm hàm s ản xu ất ng ắn h ạn ( ) Q f L , = bi ết ( ) Q 100 4000. = Gi ải Ta có ( ) 0,5 0,5 Q f L 40L dL 80L C - = = = + ∫ T ừ gi ả thi ết: ( ) 0,5 Q 100 4000 80.100 C 4000 C 3200 = Û + = Û = V ậy 0,5 Q 80L 3200. = + Ví d ụ 39. Cho hàm chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q là ( ) 0,2Q MC Q 8.e = và chi phí c ố định là: FC 50 = . Tìm hàm t ổng chi phí. Gi ải Ta có 0,2Q 0,2Q TC(Q) 8.e dQ 40.e C. = = +∫ Chi phí c ố định là chi phí ở m ức Q 0 = , do đó ( ) FC TC 0 . = Suy ra 50 40 C = + nên C 10. = 65 Vậy ( ) 0,2Q TC Q 40e 10 = + . L ưu ý. Chi phí kh ả bi ến là ph ần chi phí ph ụ thu ộc vào m ức s ản l ượ ng Q và b ằng hi ệu s ố của t ổng chi phí và chi phí c ố định. Trong tr ườ ng h ợp này:

( ) ( ) 0,2Q VC Q TC Q FC 40e = - = Ví dụ 40. Cho hàm doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q là:

( ) 2 MR Q 50 2Q 3Q = - - Hãy xác định hàm t ổng doanh thu và hàm c ầu đố i v ới s ản ph ẩm. Gi ải Hàm t ổng doanh thu ( ) TR Q là nguyên hàm c ủa hàm doanh thu c ận biên:

( ) ( )2 2 3 TR Q 50 2Q 3Q dQ 50Q Q Q C = - - = - - +∫ Hi ển nhiên khi Q 0 = doanh thu bán hàng là ( ) TR 0 0 C 0. = Û = V ậy ( ) 2 3 TR Q 50Q Q Q = - - G ọi ( ) P P Q= là hàm c ầu đả o, t ức là hàm ng ượ c c ủa hàm c ầu ( ) Q D P . = Ta có hàm doanh thu đượ c tính nh ư sau:

( ) ( ) TR Q P Q Q = × Suy ra ( ) ( ) 2 TR Q P Q 50 Q Q . Q = = - - Ví d ụ 41. Cho hàm tiêu dùng ( ) C C Y = ph ụ thu ộc vào m ức thu nh ập Y và xu h ướ ng tiêu dùng c ận biên ( ) MPC Y ở m ỗi m ức thu nh ập Y là: ( ) 1/ 2 MPC Y 0, 8 0,1Y . - = + Hãy tìm hàm tiêu dùng, bi ết r ằng m ức tiêu dùng t ự định là 50. Gi ải Ta có ( ) ( ) 1/ 2 C Y 0, 8 0,1Y dY 0, 8Y 0, 2 Y C - = + = + +∫ M ức tiêu dùng t ự định là m ức tiêu dùng khi không có thu nh ập: 66 ( ) C 0 50 C 50 = Û = V ậy hàm tiêu dùng trong tr ườ ng h ợp này là:

( ) C Y 0, 8Y 0, 2 Y 50. = + + Ví d ụ 42. Cho hàm ti ết ki ệm S S(Y)= ph ụ thu ộc vào m ức thu nh ập Y và xu h ướ ng ti ết ki ệm c ận biên ( ) MPS Y ở m ỗi m ức thu nh ập Y là: ( ) MPS Y 8 0, 4Y. = - + Hãy tìm hàm ti ết ki ệm, bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S 40= khi m ức thu nh ập Y 10. = Gi ải Ta có ( ) ( ) 2 S Y 8 0, 4Y dY 8Y 0, 2Y C = - + = - + +∫ M ức ti ết ki ệm là S 40= khi thu nh ập Y 10 = : ( ) S 10 40 C 100 = Û = V ậy hàm ti ết ki ệm trong tr ườ ng h ợp này là:

( ) 2 S Y 100 8Y 0, 2Y . = - + Ví dụ 43. M ột doanh nghi ệp có hàm doanh thu c ận biên: ( ) 2 MR Q 960 0,15Q . = - Hãy tìm t ổng doanh thu n ếu doanh nghi ệp định giá s ản ph ẩm là 715. Gi ải Hàm t ổng doanh thu ( ) TR Q là nguyên hàm c ủa hàm doanh thu c ận biên:

( ) ( )2 3 TR Q 960 0,15Q dQ 960Q 0, 05Q C = - = - +∫ Hi ển nhiên khi Q 0 = doanh thu bán hàng là ( ) TR 0 0 C 0. = Û = V ậy ( ) 3 TR Q 960Q 0, 05Q = - G ọi ( ) P P Q= là hàm c ầu đả o, t ức là hàm ng ượ c c ủa hàm c ầu ( ) Q D P . = Ta có hàm doanh thu đượ c tính nh ư sau: ( ) ( ) TR Q P Q Q = × Suy ra ( ) ( ) 2 TR Q P Q 960 0, 05Q . Q = = - V ới 2 P 715 960 0, 05Q 715 Q 70= Û - = Û = V ậy t ổng doanh thu: TR PQ 715 70 50050. = = × = 67 2.3.2. Bài toán tìm hàm qu ỹ v ốn khi bi ết hàm đầu t ư Gi ả sử lượ ng đầ u t ư I (t ốc độ bổ sung v ốn) và qu ỹ vốn K là các hàm s ố của bi ến th ời gian t: () () I I t , K K t= = Gi ữa qu ỹ vốn và đầ u t ư có quan h ệ () () / I t K t = (l ượ ng đầ u t ư tại th ời điểm t, bi ểu th ị tốc độ tăng v ốn t ại th ời điểm đó), do đó n ếu bi ết hàm đầ u t ư () I t thì hàm qu ỹ v ốn ( ) K t đượ c xác định nh ư sau:

() () () / K t K t dt I t dt = =∫ ∫ H ằng s ố C trong tích phân b ất định trên đượ c xác định n ếu ta bi ết qu ỹ vốn t ại m ột th ời điểm nào đó. Ví d ụ 44. Cho hàm đầ u t ư sau 1/ 2 I(t) 3t = (nghìn đô la m ột tháng) và qu ỹ vốn t ại th ời điểm t 1= là () K 1 10 = (nghìn đô la). Hãy xác định hàm qu ỹ vốn ( ) K t và l ượ ng v ốn tích l ũy đượ c t ừ tháng th ứ 4 đế n tháng th ứ 9. Giải Qu ỹ vốn t ại th ời điểm t là:

() 1/ 2 3/ 2 K t 3t dt 2t C = = +∫ .

T ại th ời điểm t 1= thì () K 1 2 C 10 = + = , do đó: C = 8 () 3/ 2 K t 2t 8 = + (nghìn đô la) L ượ ng v ốn tích l ũy đượ c t ừ tháng th ứ 4 đế n tháng th ứ 9 đượ c tính theo công th ức:

( ) ( ) 9 3 2 4 K 9 K 4 2t 38 - = = (nghìn đô la). Ví d ụ 45. Gi ả sử lượ ng đầ u t ư tại th ời điểm t đượ c xác định d ướ i d ạng hàm s ố () 0,75 I t 140t = và qu ỹ vốn t ại th ời điểm xu ất phát là K (0) 150. = Hãy xác định hàm qu ỹ vốn () K t . Gi ải Qu ỹ vốn t ại th ời điểm t là: () 3/ 4 7 / 4 K t 140t dt 80t C = = +∫ . 68 Tại th ời điểm xu ất phát K (0) C 150 = = , do đó ( ) 4 7 K t 80 t 150 = + (nghìn đô la). 2.3.3. Tính th ặng d ư c ủa nhà s ản xu ất (PS) và th ặng d ư c ủa ng ười tiêu dùng (CS) Cho hàm c ầu ( ) DQ D P = ho ặc hàm c ầu đả o ( ) 1 D P D Q - = (hàm ng ượ c c ủa hàm c ầu ( ) DQ D P = ). Gi ả sử điểm cân b ằng c ủa th ị tr ườ ng là ( ) 0 0P , Q và hàng hoá đượ c bán v ới giá 0P . Khi đó th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng đượ c tính theo công th ức: ( ) 0Q 1 0 0 0 CS D Q dQ P Q . - = - ∫ Cho hàm cung ( ) SQ S P = ho ặc hàm cung đả o ( ) 1 S P S Q . - = N ếu hàng hoá đượ c bán ở m ức giá cân b ằng 0P thì th ặng d ư của nhà s ản xu ất đượ c tính theo công th ức: ( ) 0Q 1 0 0 0 PS P Q S Q dQ. - = - ∫ Ví dụ 45. Cho các hàm cung và c ầu sau: SQ P 2 1 = - - , DQ 43 P 2 = - - .

Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Gi ải Các hàm c ầu đả o và cung đả o l ần l ượ t là:

( ) 1 2 D Q 43 (Q 2)- = - + , ( ) 1 2 S Q (Q 1) 2- = + + S ản l ượ ng cân b ằng 0Q là nghi ệm d ươ ng c ủa ph ươ ng trình: ( ) ( ) 1 1 D Q S Q- - = Suy ra: 0Q 3 = và 0P 18 = Th ặng d ư nhà s ản xu ất đượ c tính theo công th ức:

( ) 3 2 0 PS 18 3 Q 1 2 dQ 27.   = ´ - + + =  ∫ Th ặng d ư ng ườ i tiêu dùng đượ c tính theo công th ức:

( ) 3 2 0 CS 43 Q 2 dQ 18 3 36.   = - + - ´ =  ∫ 69 2.3.4. Bài t ập Bài s ố 1. Cho hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao động: ( ) 2 3 MPL L 60.L . - = Hãy tìm hàm s ản xu ất ng ắn h ạn ( ) Q f L , = bi ết ( ) Q 100 10000. = Đ áp s ố: ( ) 3 3 Q L 180 L 10000 180 100. = + - Bài s ố 2. Cho bi ết chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q nh ư sau:

( ) 2 MC Q 120 40Q 0, 3Q = - + và chi phí c ố định: FC 300 = 1) Hãy tìm hàm t ổng chi phí và hàm chi phí kh ả bi ến.

2) Tính giá tr ị chi phí c ận biên t ại m ức s ản l ượ ng 0Q 140 = và nêu ý ngh ĩa. Đ áp s ố: 1) 3 2 3 2 TC(Q) 0,1Q 20Q 120Q 300; VC 0,1Q 20Q 120Q = - + + = - + ; 2) MC(140) 400. = Bài s ố 3. Cho bi ết chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q : ( ) 0,3Q MC Q 15e = và chi phí c ố định: FC 120. = Hãy tìm hàm t ổng chi phí. Đ áp s ố: 0,3Q TC 50e 70. = + Bài s ố 4. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q : ( ) 0,4Q MR Q 40Q 16e . = - Hãy tìm hàm t ổng doanh thu. Đ áp s ố: 2 0,4Q TR 40 20Q 40e . = + - Bài s ố 5. Cho bi ết hàm doanh thu c ận biên: ( ) 2 MR Q 84 4Q Q . = - - Hãy cho bi ết hàm t ổng doanh thu ( ) TR Q và hàm c ầu. Đ áp s ố: 2 3 2 1 1 TR 84Q 2Q Q ; P 84 2Q Q . 3 3 = - - = - - Bài s ố 6. Cho bi ết xu h ướ ng tiêu dùng c ận biên ( ) MPC Y 0, 8 = ở m ọi m ức thu nh ập Y và C 800 = khi Y 0. = Hãy xác định hàm tiêu dùng ( ) C Y . Đ áp s ố: ( ) C Y 0, 8Y 800. = + Bài s ố 7. Cho bi ết xu h ướ ng ti ết ki ệm c ận biên ( ) 0,5 MPS Y 0, 9Y - = ở m ọi m ức thu nh ập Y và S 500= khi Y 100. = Hãy xác định hàm ti ết ki ệm ( ) S Y . 70 Đ áp s ố: 0,5 9 S(Y) Y 482. 5 = + Bài s ố 8. Cho Y là thu nh ập, S là ti ết ki ệm. Bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S 7, 42= - khi thu nh ập Y 5. = 1) Hãy xác định hàm ti ết ki ệm n ếu bi ết khuynh h ướ ng ti ết ki ệm c ận biên là ( ) MPS Y Y 0, 4. = - 2) Kể từ m ức thu nh ập d ươ ng nào tr ở nên s ẽ có m ức ti ết ki ệm d ươ ng? Đ áp s ố: 1) 2Y S(Y) 0, 4Y 17, 92; 2 = - - 2) Y 6, 2. > Bài s ố 9. Tìm hàm t ổng nh ập kh ẩu ( ) M Y với Y là thu nh ập qu ốc dân n ếu khuynh h ướ ng nh ập kh ẩu c ận biên là ( ) / M Y 0,1 = và M 20 = khi Y 0. = Đáp s ố: ( ) M Y 0,1Y 20. = + Bài s ố 10. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q : ( ) ( ) 2 10 MR Q . 1 Q = + 1) Hãy tìm hàm t ổng doanh thu.

2) Tại m ức s ản l ượ ng Q 4. = N ếu t ăng giá 1% thì s ản l ượ ng thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố: 1) ( ) 10Q TR Q ; 1 Q= + 2) S ản l ượ ng gi ảm 1,25%. Bài s ố 11. Cho bi ết doanh thu c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q của m ột doanh nghi ệp nh ư sau: ( ) 2 MR Q 1800 1, 8Q . = - 1) Hãy tìm hàm t ổng doanh thu 2) Hãy cho bi ết t ại m ức s ản l ượ ng Q 10. = N ếu doanh nghi ệp gi ảm giá 1% thì m ức c ầu s ẽ bi ến độ ng nh ư th ế nào? Đ áp s ố: 1) 3 TR 1800Q 0, 6Q = - ; 2) S ản l ượ ng t ăng 14,5%.

Bài s ố 12. Cho Y là thu nh ập, S là ti ết ki ệm. Bi ết r ằng m ức ti ết ki ệm s ẽ là S 0= khi thu nh ập Y 81. = Hãy xác định hàm ti ết ki ệm n ếu bi ết khuynh h ướ ng ti ết ki ệm c ận biên là ( ) 0,5 MPS Y 0, 3 0,1Y - = - 71 Đ áp s ố: ( ) 0,5 S Y 0, 3Y 0, 2Y 22, 5. = - - Bài s ố 13. Cho bi ết hàm đầ u t ư: 5 3 I 40 t .= Hãy cho bi ết hàm qu ỹ vốn () K t , bi ết r ằng qu ỹ vốn t ại th ời điểm t 0= là 75. Đ áp s ố: 8 5 K(t ) 25 t 75. = + Bài s ố 14. Cho bi ết hàm đầ u t ư 3 I 60 t= và qu ỹ vốn t ại th ời điểm t 1= là 85. Hãy cho bi ết hàm qu ỹ vốn () K t . Đ áp s ố: 4 3 K(t ) 45 t 40. = + Bài s ố 15. Cho bi ết hàm đầ u t ư: 3 I 12 t= ( t là bi ến th ời gian).

1) Hãy cho bi ết hàm qu ỹ vốn () K t , bi ết r ằng ( ) K 0 25. = 2) Xác định t ổng l ượ ng v ốn tích l ũy đượ c trong kho ảng th ời gian [ ] t 1,10 .Î Đ áp s ố: 1) 4 3 K (t) 9 t 25; = + 2) 185. Bài s ố 16. Cho bi ết hàm c ầu: 2 P 42 5Q Q .= - - Gi ả sử giá cân b ằng là 0P 6. = Hãy tính th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: 248 CS . 3 = Bài s ố 17. Cho bi ết hàm c ầu và hàm t ổng chi phí nh ư sau P 110 Q= - và 3 2 TC Q 25Q 2Q 3000; Q 0 = - + + > 1) Tìm s ản l ượ ng Q và giá bán P để lợi nhu ận c ực đạ i.

2) Tìm th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng t ại m ức s ản l ượ ng để lợi nhu ận c ực đạ i. Đ áp s ố: 1) max Q 18, P 92, 888 = = p = ; 2) CS 162. = Bài s ố 18. Cho hàm c ầu và hàm t ổng chi phí P 124 2Q= - và ( ) 3 2 TC Q 2Q 59Q 4Q 7600; Q 0 = - + + > 1) Hãy xác định m ức s ản l ượ ng Q để tối đa hóa l ợi nhu ận.

2) Tính th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng t ại điểm t ối đa hóa l ợi nhu ận. Đ áp s ố: 1) max (20) 1600 p = p = ; 2) CS 400. = Bài s ố 19. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung đả o: 72 ( ) ( )1 2 1 2 1 D Q 65 Q ; S Q Q 2Q 5 3 - - = - = + + Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: CS 144; PS 84. = = Bài s ố 20. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

( ) 1 2 D Q 0,1Q 90- = - + ; ( ) 1 2 S Q 0, 2Q Q 50- = + + .

Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: 200 550 CS ; PS . 3 3 = = Bài s ố 21. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

( )1 2 1 D Q 131 Q 3 - = - ; ( )1 2 2 S Q 50 Q 3 - = +.

Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: CS 162; PS 324. = = Bài s ố 22. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

( ) 1 D Q 245 2Q- = - ; ( ) 1 S Q 5 Q- = + .

Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: CS 3, 29; PS 50. = = Bài s ố 23. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

( )1 16 D Q 3 Q 2 - = - + ; ( ) ( ) 1 1 S Q Q 1 3 - = + .

Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: 2 CS 16 ln 2 8; PS . 3 = - = Bài s ố 24. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

DQ 113 P = - ; SQ P 1. = - Hãy tính th ặng d ư của nhà s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. Đ áp s ố: 686 833 CS ; PS . 3 3 = = 73 2.4. Ph ương trình vi phân và áp d ụng kinh t ế 2.4.1. Tìm hàm c ầu khi bi ết h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá Chúng ta đã bi ết công th ức tính h ệ s ố co dãn c ủa c ầu theo giá nh ư sau:

( )/ D D D D D P dQ P Q P Q dP Q e = × = × D D dQ dP Q P Û = e × (*) Trong đó: DQ là l ượ ng c ầu, P là giá s ản ph ẩm. Cách gi ải Lấy tích phân 2 v ế của ph ươ ng trình (*), ta có D D D dQ dP Q P = e ∫ ∫ Suy ra D D dP ln Q P = e∫ L ưu ý. Để xác định h ằng s ố C trong tích phân b ất định, ta c ần có thông tin v ề lượ ng c ầu c ủa m ột m ức giá c ụ th ể. Ví d ụ 46. Cho h ệ số co dãn c ủa hàm c ầu là: D 2 e = - Tìm hàm c ầu DQ bi ết r ằng () Q 1 20. = Gi ải Từ hệ số co dãn ta có dQ P dQ dP 2 2 dP Q Q P × = - Û = - Suy ra 2 P ln Q 2 ln P C Q A - = - + Û = ( A là h ằng s ố) T ừ gi ả thi ết ()1 Q 20 20 A A 20 = Û = Û = V ậy 2 Q 20P - = . 74 Ví d ụ 47. Cho h ệ số co dãn c ủa hàm c ầu là D 2P 2000 2P - e = - Tìm hàm c ầu DQ bi ết r ằng ( ) Q 0 2000. = Gi ải Từ hệ số co dãn ta có dQ P 2P dQ dP dP Q 2000 2P Q 1000 P - - × = Û = - - Suy ra ( ) ln Q ln 1000 P C Q A 1000 P = - + Û = - ( A là h ằng s ố) T ừ gi ả thi ết ( )0 Q 2000 2000 1000A A 2 = Û = Û = V ậy Q 2000 2P = - . 2.4.2. Bi ến độ ng c ủa giá trên th ị tr ườ ng theo th ời gian Gi ả sử m ột s ản ph ẩm đang đượ c l ưu thông trên th ị tr ườ ng v ới hàm cung SQ và hàm c ầu DQ . G ọi 0 0P , Q lần l ượ t giá và l ượ ng cân b ằng. N ếu t ại th ời điểm b ắt đầ u vi ệc nghiên c ứu ( ) 0 t 0, P 0 p= = thì th ị tr ườ ng đã đạ t đượ c s ự cân b ằng. Nh ưng n ếu ( ) 0 P 0 p ¹ , ngh ĩa là th ị tr ườ ng ch ưa đạ t đượ c s ự cân b ằng. Để đạ t đượ c s ự cân b ằng c ần có th ời gian để điều ch ỉnh, khi đó S D P, Q , Q là các hàm theo th ời gian t. V ấn đề đặ t ra là s ự điều ch ỉnh giá P có đạ t đượ c m ức giá cân b ằng th ị tr ườ ng theo th ời gian hay không? Ngh ĩa là tlim P(t ) P(0)®+¥ = .

S ự thay đổ i c ủa giá ph ụ thu ộc l ượ ng cung, c ầu trên th ị tr ườ ng, để đơ n gi ản chúng ta gi ả thi ết r ằng t ỷ lệ của s ự thay đổ i giá t ại m ọi th ời điểm t ỷ lệ thu ận v ới độ chênh l ệch gi ữa c ầu và cung ( ) D SQ Q - tại th ời điểm đó.

N ếu nh ư vậy ta có th ể di ễn t ả bằng ph ươ ng trình:

( ) D S dP Q Q dt = D - (*) Trong đó 0 D > là m ột h ằng s ố thích h ợp, g ọi là h ệ số điều ch ỉnh 75 L ưu ý. Khi dP 0 dt = khi và ch ỉ khi S DQ Q = . Điều đó có ngh ĩa là dP 0 dt = xảy ra t ại m ọi th ời điểm cân b ằng. Gi ải ph ươ ng trình vi phân (*) ta tìm đượ c hàm () P t . Ví d ụ 48. Cho hàm cung và hàm c ầu S DQ 3P 60; Q 30 P = - = - N ếu D SQ Q = thì giá cân b ằng 0 45 P 2 = Gi ả sử ( ) D S dP 1 Q Q dt 2 = - và ( ) P 0 30 = T ừ ( ) D S dP 1 dP Q Q 45 2P dt 2 dt = - Û = - /P 2P 45 Û + = (*) +) B ướ c 1. M ột nguyên hàm c ủa 2 là 2t +) B ướ c 2. Ch ọn th ừa s ố tích phân: 2 te +) B ướ c 3. Nhân 2 v ế của (*) cho 2 te ta đượ c 2 t / 2 t 2 te P e 2P 45e + = ( ) / 2 t 2 te P 45e Û = (**) +) B ướ c 4. L ấy tích phân 2 v ế của (**), ta đượ c 2 t 2 t 45 e P e C 2 = + Suy ra 2 t 45 P(t ) Ce 2 - = + (C là h ằng s ố) T ừ gi ả thi ết : 45 15 P(0) 30 C 30 C 2 2 = Û + = Û = V ậy ( ) 2 t 45 15 P t e 2 2 - = + Nh ận th ấy : ( ) 0 t 45 lim P t P . 2 ®+¥ = = 76 Ví d ụ 49. Cho hàm cung và hàm c ầu S DQ P 20; Q 60 2P = - = - Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t,biết r ằng ( ) P 0 40 = và ( ) P 2 30. = Gi ải Ta có ( ) D S dP k Q Q dt = - Thay hàm cung hàm c ầu vào, ta có ( ) dP k 80 3P dt = - /P 3kP 80k Û + = (*) +) B ướ c 1. M ột nguyên hàm c ủa 3k là 3kt +) B ướ c 2. Ch ọn th ừa s ố tích phân: 3kte +) B ướ c 3. Nhân 2 v ế của (*) cho 3kte ta đượ c 3kt / 3kt 3kte P e 3kP 80ke + = ( ) / 3kt 3kte P 80ke Û = (**) +) B ướ c 4. L ấy tích phân 2 v ế của (**), ta đượ c 3kt 3kt 80 e P e C 3 = + Suy ra 3kt 80 P(t ) Ce 3 - = + (C là h ằng s ố) T ừ gi ả thi ết : 80 40 P(0) 40 C 40 C 3 3 = Û + = Û = Ta có 3kt 80 40 P(t ) e 3 3 - = + T ừ gi ả thi ết : 6 k 80 40 P(2) 30 e 30 k 0, 231 3 3 - = Û + = Û = V ậy 0,693t 80 40 P(t ) e . 3 3 - = + 77 2.4.3. Bài t ập Bài s ố 1. Tìm hàm c ầu DQ cho bi ết h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá là 2 D 5P 2P Q + e = - và l ượ ng c ầu ở m ức giá P 10= là 500. Đ áp s ố: 2 Q(P) 650 5P P . = - - Bài s ố 2. Bi ết h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá là: 2 D 6P 4P Q - e = Hãy tìm hàm c ầu, bi ết r ằng Q 700 = khi P 10.= Đ áp s ố: 2 Q 6P 2P 840. = - + Bài s ố 3. Tìm hàm c ầu bi ết h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá là D 2 e = - , và ở m ức giá P 2= thì l ượ ng c ầu Q 100. = Đ áp s ố: 2 Q 400P . - = Bài s ố 4. Cho hàm cung và hàm c ầu: S DQ P 200; Q 4200 P. = - = - Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t, bi ết r ằng h ệ số điều ch ỉnh 1 2 D = và ( ) P 0 3000. = Đ áp s ố: t P(t) 2200 800e . - = + Bài s ố 5. Cho hàm cung và hàm c ầu: D SQ 8 2P; Q 2 P. = - = + Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t,biết r ằng ( ) P 0 5 = và ( ) P 2 3. = Đ áp s ố: 0,549t P(t) 2 3e . - = + Bài s ố 6. Cho hàm cung và hàm c ầu: D SQ 7 P; Q 1 P. = - = + Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t,biết r ằng ( ) P 0 6 = và ( ) P 4 4. = Đ áp s ố: 0,2747 t P(t) 3 3e . - = + Bài s ố 7. Cho hàm cung và hàm c ầu: D SQ 11 3P; Q 5 P. = - = + Tìm hàm giá ph ụ thu ộc vào th ời gian t,biết r ằng ( ) P 0 10 = và ( ) P 3 7. = Đ áp s ố: 0,1451t 3 17 P(t ) e . 2 2 - = + 78 Thuật ngữ chính chương 2 Tiếng Anh Tiếng Việt Average Cost Compound Interest Consumers’ Surplus Differential equations of the first order Linear differential equations Elasticity coefficient Elasticity of demand Fixed Cost Future Value Marginal Cost Marginal product of labor Marginal product of Capital Marginal Propensity to Consume Marginal Propensity to Save Marginal Profit Marginal Revenue Net Present Value Product Profit Production Cost Producers’ Surplus Present Value Revenue Single Interest The Law of diminishing returns Total Cost Total Revenue Variable Cost Chi phí bình quân Lãi kép Thặng dư của người tiêu dùng Phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân tuyến Hệ số co dãn Độ co dãn của cầu Chi phí cố định Giá trị tương lai Chi phí cận biên Sản phẩm cận biên của lao động Sản phẩm cận biên của vốn Xu hướng tiêu dùng cận biên Xu hướng tiết kiệm cận biên Lợi nhuận cận biên Doanh thu cận biên Hiện giá thuần Sản phẩm Lợi nhuận Chi phí sản xuất Thặng dư của nhà sản xuất Giá trị hiện tại Doanh thu Lãi đơn Quy luật lợi ích cận biên giảm dần Tổng chi phí Tổng doanh thu Chi phí biến đổi 79 Ch ương 3 Áp d ụng phép toán vi phân hàm nhi ều bi ến vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 3.1. Các hàm s ố nhi ều bi ến trong phân tích kinh t ế 3.1.1. Hàm s ản su ất Khi phân tích ho ạt độ ng s ản xu ất, các nhà kinh t ế quan tâm đến hai y ếu t ố đầ u vào quan tr ọng là v ốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hi ệu là K và L. Do đó, hàm s ản xu ất có d ạng: ( ) Q f K , L = .

Ý ngh ĩa.

Hàm s ản xu ất bi ểu di ễn s ự ph ụ thu ộc c ủa s ản l ượ ng hàng hoá vào hai y ếu t ố đầ u vào v ốn (t ư b ản) và lao động.

M ột hàm s ản xu ất mà kinh t ế h ọc th ường s ử d ụng là hàm s ản xu ất d ạng Cobb – Douglas có d ạng: Q aK L a b = Trong đó: a, , a b là các h ằng s ố d ươ ng.

3.1.2. Hàm doanh thu, chi phí, l ợi nhu ận 3.1.2.1 Hàm chi phí +) Hàm chi phí ph ụ thu ộc đầ u vào: ( ) TC TC K, L . = N ếu tính theo các y ếu t ố s ản xu ất thì hàm chi phí là hàm s ố c ủa các y ếu t ố s ản xu ất và có d ạng: ( ) K L 0 TC K, L p K p L C . = + + Trong đó: Kp : Giá thuê m ột đơ n v ị v ốn (t ư b ản). Lp : Giá thuê m ột đơ n v ị lao động.

0C : Chi phí c ố đị nh.

+) Hàm chi phí k ết h ợp: ( ) 1 2 TC TC Q , Q . = Trong đó 1Q : S ố đơ n v ị hàng hóa 1; 80 2Q : S ố đơ n v ị hàng hóa 2.

3.1.2.2. Hàm doanh thu và hàm l ợi nhu ận +) N ếu doanh nghi ệp là doanh nghi ệp c ạnh tranh thì t ổng doanh thu c ủa doanh nghi ệp ph ụ thu ộc vào K , L và có d ạng: ( ) ( ) TR P f K, L TR K, L = × = ( P : là giá s ản ph ẩm) +) Hàm doanh thu g ộp: ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 TR TR TR P .Q P .Q TR Q , Q = + = + = V ới 1P : là giá s ản ph ẩm m ặt hàng 1, 2P : là giá s ản ph ẩm m ặt hàng 2. 3.1.2.3. Hàm l ợi nhu ận Hàm l ợi nhu ận: TR TC p = - +) Hàm l ợi nhu ận ph ụ thu ộc đầ u vào ( ) ( ) ( ) k L 0 P.f K, L p K p L C K, L p = - + + = p +) Hàm l ợi nhu ận ph ụ thu ộc đầ u ra ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2Q , Q TR Q , Q TC Q , Q . p = - 3.1.3. Hàm l ợi ích Gi ả s ử c ơ c ấu tiêu dùng c ủa ng ười tiêu dùng g ồm có n m ặt hàng. M ỗi gi ỏ hàng là m ột b ộ g ồm n s ố th ực ( ) 1 2 n X x , x , ..., x = , trong đó 1x là l ượng hàng hoá 1 2T , x là l ượng hàng hoá 2 nT , ..., x là l ượng hàng hoá nT . Hàm l ợi ích là hàm s ố đặ t tươ ng ứng v ới m ỗi túi hàng ( ) 1 2 n X x , x , ..., x = v ới m ột giá tr ị U nh ất đị nh theo quy t ắc: Gi ỏ hàng nào được ưa chu ộng nhi ều h ơn thì gán giá tr ị l ợi ích l ớn h ơn. Hàm l ợi ích có d ạng t ổng quát nh ư sau: ( ) 1 2 n U U x , x , ..., x = Hàm l ợi ích hay được sử d ụng là hàm Cobb – Douglas:

1 2 nn 1 2 U ax x ...x a a a = 1 2 n ( , ,...,a a a là các h ằng s ố dươ ng). 3.1.4.

Điể m cân b ằng +) M ức thu nh ập qu ốc dân cân b ằng Y ph ụ thu ộc vào chi tiêu c ủa Chính ph ủ 0G , l ượ ng đầ u t ư 0I và xu ất kh ẩu 0X : ( ) 0 0 0 Y f G , I , X . = +) M ức lãi su ất cân b ằng r ph ụ thu ộc vào chi tiêu c ủa Chính ph ủ 0G và l ượ ng cung ti ền 0 M : 81 ( ) 0 0 r g G , M .= 3.1.5. Hàm cung, c ầu th ị tr ườ ng n hàng hóa liên quan M ức cung và m ức c ầu đố i v ới m ột lo ại hàng hoá trên th ị tr ườ ng không nh ững ch ỉ ph ụ thu ộc vào giá hàng hoá đó mà còn b ị chi ph ối b ởi giá c ủa các hàng hoá liên quan và thu nh ập c ủa ng ườ i tiêu dùng. Trên th ị tr ườ ng n hàng hoá liên quan hàm cung và hàm c ầu đố i v ới hàng hoá i có d ạng (gi ả thi ết thu nh ập không thay đổ i):

( ) iS i 1 2 nQ S P , P ,..., P = ( ) iD i 1 2 nQ D P , P , ..., P = Trong đó, iSQ là l ượ ng cung hàng hoá i, iDQ là l ượ ng c ầu hàng hoá i, iP là giá c ủa hàng hoá ( ) i i 1, 2, 3, ..., n = . Ví d ụ 1. Cho các hàm c ầu: 1 1 2 2Q 40 P ; Q 30 0, 5P = - = - . Hãy l ập hàm doanh thu. Gi ải Từ hai hàm c ầu thu ận ta suy ra hai hàm c ầu đả o nh ư sau:

1 1 2 2P 40 Q ; P 60 2Q = - = - Hàm doanh thu g ộp ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 TR Q , Q P Q P Q (40 Q )Q ( 60 2Q )Q = + = - + - hay ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 TR Q , Q Q 2Q 40Q 60Q = - - + + Ví d ụ 2. Cho hàm s ản xu ất: ( ) 0,3 0,4 Q K, L 10K L . = Giá thuê m ột đơ n v ị vốn Kp 3 = USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng Lp 2 = USD và giá s ản ph ẩm là P 4= USD. Hãy l ập hàm l ợi nhu ận. Gi ải Hàm doanh thu: ( ) 0,3 0,4 TR K, L PQ 40K L = = Hàm chi phí : ( ) K L TC K , L p K p L 3K 2L = + = + Hàm l ợi nhu ận: ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4 K, L TR K, L TC K, L 40K L 3K 2L. p = - = - - 82 3.2. Áp d ụng đạo hàm riêng và vi phân toàn ph ần vào phân tích kinh t ế và kinh doanh 3.2.1. Đạo hàm riêng và giá tr ị c ận biên Xét mô hình hàm kinh t ế: ( ) 1 2 n w f x , x , ..., x = trong đó 1 2 nx , x ,..., x , w là các bi ến kinh t ế.

Đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố w theo bi ến ix t ại điể m ( ) 1 2 n X x , x , ..., x đượ c gọi là giá tr ị c ận biên c ủa hàm w theo bi ến ix t ại điể m đó. Ngh ĩa là, ( ) i /x 1 2 nw x , x , ..., x bi ểu di ễn x ấp x ỉ l ượ ng thay đổi giá tr ị c ủa bi ến w khi giá tr ị ix thay đổi 1 đơ n v ị trong điề u ki ện giá tr ị các bi ến độ c lập còn l ại không thay đổi.

3.2.1.1. Hàm s ản xu ất: ( ) Q f K , L = Có các đạo hàm riêng: / / K L Q Q Q ; Q K L ¶ ¶ = = ¶ ¶ đượ c g ọi tươ ng ứng là hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa v ốn (t ư bản) (ký hi ệu: M PK ) và hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng (ký hi ệu: M PL ) t ại điểm ( ) K , L . Ý ngh ĩa c ủa các đạo hàm riêng +) ( ) / / K KQ f K , L = : bi ểu di ễn x ấp x ỉ lượ ng s ản ph ẩm hi ện v ật gia t ăng khi s ử dụng thêm m ột đơ n v ị vốn (t ư bản) và gi ữ nguyên m ức s ử dụng lao độ ng. +) ( ) / / L LQ f K, L = : bi ểu di ễn x ấp x ỉ lượ ng s ản ph ẩm gia t ăng khi s ử dụng thêm m ột đơ n v ị lao độ ng và gi ữ nguyên m ức s ử dụng v ốn. Ví d ụ 3. Gi ả sử hàm s ản su ất c ủa m ột doanh nghi ệp là: ( ) 1 3 4 4 Q K, L 20K L = Trong đó: K, L, Q là m ức s ử dụng v ốn, m ức s ử dụng lao độ ng và s ản l ượ ng hàng ngày. a) Gi ả sử doanh nghi ệp đó đang s ử dụng 16 đơ n v ị vốn và 81 đơ n v ị lao độ ng trong m ột ngày t ức K 16, L 81. = = S ản l ượ ng c ận biên c ủa v ốn là:

( ) ( ) ( ) / 0,75 0,75 K MPK 16, 81 f 16, 81 5. 16 81 16, 875 - = = = S ản l ượ ng c ận biên c ủa lao độ ng là: 83 ( ) ( ) ( ) / 0,25 0,25 L MPL 16, 81 f 16, 81 15. 16 81 10 - = = = Ngh ĩa là, n ếu doanh nghi ệp t ăng m ức s ử d ụng v ốn K từ 16 lên 17 đơ n v ị và gi ữ nguyên m ức s ử d ụng lao độ ng L 81 = trong m ột ngày, thì s ản l ượ ng t ăng thêm x ấp x ỉ 16, 875 đơ n v ị sản ph ẩm. T ươ ng t ự, n ếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng v ốn K 16 = và t ăng m ức s ử dụng lao độ ng L từ 81 lên 82 trong m ột ngày thì s ản l ượ ng t ăng thêm x ấp x ỉ 10 đơ n v ị s ản ph ẩm.

b) T ại 0 0K 16, L 81 = = , n ếu gi ảm v ốn K xu ống 0,5 đơ n v ị và t ăng lao độ ng L lên 2 đơ n v ị thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào?

( ) ( ) ( ) / / K 0 0 L 0 0 Q f K , L K f K , L L D » D + D hay ( ) 135 185 Q .( 0, 5) 10 2 0 8 16 D » - + × = > V ậy Q sẽ tăng x ấp x ỉ 185/16 đơ n v ị. 3.2.1.2. Hàm l ợi ích: ( ) 1 2 n U U x , x , ..., x = Đạ o hàm riêng c ủa hàm l ợi ích đố i v ới các bi ến độ c l ập là:

i i U MU (i 1, 2,..., n ) x ¶ = =¶ i MU : đượ c g ọi là l ợi ích c ận biên c ủa hàng hoá th ứ i. Ý ngh ĩa. Đạ o hàm riêng i MU tại điểm ( ) 1 2 n X x , x ,..., x bi ểu di ễn x ấp x ỉ lợi ích t ăng thêm khi ng ườ i tiêu dùng có thêm m ột đơ n v ị hàng hoá th ứ i trong điều ki ện s ố đơ n v ị các hàng hoá khác không thay đổ i. Ví d ụ 4. Gi ả sử hàm tiêu dùng hàng ngày c ủa m ột ng ườ i tiêu dùng đố i v ới hai lo ại hàng hoá đượ c cho nh ư sau: ( ) 3 1 2 1 2 U x , x 2 x x = Trong đó: 1 2x , x lần l ượ t là m ức s ử dụng hàng hoá 1 và hàng hoá 2, U là l ợi ích c ủa ng ườ i tiêu dùng hàng ngày. Gi ả sử ng ườ i tiêu dùng đang s ử dụng 64 đơ n v ị hàng hóa 1 và 25 đơ n v ị hàng hoá 2 trong m ột ngày.

+) L ợi ích c ận biên c ủa hàng hoá 1 đố i v ới ng ườ i tiêu dùng là: 84 ( ) 2 1 3 2 1 1 U 2 5 MU 64, 25 64 25 0, 21 x 3 24 -   ¶   = = = »   ¶   +) L ợi ích c ận biên c ủa hàng hoá 2 đố i v ới ng ườ i tiêu dùng là:

( ) 1 1 3 2 2 2 U MU 64, 25 64 25 0, 8 x -   ¶   = = =   ¶   Ngh ĩa là, n ếu ng ườ i tiêu dùng t ăng m ức s ử dụng hàng hoá 1 thêm m ột đơ n v ị 1x 65 = và gi ữ nguyên m ức s ử dụng hàng hoá 2 trong m ột ngày thì l ợi ích t ăng thêm kho ảng 0, 21 đơ n v ị. T ươ ng t ự, n ếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng hàng hoá 1 và t ăng m ức s ử dụng hàng hoá 2 thêm 1 đơ n v ị trong m ột ngày thì l ợi ích t ăng thêm kho ảng 0, 8 đơ n v ị. Ví d ụ 5. Ng ườ i ta ướ c l ượ ng hàm s ản xu ất hàng ngày c ủa m ột doanh nghi ệp nh ư sau: ( ) 3 Q K, L 80 K . L = .

a) V ới K 25 = và L 64 = hãy cho bi ết m ức s ản xu ất hàng ngày c ủa doanh nghi ệp.

b) B ằng các đạ o hàm riêng c ủa Q , cho bi ết n ếu doanh nghi ệp:

+) S ử dụng thêm m ột đơ n v ị lao độ ng m ỗi ngày và gi ữ nguyên m ức K 25 = thì s ản l ượ ng s ẽ thay đổ i là bao nhiêu?

+) Ng ượ c l ại, n ếu s ử dụng thêm m ột đơ n v ị vốn m ỗi ngày và gi ữ nguyên m ức L 64 = thì s ản l ượ ng s ẽ thay đổ i b ằng bao nhiêu? c) N ếu giá thuê m ột đơ n v ị vốn K là 12 USD, giá đơ n v ị L là 2,5 USD và doanh nghi ệp s ử dụng các y ếu t ố đầ u vào ở m ức nêu trong câu a) thì doanh nghi ệp nên s ử dụng thêm m ột đơ n v ị K hay thêm m ột đơ n v ị L m ỗi ngày? Gi ải a) M ức s ản xu ất hàng c ủa doanh nghi ệp khi K 25 = và L 64 = là:

3 Q 80. 25. 64 80.5.4 1600 = = = (đvsp).

b) Các đạ o hàm riêng c ủa hàm s ản xu ất:

+) Đạ o hàm riêng c ủa Q theo K và c ủa Q theo L:

( )/ 3 K 1 1 Q K, L 80. . L ; 2 K = ( )/ L 3 2 1 1 Q K, L 80. . K . 3 L = 85 Tại m ức K 25 = và L 64 = , ta có ( ) ( )/ / K L 25 Q 25, 64 32; Q 25, 64 8, 3 3 = = » +) N ếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng v ốn K 25 = và s ử dụng thêm m ột đơ n v ị lao độ ng m ỗi ngày thì s ản l ượ ng t ăng m ột lượ ng x ấp x ỉ là 8, 3 đơ n v ị. +) N ếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng lao độ ng L 64 = và s ử dụng thêm m ột đơ n v ị v ốn m ỗi ngày thì s ản l ượ ng thay đổ i m ột lượ ng x ấp x ỉ là 32 đơ n v ị.

c) V ới các gi ả thi ết đã cho thì doanh nghi ệp nên s ử dụng thêm m ột đơ n v ị lao độ ng m ỗi ngày. Vì ta có L K MPL 25 / 3 MPK 32 p 2, 5 p 12 = > = . 3.2.2.

Đạo hàm riêng và h ệ s ố co dãn Cho mô hình hàm kinh t ế: ( ) 1 2 n w f x , x , ..., x = H ệ số co dãn c ủa w theo bi ến ix tại điểm ( ) 1 2 nx , x , ..., x là s ố đo l ượ ng thay đổ i tính b ằng ph ần tr ăm c ủa w khi ix thay đổ i 1% trong điều ki ện giá tr ị của các bi ến độ c l ập khác không thay đổ i, đượ c ký hi ệu và xác định nh ư sau:

( ) ( ) i 1 2 n i w x i 1 2 n f x , x , ..., x x . . x f x , x , ..., x ¶ e = ¶ Ví dụ 6. Gi ả sử hàm c ầu c ủa hàng hoá 1 trên th ị tr ườ ng hai hàng hoá liên quan có d ạng sau: ( ) 1 12 2 D 1 2 2 5 Q P , P 6300 2P P 3 = - - . Trong đó, 1 2P , P tươ ng ứng là giá c ủa hàng hoá 1, 2 . Tính h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá t ại điểm ( ) 20, 30 . Giải Hệ số co dãn c ủa c ầu theo giá 1P đố i v ới giá c ủa hàng hoá đó t ại th ời điểm ( ) 1 2P , P 1 D 1 1 1 1D 1 1 1 Q P 2 2 1 D 2 Q P P 4P . 5 P Q 6300 2P P 3 ¶ e = = - ¶ - - H ệ số co dãn c ủa c ầu đố i v ới hàng hoá th ứ nh ất theo giá hàng hoá th ứ hai 2P tại th ời điểm ( ) 1 2P , P là:

D 2 1 1 2 2 Q P 2 2 2 10 P P . 5 3 6300 2P P 3 e = - - - 86 Tại điểm ( ) 20, 30 ta có: D 1 D 2 1 1Q P Q P 0, 4; 0, 75 e = - e = - . Điều này có ngh ĩa là khi hàng hoá 1 đang ở m ức giá 20 và hàng hoá 2 ở m ức giá 30 nếu t ăng giá hàng hoá 1 lên 1% còn giá hàng hoá 2 không đổ i thì c ầu đố i v ới hàng hoá 1 sẽ gi ảm 0, 4 %, t ươ ng t ự, n ếu giá c ủa hàng hoá 1 không thay đổ i nh ưng giá c ủa hàng hoá hai t ăng thêm 1% thì c ầu đố i v ới hàng hoá 1 cũng gi ảm 0, 75 %. Ví d ụ 7. Gi ả sử hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: ( ) 1 2 3 3 Q K, L 120K L = .

a) Khi đó h ệ số co dãn c ủa s ản l ượ ng theo v ốn t ại th ời điểm ( ) K , L là:

2 2 3 3 QK 1 2 3 3 K 40 1 40K L . . 120 3 120K L - e = = = Khi đó h ệ số co dãn c ủa s ản l ượ ng theo lao độ ng t ại th ời điểm ( ) K , L là:

1 1 3 3 QL 1 2 3 3 L 80 2 80K L . . 120 3 120K L - - e = = = Nhận xét Nếu mô hình hàm s ố kinh t ế có d ạng mô hình hàm Cobb –Douglass thì h ệ số co dãn c ủa w theo kx đúng b ằng lu ỹ th ừa c ủa kx . b) T ại m ức s ử dụng ( ) K , L nếu gi ảm v ốn K xu ống 2% và t ăng lao độ ng L lên 3% thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào?

Ta có QK QL 1 2 4 Q ( 2). 3. ( 2). 3. 0 3 3 3 D » - e + e = - + = > Do đó s ản l ượ ng Q tăng x ấp x ỉ (4/3)%.

c) T ại m ức s ử dụng ( ) K , L nếu t ăng v ốn K lên 2% và gi ảm lao độ ng L xu ống 3% thì Q sẽ thay đổ i nh ư th ế nào?

Ta có QK QL 1 2 4 Q 2. 3. 2. 3. 0 3 3 3 D » e - e = - = - < Do đó s ản l ượ ng Q gi ảm x ấp x ỉ (4/3)%. 87 3.2.3. Đạo hàm riêng c ấp 2 và quy lu ật l ợi ích biên gi ảm d ần Xét mô hình hàm kinh t ế hai bi ến s ố: ( ) z f x , y= .

+) ( ) / / x xz f x, y : = là hàm c ận biên c ủa mô hình hàm kinh t ế trên theo bi ến x.

+) ( ) / / y yz f x, y : = là hàm c ận biên c ủa mô hình hàm kinh t ế trên theo bi ến y. Trong kinh t ế học, quy lu ật l ợi ích c ận biên gi ảm d ần nói r ằng: giá tr ị z- cận biên c ủa bi ến x gi ảm d ần khi x tăng y không đổ i. T ươ ng t ự, cho giá tr ị z- cận biên c ủa bi ến y gi ảm d ần khi y tăng và x không đổ i (Chú ý: chúng ta xét trong điều ki ện giá tr ị của các bi ến x, y là đủ lớn).

C ơ sở toán h ọc:

+) ( ) / / x xz f x, y : = là hàm s ố gi ảm khi ( ) / / / / xx xxz f x, y 0 = < . +) ( ) / / y yz f x, y : = là hàm s ố gi ảm khi ( ) / / / /yy yyz f x, y 0 = < . Ví d ụ 8. Hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng Cobb – Douglas nh ư sau:

( ) ( ) Q K, L aK L a, , 0 a b = a b > Hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa v ốn:

( ) / 1 KQ K, L a K L . a - b = a Hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng:

( ) / 1LQ K, L a K L . a b- = b Bi ểu hi ện c ủa quy lu ật lợi ích c ận biên gi ảm d ần:

( ) ( ) ( ) ( ) / / 2 KK / / 2 LLQ K, L a 1 K L 0 1.1 Q K, L a 1 K L 0 a- b a b-  = a a - < a <  Û   b < = b b - <    Áp d ụng vào bài toán c ụ th ể ta th ấy hàm s ản xu ất: Trong đó K, L, Q là m ức s ử d ụng v ốn, m ức s ử d ụng lao độ ng và s ản l ượ ng hàng ngày. Hàm này tho ả mãn quy lu ật lợi ích c ận biên gi ảm d ần. Ví d ụ 9. Cho hàm l ợi ích: ( ) 2 2 U x, y 15xy 2x 3y , (x, y 0). = - - > Hàm s ố trên có tuân theo quy lu ật lợi ích c ận biên gi ảm d ần hay không. Gi ải Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm U theo bi ến x và theo y 88 ( ) ( ) / / x yU x, y 15y 4x; U x, y 15x 6y = - = - Đạ o hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm U theo x và theo y ( ) ( ) / / / / xx yyU x, y 4 0; U x, y 6 0 = - < = - < V ậy hàm s ố trên tuân theo quy lu ật lợi ích c ận biên gi ảm d ần. 3.2.4. Hàm thu ần nh ất và v ấn đề hi ệu qu ả c ủa quy mô 3.2.4.1. Khái ni ệm hàm thu ần nh ất Hàm s ố ( ) z f x , y= đượ c g ọi là hàm thu ần nh ất c ấp k( ) k 0³ nếu v ới t 0" ¹ , chúng ta có: ( ) k f (tx, ty) t f x, y = × Ví dụ 10. Hàm s ản xu ất ( ) Q K, L aK L a b = là hàm thu ần nh ất c ấp ( ) a + b vì t 0" ¹ :

Ta tính toán giá tr ị của hàm ( ) Q K, L tại điểm ( ) tK , tL ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q tK, tL a tK tL t aK L t Q K, L a b a +b a b a +b = = = Ví dụ 11. Hàm s ản xu ất d ạng C.E.S ( ) 1 1 Q K, L A .K (1 )L ; (A 0; 0 1; 1) - b - - b b     = a + - a > < a < b > -     Luôn là hàm thu ần nh ất c ấp 1. Vì t 0" ¹ . Ta tính toán giá tr ị của hàm ( ) Q K, L tại điểm ( ) tK , tL 1 1 Q(tK, tL) A .( tK) (1 )(tL) - b - - b b     = a + - a    1 1 Q( tK, tL) tA .K (1 )L tQ(K, L) - b - - b b     Û = a + - a =     Ví d ụ 12. Hàm s ố ( ) 2 2 2xy z x, y x y = - là hàm thu ần nh ất c ấp 0. Vì t 0" ¹ .

Ta tính toán giá tr ị của hàm ( ) z x, y tại điểm ( ) tx, ty . 0 2 2 2 2 2(tx )(ty) 2xy z(tx, ty) t z(x, y) (tx ) (ty) x y = = = - - 3.2.4.2. V ấn đề hi ệu qu ả c ủa quy mô 89 Xét hàm s ản xu ất ( ) Q f K, L . = V ới K, L là các y ếu t ố đầ u vào; Q là y ếu t ố đầ u ra +) N ếu ( ) ( ) Q mK, mL mQ K, L > thì chúng ta nói hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả tăng theo quy mô. +) N ếu ( ) ( ) Q mK , mL mQ K , L < thì chúng ta nói hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô. +) N ếu ( ) ( ) Q mK, mL mQ K, L = thì chúng ta nói hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả không đổ i theo quy mô. 3.2.4.3. Liên h ệ hi ệu qu ả c ủa quy mô v ới b ậc thu ần nh ất Gi ả sử hàm s ản xu ất ( ) Q f K , L = là hàm thu ần nh ất c ấp k. +) N ếu k 1> thì hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả tăng theo quy mô.

+) N ếu k 1< thì hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô.

+) N ếu k 1= thì hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả không đổ i theo quy mô. Ví d ụ 13. Hàm s ản xu ất d ạng C.E.S có b ậc thu ần nh ất b ằng 1, nên nó có hi ệu qu ả không đổ i theo quy mô. Ví d ụ 14. Hàm s ản xu ất: ( ) Q K, L aK L a b = có c ấp thu ần nh ất ( ) a + b nên:

+) N ếu ( ) a + b > 1 thì nó có hi ệu qu ả tăng theo quy mô.

+) N ếu ( ) a + b < 1 thì nó có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô.

+) N ếu ( ) a + b = 1 thì nó có hi ệu qu ả không đổ i theo quy mô. 3.2.4.4. Liên h ệ v ới đạ o hàm riêng – Công th ức Euler Đị nh lý (Công th ức Euler). Hàm s ố ( ) z f x , y= là hàm thu ần nh ất c ấp k khi và ch ỉ khi ( ) ( ) ( ) / / x y x z x, y y z x, y k z x, y .× + × = × V ới ( ) z f x , y= đượ c gi ả thi ết là hàm liên t ục và có các đạ o hàm riêng liên t ục. 3.2.5. Đạo hàm c ủa hàm ẩn và áp d ụng phân tích kinh t ế 3.2.5.1. Khái ni ệm hàm ẩn Nếu giá tr ị của hai bi ến x, y quan h ệ với nhau b ởi h ệ th ức ( ) F x, y 0 = (*), trong đó ( ) F x, y là hàm hai bi ến xác định trên mi ền 2 D Ì ℝ .

N ếu x X," Î tồn t ại hàm s ố ( ) y f x= th ỏa mãn h ệ th ức (*), thì ta nói h ệ th ức này xác định hàm ẩn ( ) y f x= trên t ập X. 90 Ví d ụ 15. Xét h ệ th ức ( ) 2 2 F x, y x y 1 0 = + - = (**) V ới [ ] x 1,1" Î - ta có ( ) 2 y x 1 x = ± - V ậy hàm 2 y 1 x= - với [ ] x 1,1" Î - và hàm 2 y 1 x= - - v ới [ ] x 1,1" Î - là các hàm ẩn xác định b ởi h ệ th ức (**). 3.2.5.2. Định lý hàm ẩn Cho hàm hai bi ến ( ) F x, y xác định trong m ột lân c ận c ủa điểm ( ) 0 0x , y và ( ) 0 0 F x , y 0, = gi ả thi ết r ằng ( ) F x, y có các đạ o hàm riêng liên t ục và ( ) / yF x, y 0 ¹ tại m ọi điểm ( ) x , y thu ộc hàm lân c ận c ủa ( ) 0 0x , y ; Khi đó t ồn t ại duy nh ất hàm liên t ục ( ) y f x= xác định trong m ột lân c ận c ủa 0x th ỏa mãn điều ki ện:

( ) ( ) 0 0y f x , F x, f x 0 =   =   và ( ) ( ) / / x x / yF x, y y F x, y = - (công th ức đạ o hàm c ủa hàm ẩn) Ví d ụ 16. Cho hàm s ố: ( ) 2 2 F x, y x y 1 0 = + - = (**) Xác định hai hàm ẩn liên t ục 2 y 1 x= - và 2 y 1 x= - - với [ ] x 1,1 ." Î - T ại điểm ( ) ( ) 0 0x , y 0,1 = ta có ( ) F 0,1 0. = Khi đó ch ỉ có hàm ẩn 2 y 1 x= - tho ả mãn điều ki ện ( ) y 0 1. = S ử dụng công th ức tính đạ o hàm c ủa hàm ẩn. Tính đạ o hàm c ủa y theo x. Đạ o hàm riêng c ủa F theo x và theo y ( ) ( ) / / x yF x, y 2x; F x, y 2y = = Đạ o hàm c ủa y theo x: ( ) ( ) / / x x / yF x, y x y y F x, y = - = - +) N ếu ( ) 2 y x 1 x = - thì / x 2 x x y y 1 x = - = - - 91 +) N ếu ( ) 2 y x 1 x = - - thì / x 2 x x y y 1 x = = - - Ví dụ 17. Cho hàm c ầu ( )0 D D P, Y = (v ới P là giá, Y 0 là m ức thu nh ập) và hàm cung ( ) S S P= với các gi ả thi ết / PD 0 < , 0 / YD 0 > , /S 0 > .

Gi ả sử giá cân b ằng P ph ụ thu ộc m ức thu nh ập 0Y là hàm ẩn bi ểu di ễn b ởi h ệ th ức:

( ) ( ) ( ) 0 0 F P, Y D P, Y S P 0 = - = (***) Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 / / Y 0 Y 0 / Y / / / P 0 P 0F P, Y D P, Y P 0 F P, Y S P D P, Y = - = > - điều đó nói nên r ằng giá cân b ằng s ẽ thay đổ i cùng chi ều v ới thu nh ập (ch ẳng h ạn khi thu nh ập 0Y tăng thì s ẽ kéo theo giá cân b ằng t ăng). Ví d ụ 18. Giá m ột lo ại hàng P và chênh l ệch cung – c ầu S liên h ệ với nhau b ởi ph ươ ng trình: 2 SP 0,1P ln S c - = (c là h ằng s ố) S ử dụng công th ức đạ o hàm c ủa hàm ẩn để tính t ốc độ thay đổ i c ủa giá khi chênh l ệch cung c ầu thay đổ i? Gi ải:

Đặ t: ( ) 2 F P, S SP 0,1P ln S c 0 = - - = Ta có Đạ o hàm riêng c ủa F theo S: ( )/ 2 S 1 F S, P P 0,1.P . S = - Đạ o hàm riêng c ủa F theo P: ( ) / PF S, P S 0, 2P.ln S. = - T ốc độ thay đổ i c ủa giá khi chênh l ệch cung c ầu thay đổ i:

2 2 / S 21 P 0,1.P .

F / S P.S 0,1P S P F / P S 0, 2P.ln S S 0, 2.P.S.ln S - ¶ ¶ - = - = - = - ¶ ¶ - -. 92 3.2.6. Hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế ho ặc b ổ sung Gi ả s ử ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2Q D P , P ; Q D P , P = = là hàm c ầu c ủa hai lo ại hàng hóa, 1 2P , P th ứ t ự là giá c ủa hai hàng hóa đó. Theo tính ch ất c ủa hàm c ầu hàng hóa thông th ường:

giá t ăng thì c ầu gi ảm, chúng ta có: 1 2 1 2D D 0 & 0 P P ¶ ¶ < < ¶ ¶ +) N ếu 1 2 2 1D D 0 & 0 P P ¶ ¶ < < ¶ ¶ thì hai hàng hóa có tính ch ất b ổ sung.

+) N ếu 1 2 2 1D D 0 & 0 P P ¶ ¶ > > ¶ ¶ thì hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế. Ví d ụ 19. Gi ả sử hàm c ầu c ủa hai hàng hóa cho b ởi: ( )1 1 2 2 1 8 D P , P 300 4P ; P 2 = + - + ( )2 1 2 1 2 7 D P , P 200 3P . P 4 = - + + Đạ o hàm riêng c ủa 1D theo 2P : ( )11 2 2D P , P 4 P ¶ = - ¶ Đạ o hàm riêng c ủa 2D theo 1P: ( )2 1 2 1D P , P 3 P ¶ = - ¶ Chúng ta có 1 2 2 1D D 4 0 & 3 0, P P ¶ ¶ = - < = - < ¶ ¶ do đó hai hàng hóa này có tính ch ất b ổ sung được cho nhau. Ví d ụ 20. Gi ả sử hàm c ầu c ủa hai hàng hóa cho b ởi:

1 1 2Q 45 3P P = - + ; 2 1 2Q 30 2P P = + - . Đạ o hàm riêng c ủa 1Q theo 2P : ( )1 1 2 2Q P , P 1 P ¶ = ¶ Đạ o hàm riêng c ủa 2Q theo 1P : ( )2 1 2 1Q P , P 2 P ¶ = ¶ Chúng ta có 1 2 2 1Q Q 1 0 & 2 0 P P ¶ ¶ = > = > ¶ ¶ , do đó hai hàng hóa này có tính ch ất thay th ế đượ c cho nhau. 93 3.2.7. Bài t ập Bài s ố 1. Cho hàm l ợi ích : ( ) ( ) 2 2 U x, y 12xy 2x y x, y 0 = - - > 1) Tại 0 0x 50, y 60 = = , n ếu x tăng thêm 1 đơ n v ị và y không đổ i thì l ợi ích thay đổ i nh ư th ế nào?

2) Tính y MU tại 0 0x 50, y 60 = = và gi ải thích ý ngh ĩa k ết qu ả nh ận đượ c.

3) Tính t ỉ số ( )x yx 0 0 y MU MRTS x 50, y 60 . MU = = = 4) Tại 0 0x 50, y 60 = = , n ếu x tăng thêm 0,5 đơ n v ị và y gi ảm 1,5 đơ n v ị thì l ợi ích thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : 1) ( ) x MU 50, 60 520; = 2) ( ) y MU 50, 60 1480; = 3) ( ) yx 13 MRTS 50, 60 ; 12= 4) ( ) U 50, 60 460.D = - Bài s ố 2. Cho hàm c ầu : 0,2 0,3 DQ 0, 4Y P - = ( Y là thu nh ập, P là giá). Hãy tính h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá và c ủa c ầu theo thu nh ập. Đ áp s ố : D DQ |Y Q |P 0, 2; 0, 3. e = e = - Bài s ố 3. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: ( ) ( ) 2 2 Q K, L 12KL 2K 3L K, L 0 . = - - > Hàm s ản xu ất trên có hi ệu qu ả tăng, gi ảm hay không đổ i theo quy mô? Gi ải thích. Đ áp s ố : Hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả t ăng theo quy mô.

Bài s ố 4. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: ( ) ( ) 2 1 3 2 Q K, L 120K L K, L 0 = > 1) Tính M PK và M PL tại K = 1000 và L = 225. Nêu ý ngh ĩa k ết qu ả nh ận đượ c.

2) Tính t ỉ số ( ) LK 0 0 MPK MRTS , K 1000, L 225 . MPL = = = 3) Tính h ệ số co dãn c ủa s ản l ượ ng theo v ốn K và theo lao độ ng L. 4) Nếu gi ữ nguyên m ức s ử dụng v ốn K, tăng m ức s ử dụng lao độ ng L thêm 4% thì s ản l ượ ng Q thay đổ i nh ư th ế nào?

5) Nếu t ăng m ức s ử dụng v ốn K thêm 3% và gi ảm m ức s ử dụng lao độ ng L xu ống 2% thì s ản l ượ ng Q thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : 1) ( ) ( ) MPK 1000, 225 120; MPL 1000, 225 400; = = 2) LK MRTS 0, 3; = 94 3) Q|K Q|L 2 1; ;3 2 e = e = 4) S ản l ượ ng s ẽ t ăng 2%; 5) S ản l ượ ng s ẽ t ăng 1%.

Bài s ố 5. Cho hàm s ản xu ất có d ạng: ( ) 2 0,5 0,5 1 2 Q K, L K L 3 3 = +   với K là v ốn và L là lao độ ng.

1) Tìm hàm n ăng su ất c ận biên c ủa v ốn và lao độ ng.

2) Hàm s ản xu ất trên có hi ệu qu ả tăng theo qui mô không? Đ áp s ố : 1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 2 2 1 2 MPK K L K ; MPL K L L ; 3 3 3 3 3 3 - -     = + = +         2) Hàm s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô.

Bài s ố 6. Gi ả sử hàm c ầu c ủa hai hàng hóa cho b ởi:

1 1 2Q 55 2P P = - - ; 2 1 2Q 40 P P = - - S ử dụng đạ o hàm riêng cho bi ết hai hàng hóa có tính ch ất thay th ế hay b ổ sung? Đ áp s ố : Hàng hóa có tính b ổ sung.

Bài s ố 7. Cho hàm s ản xu ất 0,5 0,7 Y ( t ) 0, 7K L . = V ới K 120 0, 2t; L 100 0,1t = + = + 1) Tính h ệ số tăng tr ưở ng c ủa v ốn K, lao độ ng L và Y. 2) Tính h ệ số co dãn c ủa Y theo K và Y theo L. 3) Hãy cho bi ết hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất trong tr ườ ng h ợp này. Đ áp s ố : 1) K L Y 0, 2 0,1 0,1 0, 07 r ; r ; r ; 120 0, 2t 100 0,1t 120 0, 2t 100 0,1t= = = + + + + + 2) YK YL 0, 5; 0, 7 e = e = ; 3) Tăng quy mô s ản xu ất có hi ệu qu ả.

Bài s ố 8. Thu nh ập qu ốc dân ( )Y của m ột qu ốc gia có d ạng:

0,4 0,3 0,01 Y 0, 48K L NX = Trong đó: K là v ốn, L là lao độ ng và NX là xu ất kh ẩu ròng.

1) Khi t ăng 1% lao độ ng s ẽ ảnh h ưở ng nh ư th ế nào đế n thu nh ập qu ốc dân? Có ý ki ến cho r ằng gi ảm m ức lao độ ng xu ống 2% thì có th ể tăng xu ất kh ẩu ròng 15% mà thu nh ập v ẫn không đổ i, cho bi ết điều này đúng hay sai?

2) Cho nh ịp t ăng tr ưở ng c ủa NX là 4%, c ủa K là 3%, c ủa L là 5%. Xác định nh ịp t ăng tr ưở ng c ủa Y. Đ áp s ố: 1) Thu nh ập qu ốc dân t ăng 0,3%; sai; 2) Yr 2, 74%. = 95 3.3. Mô hình c ực tr ị không có điề u ki ện ràng bu ộc (t ự do) nhi ều bi ến trong kinh t ế 3.3.1. Xác định qu ỹ v ốn và lao động để tối đ a hóa doanh thu, l ợi nhu ận Cho hàm s ản xu ất ( ) Q f K , L = và giá bán s ản ph ẩm P. Bi ết giá thuê m ột đơ n v ị v ốn là Kp và giá thuê m ột đơ n v ị lao động là Lp . Bài toán 1. Xác định m ức s ử d ụng v ốn K và lao động L để sản l ượng Q cực đạ i/tối đa.

Bài toán được đư a v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm s ản xu ất v ới hai bi ến K và L. Bài toán 2. Hãy xác định m ức s ử d ụng v ốn K và lao động L để lợ i nhu ận c ực đạ i /t ối đa.

Chúng ta c ần xác định hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm l ợi nhu ận.

+) Hàm doanh thu : ( ) ( ) TR K , L P.Q P.f K , L = = +) Hàm chi phí : ( ) K L TC K , L p K p L = × + × +) Hàm l ợi nhu ận : ( ) ( ) K L K, L TR TC P Q K , L p K p L p = - = × - × - × Bài toán được đư a v ề bài toán c ực tr ị t ự do c ủa hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến K và L. Ví d ụ 21. Ướ c lượ ng hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: ( ) ( ) 3 3 Q K, L K 8L 3KL 200, K 0, L 0 = - - + + > > Hãy xác định m ức s ử dụng v ốn và lao độ ng để sản l ượ ng c ực đạ i. Gi ải +) B ướ c 1. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạ o hàm riêng c ấp 1 ( ) / 2 KQ K, L 3K 3L; = - + ( ) / 2 LQ K, L 24L 3K. = - + Đạ o hàm riêng c ấp 2 ( ) ( ) / / / / KK LLQ K, L 6K; Q K, L 48L; = - = - ( ) ( ) / / / / KL LKQ K, L Q K, L 3. = = +) B ướ c 2 . Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng ( ) ( )/ 2 K / 2 LQ K, L 0 3K 3L 0 Q K, L 0 3K 24L 0   = - + =   Û   = - =     96 2 4 1 K L K 2 1 K 8K 0 L 4  =  =   Û Û   - =    =   hay K 0 L 0 =   =  (lo ại vì K 0, L 0 > > ) Hàm s ố có m ột điểm d ừng 1 1 M , 2 4     +) B ướ c 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại 1 1 M , 2 4     / / KK 1 1 A Q , 3 0; 2 4   = = - <     / / LL 1 1 C Q , 12 0; 2 4   = = - <     / / / / KL LK 1 1 1 1 B Q , Q , 3 0. 2 4 2 4     = = = >         Xét định th ức 3 3 D 27 0 3 12 - = = > - và A 0 < V ậy hàm s ố đạ t c ực đạ i tại 1 1 M , 2 4     với max 1 1 1601 Q Q , . 2 4 8   = =     Ví d ụ 22. Tìm K , L để hàm l ợi nhu ận sau đạ t giá tr ị cực đạ i ( ) 2 1 3 4 K, L 300K L 100K 150L p = - - Giải +) B ướ c 1. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạ o hàm riêng c ấp 1 ( ) ( ) 1 1 / 34 K 23 / 34 L K, L 200K L 100; K, L 75K L 150 - - p = - p = - Đạ o hàm riêng c ấp 2 ( ) 4 1 / / 3 4 KK 200 K, L K L ; 3 - p = - ( ) 2 7 / / 3 4 LL 225 K, L K L ; 4 - p = - ( ) ( ) 4 3 / / / / 3 4 KL LK K, L K, L 50K L . - - p = p = +) B ướ c 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng 97 ( ) ( ) 1 1 / 34 K 2 / 3 L 34 K, L 0 200K L 100 0 K, L 0 75K L 150 0 - -   p = - =   Û  p =   - =  ( ) ( ) 1 1 3 4 2 3 3 4 200K L 100 1 75K L 150 2 - -  =  Û   =  L ập t ỷ số hai ph ươ ng trình ta suy ra đượ c: K 4L = (3) Th ế (3) vào (2), ta đượ c ( ) 2 3 1 2 3 4 12 3 75 4L L 150 L 2 4 L 16 (4) - - - = Û = × Û = Thay (4) vào (3), ta được: K 64 = Hàm s ố có m ột điểm d ừng ( ) M 64,16 +) B ướ c 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại ( ) M 64,16 ( ) 4 1 / / 34 KK 200 25 A 64,16 (64) (16) 0; 3 48 - = p = - = - < ( ) 2 7 / / 34 LL 225 225 C 64,16 (64) (16) 0; 4 32 - = p = - = - < ( ) ( ) 1 3 / / / / 34 KL LK 25 B 64,16 64,16 50(64) (16) 0. 16 - - = p = p = = > Xét định th ức 25 25 625 48 16 D 25 225 512 16 32 - = = - và A 0 < V ậy hàm s ố đạ t c ực đạ i tại ( ) M 64,16 với max (64,16) 800. p = p = Ví d ụ 23. Cho hàm s ản xu ất c ủa doanh nghi ệp: ( ) 0,4 0,4 Q K, L 15K L , = trong đó Q là s ản l ượ ng, K là v ốn và L là lao độ ng. Vi ết hàm l ợi nhu ận. Tìm giá tr ị của K và L th ỏa mãn điều ki ện c ần để cực đạ i hàm l ợi nhu ận bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 2 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 4 USD và giá bán s ản ph ẩm là 1 USD . Gi ải Hàm l ợi nhu ận 98 ( ) ( ) 0,4 0,4 K L K, L TR TC PQ p K p L 15K L 2K 4L p = - = - + = - - +) B ướ c 1. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 Đạ o hàm riêng c ấp 1 ( ) ( ) / 0,6 0,4 / 0,4 0,6 K L K, L 6K L 2; K, L 6K L 4 - - p = - p = - . Đạ o hàm riêng c ấp 2 ( ) ( ) / / 1,6 0,4 / / 0,4 1,6KK LL K, L 3, 6K L ; K, L 3, 6K L ; - - p = - p = - ( ) ( ) / / / / 0,6 0,6KL LK K, L K, L 2, 4K L . - - p = p = +) B ướ c 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng ( ) ( )/ 0,6 0,4 K / 0,4 0,6 L K, L 0 6K L 2 0 K, L 0 6K L 4 0 - -   p = - =   Û   p = - =     0,6 0,4 0,4 0,6 6K L 2 (1) 6K L 4 (2) - -  =  Û  =   L ập t ỷ số ph ươ ng trình (1) và ph ươ ng trình (2) ta đượ c: K 2L = (3) Th ế (3) vào (2), ta có 0,4 0,6 0,2 0,4 4 6(2L) L 4 L L 30, 375 (4) 6 2 - - = Û = Û =× Thay (4) vào (3), ta được: K 60, 75 = Hàm s ố có m ột điểm d ừng ( ) M 60, 75; 30, 375 +) B ướ c 3 . Ki ểm tra điều ki ện đủ tại ( ) M 60, 75; 30, 375 ( ) / / 1,6 0,4KK A 60, 75; 30, 375 3, 6(60, 75) (30, 375) ; - = p = - ( ) / /0,4 1,6LL C 60, 75; 30, 375 3, 6(60, 75) (30, 375) - = p = - ; ( ) / /0,6 0,6KL B 60, 75; 30, 375 2, 4(60, 75) (30, 375) . - - = p = Xét định th ức 1,2 1,2 A B D 7, 2(60, 75) (30, 375) 0 B C - - = = > và A 0 < V ậy hàm s ố đạ t c ực đạ i tại ( ) M 60, 75; 30, 375 , v ới ( ) max 243 60, 75; 30, 375 . 5 p = p = 99 3.3.2. Xác định c ơ c ấu s ản ph ẩm để tối thi ểu hóa chi phí, t ối đa hóa doanh thu, l ợi nhu ận Bài toán 1. Hãng độ c quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm v ới giá bán/hàm c ầu th ứ tự là 1 2P , P và hàm chi phí k ết h ợp ( ) 1 2 TC TC Q , Q . = Hãy xác định c ơ cấu s ản ph ẩm/s ản l ượ ng c ủa t ừng lo ại s ản ph ẩm để hãng có doanh thu/ l ợi nhu ận t ối đa.

Chúng ta c ần xác định hàm doanh thu/ l ợi nhu ận +) Hàm doanh thu : ( ) 1 2 1 1 2 2 TR Q , Q P .Q P Q = + +) Hàm l ợi nhu ận: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2Q , Q TR Q , Q TC Q , Q p = - Bài toán đượ c đư a v ề bài toán c ực tr ị tự do c ủa hàm doanh thu/hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến 1 2Q ; Q . Bài toán 2. Hãng độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm nh ưng tiêu th ụ ở hai th ị tr ườ ng phân bi ệt v ới hàm c ầu ở từng th ị tr ườ ng th ứ tự lần l ượ t là 1 1 1 2P P (Q , Q ) = ; 2 2 1 2P P (Q , Q ) = và hàm chi phí k ết h ợp ( ) 1 2 TC TC Q , Q . = Hãy xác định l ượ ng cung ở t ừng th ị tr ườ ng để hãng có doanh thu/ l ợi nhu ận t ối đa.

Chúng ta c ần xác định hàm doanh thu/ l ợi nhu ận +) Hàm doanh thu : ( ) 1 2 1 1 2 2 TR Q , Q P Q P Q = + +) Hàm l ợi nhu ận: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2Q , Q TR Q , Q TC Q , Q p = - Bài toán đượ c đư a v ề bài toán c ực tr ị tự do c ủa hàm doanh thu/hàm l ợi nhu ận v ới hai bi ến 1 2Q , Q . Ví d ụ 24. M ột hãng độ c quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau:

1 1 2 2Q 1300 P ; Q 675 0, 5P = - = - và hàm chi phí k ết h ợp là ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 TC Q , Q Q 3Q Q Q = + + . Hãy cho bi ết m ức s ản l ượ ng 1 2Q , Q và các giá bán t ươ ng ứng để doanh nghi ệp đó thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Gi ải +) B ướ c 1. L ập hàm l ợi nhu ận T ừ các hàm c ầu thu ận ta suy ra hàm c ầu đả o:

1 1 2 2P 1300 Q ; P 1350 2Q = - = - Hàm l ợi nhu ận c ủa doanh nghi ệp 100 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2Q , Q P Q P Q TC Q , Q p = + - Hay ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2Q , Q 2Q 3Q 1300Q 1350Q 3Q Q p = - - + + - V ậy bài toán tr ở thành tìm điểm c ực đạ i c ủa hàm ( ) 1 2Q , Q p .

+) B ướ c 2. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 và c ấp 2 ( ) ( ) 1 2 / Q 1 2 1 2 / Q 1 2 1 2 Q , Q 4Q 3Q 1300; Q , Q 3Q 6Q 1350; p = - - + p = - - + ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 / / / / / / Q Q 1 2 Q Q 1 2 Q Q Q , Q 4; Q , Q 6; 3. p = - p = - p = - +) B ướ c 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng ( ) ( ) 1 2 / Q 1 2 1 2 1 / 1 2 2 Q 1 2 Q , Q 0 4Q 3Q 1300 0 Q 250 3Q 6Q 1350 0 Q 100 Q , Q 0  p = - - + = =    Û Û    - - + = = p =     V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng là ( ) M 250, 100 . B ướ c 4. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại ( ) M 250,100 . ( ) ( ) 1 1 2 2 / / / / Q Q Q Q A 250,100 4; C 250,100 6; = p = - = p = - ( ) ( ) 1 2 2 1 / / / / Q Q Q Q B 250,100 250,100 3. = p = p = - Xét định th ức 4 3 D 15 0 3 6 - - = = > - - và A 4 0 = - < nên ( ) M 250, 100 là điểm c ực đạ i c ủa hàm p.

B ướ c 5. K ết lu ận: Doanh nghi ệp c ần bán hàng v ới m ức s ản l ượ ng cho m ỗi s ản ph ẩm và giá c ả tươ ng ứng là 1 1Q 250; P 1300 250 1050 = = - = ; 2 2Q 100; P 1350 200 1150 = = - = để thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa là ( ) max 250, 100 230000. p = p = Ví d ụ 25. Cho bi ết hàm l ợi nhu ận c ủa m ột doanh nghi ệp s ản xu ất ba lo ại s ản ph ẩm là 2 2 2 1 2 3 2 3 1 3Q 3Q 7Q 300Q 1200Q 4Q Q 20 p = - - - + + + + 101 Hãy tìm m ức s ản l ượ ng 1 2 3Q , Q , Q để doanh nghi ệp thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Gi ải +) B ướ c 1. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng 1 2 3 / Q 1 3 1 / Q 2 2 / 3 1 3 Q 0 2Q 4Q 0 Q 400 0 6Q 300 0 Q 50 14Q 4Q 1200 0 Q 200 0  p = - + = =       p = Û - + = Û =       - + + = =   p =   V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng là ( ) M 400, 50, 200 . +) B ướ c 2. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại ( ) M 400, 50, 200 . ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 / / 11 Q Q / / 22 Q Q / / 33 Q Q a 400, 50, 200 2; a 400, 50, 200 6; a 400, 50, 200 14; = p = - = p = - = p = - ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 3 / / 12 21 Q Q / / 13 31 Q Q / / 23 32 Q Q a a 400, 50, 200 0; a a 400, 50, 200 4; a a 400, 50, 200 . = = p = = = p = = = p Xét ma tr ận Hess t ại điểm d ừng ( ) M 400, 50, 200 2 0 4 H 0 6 0 4 0 14 -   = -   -   T ừ ma tr ận H thành l ập các ma tr ận con t ươ ng ứng 1 2 3 2 0 H ( 2); H ; H H 0 6 -   = - = =   -   Ta có 1 2 3H 2 0; H 12 0; H 72 0 = - < = > = - < Xét 1 2 2 3H H 24 0; H H 864 0 = - < = - < nên ( ) M 400, 50, 200 là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố p.

+) B ướ c 3 . K ết lu ận : Doanh nghi ệp c ần bán các m ặt hàng v ới s ố lượ ng 1 2 3Q 400; Q 50; Q 200 = = = để thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa là :

( ) max 400, 50, 200 127520. p = p = 102 3.3.3. Bài t ập Bài s ố 1. Cho bi ết hàm l ợi nhu ận c ủa m ột doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm đượ c cho nh ư sau: ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 Q , Q 160Q 3Q 2Q Q 2Q 120Q 18 p = - - - + - . Hãy tìm m ức s ản l ượ ng 1 2Q , Q để doanh nghi ệp đạ t đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : max (20; 20) 2782. p = p = Bài s ố 2. M ột hãng độ c quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: 1 1 2 2Q 25 0, 5P ; Q 30 P . = - = - V ới hàm chi phí k ết h ợp 2 2 1 1 2 2 TC Q 2Q Q Q 20. = + + + Hãy xác định m ức s ản l ượ ng 1 2Q , Q và giá bán t ươ ng ứng để hãng đạ t lợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : max (7; 4) 215. p = p = Bài s ố 3. Tr ả lời câu h ỏi c ủa bài t ập s ố 2 v ới: 1 1 2 2Q 50 0, 5P ; Q 76 P = - = - và 2 2 1 1 2 2 TC 3Q 2Q Q 2Q 105 = + + + Đ áp s ố : max (8;10) 675. p = p = Bài s ố 4. Cho hàm s ản xu ất c ủa hãng ( ) 0,3 0,4 Q K, L 10K L = , bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốnK b ằng 0,03, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng L b ằng 2, giá s ản ph ẩm b ằng 4. Hãy xác định m ức s ử dụng K và L để hãng thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : ( ) max 2560000, 51200 76800. p = p = Bài s ố 5. M ột doanh nghi ệp s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. G ọi 1Q và 2Q là s ản l ượ ng t ươ ng ứng c ủa các lo ại s ản ph ẩm đó. Gi ả sử hàm l ợi nhu ận là: 2 3 1 2 1 2 1 15Q 12Q 3Q Q Q . p = + - - Hãy xác định m ức s ản l ượ ng c ần s ản xu ất 1Q và 2Q sao cho doanh nghi ệp thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : ( ) max 2,1 28. p = p = Bài s ố 6. Doanh nghi ệp c ạnh tranh có hàm s ản xu ất d ạng:

( ) 2 2 Q K, L 2K 3KL 3L 30K 20L (K, L 0) = - + - + + > 1) Hãy xác định m ức s ử dụng v ốn K và lao độ ng L để doanh nghi ệp thu đượ c s ản l ượ ng c ực đạ i. 103 2) Cho bi ết giá th ị tr ườ ng c ủa s ản ph ẩm là P 2= USD, giá thuê m ột đơ n v ị v ốn là Kp 4 = USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng Lp 22 = USD. Hãy xác định m ức s ử d ụng K và L để hãng thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : 1) max 34 1060 Q Q 16, ; 3 3   = =     2) ( ) max 13, 8 436. p = p = Bài s ố 7. M ột hãng độ c quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: 1 1 2Q 75 3P P = - - ; 2 1 2Q 60 2P P . = - - V ới hàm chi phí k ết h ợp 2 2 1 1 2 2 TC 2Q Q Q Q 300. = + + + Hãy xác định m ức s ản l ượ ng 1 2Q , Q và giá bán t ươ ng ứng để hãng đạ t lợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : max 45 105 795 , . 11 22 11   p = p =     Bài s ố 8. M ột xí nghi ệp s ản xu ất độ c quy ền hai lo ại s ản ph ẩm. Bi ết hàm c ầu c ủa hai lo ại s ản ph ẩm trên l ần l ượ t là : 1D 1 2Q 40 2P P = - + và 2D 1 2Q 15 P P = + - .

V ới hàm t ổng chi phí là : 2 21 1 2 2 TC Q Q Q Q = + + . Hãy định các m ức s ản l ượ ng 1Q và 2Q để doanh nghi ệp đạ t lợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố: 1 2 23 Q 8, Q . 3 = = Bài s ố 9. Doanh nghi ệp c ạnh tranh có hàm s ản xu ất d ạng:

( ) 0,5 0,5 Q K, L K L = + 1) Đ ánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất.

2) Tính MPK và MPL tại điểm ( ) 16, 25 và nêu ý ngh ĩa.

3) Cho bi ết giá th ị tr ườ ng c ủa s ản ph ẩm là P 2= USD, giá thuê m ột đơ n v ị v ốn là Kp 0, 25 = USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng Lp 0, 2 = USD. Hãy xác định m ức s ử dụng K và L để hãng thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Đ áp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; 2) ( ) ( ) 1 1 MPK 16, 25 ; MPL 16, 25 8 10 = = 3) ( ) max 16, 25 9. p = p = 104 3.4. Mô hình c ực tr ị có điề u ki ện ràng bu ộc nhi ều bi ến trong kinh t ế 3.4.1. T ối đ a hóa l ợi ích trong điề u ki ện ràng bu ộc v ề ngân sách dành cho chi tiêu Bài toán. Cho hàm l ợi ích c ủa ch ủ th ể nh ư sau: ( ) U U X, Y = . Bi ết r ằng giá m ặt hàng hóa X là XP , giá m ặt hàng hóa Y là YP và ngân sách dành cho chi tiêu c ủa ch ủ th ể là I. Hãy xác định s ố l ượ ng m ặt hàng X, Y sao cho t ối đa hóa l ợi ích c ủa ch ủ th ể.

Mô hình bài toán. Tìm ( ) X, Y sao cho U(X, Y) đạ t giá tr ị lớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện: X Y X P Y P I. × + × = Ví d ụ 26. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: ( ) 0,4 0,6 U x, y x y . = Gi ả sử giá c ủa các m ặt hàng t ươ ng ứng là 2 USD, 3 USD và thu nh ập dành cho tiêu dùng là 130 USD. Hãy xác định l ượ ng c ầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng để ng ườ i tiêu dùng thu đượ c l ợi ích t ối đa. Gi ải Gọi x là s ố lượ ng m ặt hàng 1; y là s ố lượ ng m ặt hàng 2. +) B ướ c 1. Mô hình bài toán. Tìm (x, y) sao cho ( ) 0,4 0,6 U x, y x y = đạ t giá tr ị tối đa th ỏa mãn điều ki ện g(x, y) 2x 3y 130 = + = . +) B ướ c 2. L ập hàm Lagrange ( ) ( ) 0,4 0,6 L x, y, x y 130 2x 3y l = + l - - +) B ướ c 3. Gi ải h ệ ph ươ ng trình để tìm điểm d ừng ( ) ( ) ( )/ 0,6 0,6 0,6 0,6 x / 0,4 0,4 0,4 0,4 y /L x, y, 0, 4x y 2 0 x y 5 (1) L x, y, 0, 6x y 3 0 x y 5 (2) 2x 3y 130 (3) L x, y, 130 2x 3y 0 - - - - l   l = - l = = l     l = - l = Û = l     + = l = - - =     T ừ (1) và (2) suy ra y x= , thay vào ph ươ ng trình th ứ (3) ta có 2x 3.x 130 x 26 y 26; 0, 2 + = Û = ⇒ = l = V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng ( ) M 26, 26 ứng v ới 0, 2. l = +) B ướ c 4. Ki ểm tra điều ki ện đủ . Xét t ại điểm d ừng ( ) M 26, 26 với 0, 2. l = ( ) ( ) / / 1 x 2 y g g 26, 26 2; g g 26, 26 3; = = = = ( ) / / 1,6 0,6 11 xx 3 L L 26; 26; 0, 2 0, 24(26) (26) 0; 325 - = = - = - < 105 ( ) / / 0,4 1,4 22 yy 3 L L 26; 26; 0, 2 0, 24(26) (26) 0; 325 - = = - = - < ( ) / / 0,6 0,4 12 21 xy 3 L L L 26; 26; 0, 2 0, 24(26) (26) 0. 325 - - = = = = > Xét định th ức 11 12 12 11 22 21 22 0 2 3 3 H 2 L L 12L 9L 4L 0 13 3 L L = = - - = > nên ( ) M 26, 26 là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố.

+) B ướ c 5. K ết lu ận : Ng ườ i tiêu dùng c ần mua m ặt hàng 1 và m ặt hàng 2 đề u v ới s ố lượ ng 26 đơ n v ị để thu đượ c l ợi ích t ối đa là ( ) 0,4 0,6 U 26, 26 26 .26 26. = = Ví d ụ 27. M ột h ộ gia đình có hàm l ợi ích tiêu dùng v ới hai lo ại hàng hóa nh ư sau ( ) 0,45 0,55 1 2 1 2 1 2 U x , x 20x x , (x 0, x 0) = > > Trong đó 1 2x , x tươ ng ứng là s ố đơ n v ị của hai lo ại hàng hóa v ới giá 1p 6, = 2p 11. = Ngân sách tiêu dùng là I 600= .

a) Lập hàm Lagrange để tìm c ực tr ị hàm l ợi ích trong điều ki ện ràng bu ộc ngân sách dành cho tiêu dùng.

b) Tìm gói hàng c ực đạ i hàm l ợi ích.

c) Khi ngân sách tiêu dùng t ăng 1 đơ n v ị thì m ức l ợi ích c ực đạ i t ăng bao nhiêu đơ n v ị?

Gi ải a) L ập bài toán: Tìm ( ) 1 2x , x sao cho ( ) 0,45 0,55 1 2 1 2 1 2 U x , x 20x x ( x 0, x 0) = > > đạ t giá tr ị t ối đa th ỏa mãn điều ki ện: ( ) 1 2 1 2 g x , x 6x 11x 600. = + = L ập hàm Lagrange: ( ) ( ) 0,45 0,55 1 2 1 2 1 2 L x , x , 20x x 600 6x 11x . l = + l - - b) Điều ki ện c ần:

( ) 1 / 0,55 0,55 x 1 2 1 2 x , x , 9x x 6 ; L - l = - l ( ) 2 / 0,45 0,45x 1 2 1 2L x , x , 11x x 11 ; - l = - l ( ) / 1 2 1 2 L x , x , 600 6x 11x .l l = - - 106 Xét h ệ ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 1 2 / x 1 2 / x 1 2 / 1 2L x , x , 0 L x , x , 0 L x , x , 0l  l =   l =   l =   0,55 0,55 2 1 0,45 0,45 1 2 1 2 9x x 6 0 11x x 11 0 600 6x 11x 0 - -  - l =   Û - l =   - - =   ( ) 0,45 0,45 1 2 1 2 2 1 0,45 2 2 11x x 11 0 x 45 x 2 x 30 x 3 1, 5 1, 2 600 9x 11x 0 -  - l =  =     Û = Û =     l = =   - - =  V ậy hàm s ố có 1 điểm d ừng ( ) M 45, 30 với 1, 2 l = Điều ki ện đủ : Xét t ại điểm ( ) M 45, 30 với 1, 2 l = ( ) ( ) 1 2 / / 1 x 2 x 45, 30 45, 30 g g 6; g g 11; = = = = ( ) 1 1 / / 1,55 0,55 11 x x L 45; 30;1, 2 4, 95 45 30 0; L - = = - × < ( ) 2 2 / / 0,45 1,45 22 x x L L 45; 30;1, 2 4, 95 45 30 0; - = = - × × < ( ) 1 2 / / 0,55 0,45 12 21 x x L L L 45; 30;1, 2 4, 95 45 30 0. - - = = = × × > L ập ma tr ận Hess 1 2 1 11 12 11 12 2 21 22 21 22 0 g g 0 6 11 H g L L 6 L L g L L 11 L L        = =          Ta có 12 11 22 H 132L 121L 36L 0 = - - > V ậy điểm ( ) M 45, 30 là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố, v ới gói hàng (45, 30) thì hàm l ợi ích đạ t c ực đạ i b ằng 720,099.

c) Ý ngh ĩa c ủa nhân t ử Lagrange l.

Khi ngân sách tiêu dùng t ăng lên 1 đơ n v ị thì gi ỏ giá tr ị lợi ích c ực đạ i t ăng lên m ột l ượ ng x ấp x ỉ bằng 1, 2 l = đơ n v ị. 3.4.2. T ối đ a hóa s ản l ượ ng trong điề u ki ện ràng bu ộc v ề ngân sách dành cho s ản xu ất Bài toán. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp: ( ) Q Q K , L = . Bi ết r ằng giá thuê m ột đơ n v ị vốn là Kp , giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là Lp và ngân sách dành cho s ản 107 xu ất c ủa doanh nghi ệp là I. Hãy xác định m ức s ử dụng K, L sao cho doanh nghi ệp t ối đa hóa s ản l ượ ng. Mô hình bài toán. Tìm ( ) K , L sao cho ( ) Q K, L đạ t giá tr ị tối đa th ỏa mãn điều ki ện : K L K p L p I. × + × = Ví d ụ 28. M ột doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: ( ) 0,4 0,3 Q K, L K L = a) Hãy đánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất.

b) Gi ả sử giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 4 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 3 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố định là 1050 USD. Hãy cho bi ết doanh nghi ệp đó s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị vốn và bao nhiêu đơ n v ị lao độ ng thì thu đượ c s ản l ượ ng t ối đa? Gi ải a) Ta th ấy 0, 3 0, 4 0, 7 1 + = < nên doanh nghi ệp s ản xu ất có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô.

b) L ập mô hình bài toán. Tìm ( ) K , L sao cho 0,4 0,3 Q K L = đạ t giá tr ị tối đa th ỏa mãn điều ki ện 4K 3L 1050. + = Đặ t ( ) g K , L 4K 3L 1050. = + = +) B ướ c 1. Để tránh nh ầm l ẫn, trong bài này ta ký hi ệu hàm Lagrange là ( ) ( ) 0,4 0,3 f K, L, K L 1050 4K 3L l = + l - - +) B ướ c 2. Gi ải h ệ ph ươ ng trình / 0,6 0,3 0,6 0,3 K / 0,4 0,7 0,4 0,7 L /f 0, 4K L 4 0 K L 10 (1) f 0, 3K L 3 0 K L 10 (2) 4K 3L 1050 (3) f 1050 4K 3L 0 - - - - l   = - l = = l    = - l = Û = l     + = = - - =     T ừ (1) và (2) suy ra K L = , thay vào ph ươ ng trình th ứ (3) ta có 0,3 1 7K 1050 K 150 L 150; 10.150 = Û = ⇒= l = V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng ( ) M 150,150 ứng v ới 0,3 1 10.150 l = .

+) B ướ c 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại ( ) M 150,150 ứng v ới 0,3 1 10.150 l = 108 ( ) ( ) / / 1 K 2 L g g 150,150 4; g g 150,150 3; = = = = ( ) / / 1,3 11 KK f f 150,150, 0, 24.150 0; - = l = - < ( ) / / 1,3 22 LL f f 150,150, 0, 21.150 0; - = l = - < ( ) / / 1,3 12 21 KL f f f 150,150, 0,12.150 0. - = = l = > Xét định th ức:

1,3 11 12 12 11 22 21 22 0 4 3 42 H 4 F F 24f 9f 16f 150 0 5 3 F F - = = - - = × > nên ( ) M 150,150 là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố.

+) B ướ c 4. K ết lu ận: Doanh nghi ệp c ần s ử dụng 150 đơ n v ị vốn và 150 đơ n v ị lao độ ng để thu đượ c s ản l ượ ng t ối đa là ( ) 0,7 maxQ Q 150,150 150 . = = Ví d ụ 29. Công ty M chuyên s ản xu ất m ột m ặt hàng A, có hàm s ản xu ất ph ụ thu ộc hai y ếu t ố v ốn K và lao độ ng L nh ư sau: ( ) 0,4 0,6 Q K, L 40K L = trong đó Q là s ản l ượ ng và K 0, L 0. > > Cho bi ết gi ỏ vốn và lao độ ng l ần l ượ t là Kp 11 = , Lp 20 = , v ới kh ả năng chi phí t ối đa cho v ốn và lao độ ng là 6600. Hãy s ử dụng ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange tìm K và L sao cho s ản l ượ ng Q đạ t c ực đạ i. Gi ải +) B ướ c 1. L ập mô hình bài toán. Tìm ( ) K , L sao cho ( ) 0,4 0,6 Q K, L 40K L = đạ t giá tr ị l ớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện: ( ) g K , L 11K 20L 6600 = + = +) B ướ c 2. L ập hàm Lagrange: ( ) ( ) 0,4 0,6 f K, L, 40K L 6600 11K 20L l = + l - - +) B ướ c 3. Điều ki ện c ần: Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f ( ) / 0,6 0,6 K K, L, 16K L 11 ; f - l = - l ( ) / 0,4 0,4 Lf K, L, 24K L 20 ; - l = - l ( ) /f K, L, 6600 11K 20L.l l = - - 109 Xét h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) / K / L / K, L, 0 f K, L, 0 f f K, L, 0l  l =   l =   l =   0,6 0,6 0,4 0,4 16K L 11 0 24K L 20 0 6600 11K 20L 0 - -  - l =   Û - l =   - - =   0,6 0,6 0 0 0,6 0 16 K L 11 K 240 33 L K L 198 40 16 33 33 .

6600 11K 20. K 0 11 40 40 -   = l   =    Û = Û =         l = - - =         V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: ( ) 0,6 0 16 33 M 240, 198 ; . 0 11 40   l = >     +) B ướ c 4. Điều ki ện đủ : Đạ o hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f ( ) / / 1,6 0,6KK K, L, 9, 6K L ; f - l = - ( ) / / 0,4 1,4LLf K, L, 9, 6K L ; - l = - ( ) / / 0,6 0,4KLf K, L, 9, 6K L . - - l = Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa g ( ) ( ) / / 1 K 2 L 240, 198 240, 198 g g 11; g g 20. = = = = Xét t ại điểm d ừng t ại ( ) 0,6 0 16 33 M 240, 198 ; . 0 11 40   l = >     Ta có ( ) / / 1,6 0,6 11 KK 0 f 240, 198, 9, 6(240) (198) 0; f - = l = - < ( ) / / 0,4 1,4 22 LL 0 f f 240, 198, 9, 6(240) (198) 0; - = l = - < ( ) / / 0,6 0,4 12 21 KL 0 f f f 240, 198, 9, 6(240) (198) 0. - - = = l = > L ập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng:

1 2 1 11 12 11 12 2 21 22 21 22 0 g g 0 11 20 H g f f 11 f f g f f 20 f f        = =          110 Ta có ( ) 12 11 22 12 11 22 H 440f 400f 121f 0, f 0; f 0; f 0 = - - > > < < V ậy điểm ( ) M 240,198 là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố, tức là v ới m ức v ốn K 240, = lao độ ng L 198 = thì s ản l ượ ng Q đạ t m ức t ối đa là 8553,49. 3.4.3. T ối thi ểu hóa chi tiêu trong điề u ki ện gi ữ m ức l ợi ích Bài toán. Cho hàm l ợi ích c ủa ch ủ th ể nh ư sau: ( ) U U X, Y = . Bi ết r ằng giá m ặt hàng hóa X là XP , giá m ặt hàng hóa Y là YP và m ức l ợi ích định tr ướ c c ủa ch ủ th ể là 0U . Hãy xác định s ố lượ ng m ặt hàng X, Y sao cho t ối thi ểu hóa chi tiêu cho ch ủ th ể. Mô hình bài toán. Tìm ( ) X, Y sao cho ( ) X Y C X, Y X P Y P = × + × đạ t giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện : ( ) 0 U X, Y U . = Ví d ụ 30. Cho hàm chi tiêu ( ) 1 2 1 1 2 2 C x , x p x p x = + và hàm l ợi ích ( ) 1 2 1 2 U x , x x x = . a) Hãy c ực ti ểu hàm chi tiêu trong điề u ki ện gi ữ m ức l ợi ích b ằng 0U .

b) Áp d ụng : v ới 1 2 0p 8, p 4, U 8 = = = .

c) V ới d ữ ki ện câu b) n ếu m ức l ợi ích 0U tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu đơ n v ị. d) Với d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích 0U tăng 1% thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu %. Gi ải a) Tìm 1 2 (x , x ) sao cho 1 1 2 2 C p x p x = + đạ t giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa : 1 2 0 g x x U= = +) B ướ c 1. L ập hàm Lagrange: ( ) 1 2 1 1 2 2 0 1 2 L(x , x , ) p x p x U x x l = + + l - Đạ o hàm riêng c ấp 1 1 /x 1 2 1 2L (x , x , ) p x ; l = - l 2 /x 1 2 2 1L (x , x , ) p x ; l = - l / 1 2 0 1 2 L (x , x , ) U x x ;l l = - 1 2 / /x 2 x 1g x ; g x . = = Đạ o hàm riêng c ấp 2 1 1 2 2 / / / / x x 1 2 x x 1 2L (x , x , ) 0; L (x , x , ) 0; l = l = 1 2 2 1 / / / / x x 1 2 x x 1 2L (x , x , ) L (x , x , ). l = -l = l +) B ướ c 2. Tìm điểm d ừng cùng giá tr ị l, từ hệ ph ươ ng trình sau 111 1 2 1 / 2 x 1 2 / 2 x 2 1 1 / 0 1 2 1 2 0 p x L p x 0 p L p x 0 x L U x x 0 x x U l l =   = - l =     = - l = Û l =     = - =   =    ( ) 2 1 1 0 1 2 1 1 2 1 2 0 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0 1 0p p x U p x p p x x x U x , x 0 p p p p p x U p U   =  l =       Û = Û = >       =   l =    Hàm s ố có m ột điểm d ừng : 2 1 1 2 0 0 0 1 2 0p p p p M U ; U ; 0. p p U   l = >       +) B ướ c 3. Ki ểm tra điều ki ện đủ tại điểm d ừng 2 1 1 2 0 0 0 1 2 0p p p p M U ; U ; 0. p p U   l = >       Ta có 1 / 1 1 x 0 2 p g g U 0; p = = > 2 /2 2 x 0 1 p g g U 0. p = = > 0 1 2 11 22 12 21 0p p L 0; L 0; L L 0. U = = = = -l = - < Xét định th ức: 1 2 1 0 0 1 2 1 2 0 2 0 0 g g H g 0 2 g g 2 p p U 0 g 0 = -l = - l = - < -l V ậy điểm 2 1 0 0 1 2 p p M U ; U p p       là điểm c ực ti ểu c ủa hàm chi tiêu.

b) Áp d ụng : v ới 1 2 0p 8, p 4, U 8 = = = thì 112 2 1 0 1 1 2 0 2 1 2 0p 4 x U 8 2 p 8 p 8 x U 8 4 p 4 p p 8 4 2 U 8  = = × =    = = × =   ×  l = = =  V ậy ( ) 0 M 2, 4 ; 2 0 l = > là điểm c ực ti ểu c ủa hàm chi tiêu.

c) V ới d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích 0U tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu đơ n v ị? Theo ý ngh ĩa c ủa nhân t ử Lagrange: 0 C 2 0 U ¶ = l = > ¶ V ậy n ếu n ếu m ức l ợi ích 0U tăng 1 đơ n v ị thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu s ẽ tăng x ấp x ỉ 2 đơ n v ị.

d) V ới d ữ ki ện câu b). N ếu m ức l ợi ích 0U tăng 1% thì ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng bao nhiêu % Ngân sách chi tiêu c ực ti ểu: min 1 2 0C 2 p p U = Do đó : 1 2 0 0 C p p U U ¶ = ¶ H ệ số co dãn c ủa hàm chi tiêu theo l ợi ích t ại điểm t ối ưu 0 C 0 01 2 U 0 min 0 1 2 0 U U C p p 0, 5 0 U C U 2 p p U ¶ e = × = = > ¶ V ậy ngân sách chi tiêu c ực ti ểu t ăng x ấp x ỉ 0,5%. 3.4.4. T ối thi ểu hóa chi phí trong điề u ki ện gi ữ m ức s ản l ượ ng Bài toán. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp: ( ) Q Q K , L = . Bi ết r ằng giá thuê m ột đơ n v ị vốn là Kp , giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là Lp và m ức s ản l ượ ng yêu c ầu định tr ướ c c ủa doanh nghi ệp là 0Q . Hãy xác định m ức s ử dụng K, L sao cho doanh nghi ệp t ối thi ểu hóa chi phí. 113 Mô hình bài toán. Tìm ( ) K , L sao cho ( ) K L TC K , L K p L p = × + × đạ t giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện : ( ) 0 Q K , L Q . = Ví d ụ 31. Gi ả sử hàm s ản xu ất doanh nghi ệp có d ạng: 0,5 0,5 Q 25K L . = Bi ết r ằng giá thuê m ột đơ n v ị vốn là Kp 12 = , giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là Lp 3 = .

a) Đị nh m ức s ử dụng K, L tối ưu để sản xu ất đượ c m ức s ản l ượ ng Q 1250. = b) Tính h ệ số co dãn c ủa t ổng chi phí theo s ản l ượ ng t ại điểm t ối ưu và nêu ý ngh ĩa. Gi ải a) Đị nh m ức s ử dụng K, L t ối ưu để sản xu ất đượ c m ức s ản l ượ ng Q 1250. = +) B ướ c 1. L ập mô hình bài toán. Tìm ( ) K , L sao cho ( ) TC K, L 12K 3L = + đạ t giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện: ( ) 0,5 0,5 g K, L 25K L 1250 = = +) B ướ c 2. L ập hàm Lagrange:

( ) ( ) 0,5 0,5 f K, L, 12K 3L 1250 25K L l = + + l - +) B ướ c 3. Điều ki ện c ần: Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f ( ) / 0,5 0,5K K, L, 12 12, 5 K L ; f - l = - l ( ) / 0,5 0,5Lf K, L, 3 12, 5 K L ; - l = - l ( ) / 0,5 0,5f K, L, 1250 25K L .l l = - Xét h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) / K / L / K, L, 0 f K, L, 0 f f K, L, 0l  l =   l =   l =   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 12 12, 5 K L 0 3 12, 5 K L 0 1250 25K L 0 - -  - l =   Û - l =   - =   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 12, 5 K L 12 K 25 12, 5 K L 3 L 100 0, 48 25K L 1250 - -  l = =     Û l = Û =     l = =    V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: ( ) M 25, 100 ; 0, 48 l = 114 +) B ướ c 4. Điều ki ện đủ : Đạ o hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f ( ) / / 1,5 0,5KK K, L, 6, 25 K L ; f - l = l ( ) / / 0,5 1,5LLf K, L, 6, 25 K L ; - l = l ( ) / / 0,5 0,5KLf K, L, 6, 25 K L . - - l = - l Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa g 0,5 0,5 0,5 0,5 / / K L K L K L g 12, 5 ; g 12, 5 - - = = Xét t ại điểm d ừng ( ) M 25, 100 ; 0, 48 l = Ta có ( ) ( ) / / 1 K 2 L 25, 100 25, 100 g g 25; g g 6, 25 = = = = ( ) / / 11 KK 6 f 25;100; 0, 48 0, 24; f 25 = = = ( ) / / 22 LL 3 f f 25;100; 0, 48 0, 015; 200 = = = ( ) / / 12 21 KL 3 f f f 25;100; 0, 48 0, 06. 50 = = = - = - L ập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng ( ) M 25, 100 ; 0, 48 l = 1 2 1 11 12 2 21 22 0 g g 0 25 6, 25 H g f f 25 0, 24 0, 06 g f f 6, 25 0, 06 0, 015        = = -       -     Ta có: H 37, 5 0. = - < Vậy điểm ( ) M 25, 100 là điểm c ực ti ểu c ủa hàm s ố, tức là v ới m ức v ốn K 25, = lao độ ng L 100 = với min TC 600 = .

b) Tính h ệ số co dãn c ủa t ổng chi phí theo s ản l ượ ng t ại Q và nêu ý ngh ĩa Ta có: ( ) ( )/ TC/ Q Q TC Q TC Q e = T ại điểm t ối ưu, min 0, 48, Q 1250, TC 600 l = = = thì TC/Q min Q 1250 0, 48 1 TC 600 e = l = × = Ý ngh ĩa. T ại điểm t ối ưu, n ếu s ản l ượ ng t ăng 1% thì chi phí t ối thi ểu t ăng 1%. 115 3.4.5. T ối đ a hóa l ợi nhu ận c ủa hãng độc quy ền, trong tr ường h ợp không phân bi ệt giá bán ở hai th ị tr ườ ng Bài toán. Gi ả sử m ột công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai th ị tr ườ ng khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí ( ) 1 2 TC TC Q , (Q Q Q ) = = + và c ầu c ủa hai th ị tr ườ ng l ần l ượ t là ( ) ( ) 1 1 2 2Q D P , Q D P . = = Hãy xác định s ản l ượ ng và giá bán trên m ỗi th ị tr ườ ng để công ty thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán t ại hai th ị tr ườ ng là nh ư nhau. Mô hình bài toán. Tìm ( ) 1 2Q , Q sao cho hàm l ợi nhu ận ( ) 1 2Q , Q p = p đạ t giá tr ị l ớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện : 1 2P P . = Ph ương pháp gi ải.

Bướ c 1. T ừ hai hàm c ầu thu ận ( ) ( ) 1 1 2 2Q D P , Q D P , = = ta suy ra hai hàm c ầu đả o ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2P D Q , P D Q . - - = = B ướ c 2. L ập hàm doanh thu: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 TR Q , Q P Q P Q D Q Q D Q Q . - - = + = + B ướ c 3. L ập hàm l ợi nhu ận: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2Q , Q TR Q , Q TC Q , Q . p = - B ướ c 4. T ừ gi ả thi ết giá bán hai th ị tr ườ ng là nh ư nhau, ngh ĩa là ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2P P D Q D Q . - - = Û = B ướ c 5. Kh ảo sát c ực tr ị của hàm l ợi nhu ận ( ) 1 2Q , Q p = p với điều ki ện ràng bu ộc là : ( ) ( ) 1 1 1 2 D Q D Q .- - = Ví d ụ 32. M ột công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai th ị tr ườ ng khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí 1 2 TC 35 40Q, (Q Q Q ) = + = + và c ầu c ủa hai th ị tr ườ ng l ần l ượ t là 1 1 2 2Q 24 0, 2P , Q 10 0, 05P . = - = - Hãy xác định s ản l ượ ng và giá bán trên m ỗi th ị tr ườ ng để công ty thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán t ại hai th ị tr ườ ng là nh ư nhau. Gi ải Từ hai hàm c ầu thu ận 1 1 2 2Q 24 0, 2P ; Q 10 0, 05P , = - = - ta có suy ra hai hàm c ầu đả o 1 1 2 2P 120 5Q , P 200 20Q = - = - 116 +) Hàm doanh thu: ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 TR Q , Q P Q P Q 120Q 5Q 200Q 20Q = + = - + - +) Hàm l ợi nhu ận:

( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2Q , Q TR Q , Q TC Q , Q 80Q 5Q 160Q 20Q p = - = - + - +) Theo gi ả thi ết: 1 2 1 2 1 2P P 120 5Q 200 20Q Q 4Q 16 = Û - = - Û - + = +) B ướ c 1. L ập mô hình bài toán. Tìm ( ) 1 2Q , Q sao cho ( ) 1 2Q , Q p đạ t giá tr ị lớn nh ất th ỏa mãn điều ki ện: ( ) 1 2 1 2 g Q , Q Q 4Q 16 = - + = +) B ướ c 2. L ập hàm ph ụ Lagrange: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 f Q , Q , 80Q 5Q 160Q 20Q 16 Q 4Q l = - + - + l + - +) B ướ c 3. Điều ki ện c ần: Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm f ( ) 1 / Q 1 2 1 Q , Q , 80 10Q ; f l = - + l ( ) 2 / Q 1 2 2 Q , Q , 160 40Q 4 ; f l = - - l ( ) / 1 2 1 2Q , Q , 16 Q 4Q . fl l = + - Xét h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) 1 2 / Q 1 2 / Q 1 2 / 1 2 Q , Q , 0 f Q , Q , 0 f Q , Q , 0 fl  l =   l =   l =   1 2 1 2 80 10Q 0 160 40Q 4 0 16 Q 4Q 0 - + l =   Û - - l =   + - =  1 1 2 2 1 2 32 Q 5 10Q 80 28 40Q 4 160 Q 5 Q 4Q 16 16  =  - l =     Û + l = Û =     - + =  l = -   V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng: 32 28 M , ; 16 5 5   l = -     +) B ướ c 4. Điều ki ện đủ : 117 Đạ o hàm riêng c ấp 2 c ủa hàm f ( ) 1 1 / / Q Q 1 2 Q , Q , 10; f l = - ( ) 2 2 / / Q Q 1 2 Q , Q , 40; f l = - ( ) ( ) 1 2 2 1 / / Q Q 1 2 Q Q 1 2 Q , Q , Q , Q , 0. f f l = l = Đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa g ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 / / Q Q Q , Q 1 Q , Q 4 g ; g - = = Xét t ại điểm d ừng 32 28 M , ; 16 5 5   l = -     Ta có 1 2 / 1 Q / 2 Q 32 28 , 1 5 5 32 28 , 4; 5 5 g g ; g g   -           = = = = 1 1 / / 11 Q Q 32 28 f , , 16 10; f 5 5   = - = -     2 2 / / 22 Q Q 32 28 f f , , 16 40; 5 5   = - = -     1 2 / / 12 21 Q Q 32 28 f f f , , 16 0. 5 5   = = - =     L ập ma tr ận Hess t ại điểm d ừng 32 28 M , ; 16 5 5   l = -     1 2 1 11 12 2 21 22 0 g g 0 1 4 H g f f 1 10 0 g f f 4 0 40 -        = = - -       -     Ta có định th ức c ủa ma tr ận Hess ( ) 0 1 4 det H 1 10 0 200 0. 4 0 40 - = - - = > - Vậy hàm s ố đạ t c ực đạ i t ại điểm 32 28 M , 5 5     , ngh ĩa là s ản l ượ ng 1 32 Q , 5 = 2 28 Q 5 = và giá bán t ươ ng ứng 1 2P P 88 = = thì công ty đạ t đượ c l ợi nhu ận t ối đa v ới max 576. p = 118 3.4.6. Bài t ập Bài s ố 1. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: ( ) 1 2 1 2 1 2 U x , x x x x x . = + + Trong đó 1 2x , x l ần l ượ t là kh ối lượ ng hai m ặt hàng. Gi ả sử giá bán c ủa các m ặt hàng t ượ ng ứng là 1P 2 = USD, 2P 5 = USD và thu nh ập dành cho ng ườ i tiêu dùng là I 500= USD. Hãy xác định l ượ ng c ầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng n ếu ng ườ i tiêu dùng mu ốn t ối đa hóa l ợi ích c ủa mình.

N ếu thu nh ập c ủa ng ườ i tiêu dùng t ăng 1% thì l ợi ích t ối đa thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : max U M 503 497 U U ; ; 1, 973. 4 10   = e =     Bài s ố 2. Cho bi ết hàm l ợi ích tiêu dùng: ( ) 0,6 0,25 1 2 1 2 U x , x x x . = Trong đó 1 2x , x lần l ượ t là kh ối l ượ ng hai m ặt hàng. Gi ả sử giá bán c ủa các m ặt hàng t ượ ng ứng là 1P 8 = USD, 2P 5 = USD và thu nh ập dành cho ng ườ i tiêu dùng là I 680= USD. Hãy xác định l ượ ng c ầu đố i v ới m ỗi m ặt hàng n ếu ng ườ i tiêu dùng mu ốn t ối đa hóa l ợi ích c ủa mình. N ếu thu nh ập dành cho ng ườ i tiêu dùng t ăng thêm 1 USD, thì l ợi ích t ối đa thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : max U U U(60; 40) 29, 34; 0, 037. M ¶ = = = ¶ Bài s ố 3. M ột doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: ( ) 0,3 0,5 Q K, L K L = 1) Đ ánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất 2) Gi ả sử giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 6 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 2 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố định là 384 USD. Hãy cho bi ết doanh nghi ệp đó s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị tư bản và bao nhiêu đơ n v ị lao độ ng thì thu đượ c s ản l ượ ng t ối đa. Đ áp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; 2) ( ) maxQ Q 24,120 28, 422. = = Bài s ố 4. M ột doanh nghi ệp có hàm s ản xu ất: ( ) 0,7 0,1 Q K, L 10K L = 1) Đ ánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất.

2) Gi ả sử giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 28 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 10 USD và doanh nghi ệp ti ến hành s ản xu ất v ới ngân sách c ố định là 4000 USD. Hãy cho 119 biết doanh nghi ệp đó s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị tư bản và bao nhiêu đơ n v ị lao độ ng thì thu đượ c s ản l ượ ng t ối đa. Đ áp s ố : 1) Doanh nghi ệp có hi ệu qu ả gi ảm theo quy mô; 2) ( ) maxQ Q 125, 50 = 434, 244. = Bài s ố 5. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột hãng ( ) 0,3 0,4 Q K, L 10K L . = 1) Đ ánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất.

2) Bi ết r ằng giá thuê m ột đơ n v ị vốn K b ằng 0,03 USD, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng b ằng 2 USD. Hãy xác định m ức s ử dụng K và L để hãng t ối thi ểu hóa chi phí, bi ết r ằng hãng mu ốn gi ữ m ức s ản l ượ ng là 1200. Đ áp s ố: 1) T ăng quy mô s ản xu ất không hi ệu qu ả ; ( ) min TC TC 8750,175 612, 5. = = Bài s ố 6. T ối thi ểu hóa hàm chi phí ( ) TC x, y 3x 4 y, (x 0, y 0) = + > > , trong điều ki ện gi ữ m ức l ợi ích ( ) U x, y 2xy 337, 5. = = N ếu m ức l ợi ích t ăng thêm 1 đơ n v ị thì chi phí t ối thi ểu thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : min TC 2 TC TC(15;11, 25) 90; . U 15 ¶ = = = l = ¶ Bài s ố 7. T ối thi ểu hóa hàm chi phí ( ) 2 2 TC x, y x 4y 3xy 10, ( x 0, y 0) = + - + > > , trong điều ki ện gi ữ m ức doanh thu ( ) TR x , y 5x 7 y 508. = + = Đ áp s ố : min TC TC(61, 29) 1788. = = Bài s ố 8. M ột công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai th ị tr ườ ng khác nhau. Bi ết hàm chi phí c ận biên MC 1, 75 0, 05Q = + , 1 2 (Q Q Q ) = + và c ầu c ủa hai th ị tr ườ ng l ần l ượ t là 1 1P 12 0,15Q = - , 2 2P 9 0, 075Q = - . Hãy xác định s ản l ượ ng và giá bán trên m ỗi th ị tr ườ ng để công ty thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán hai th ị là nh ư nhau và chi phí c ố định là 100. Đ áp s ố : 1 2 1 2 695 310 293 Q , Q ; P P 27 27 36 = = = = thì l ợi nhu ận đượ c đạ i.

Bài s ố 9. M ột công ty có hàm s ản xu ất: ( ) Q K , L 0, 5K (L 2), = - trong đó K, L lần l ượ t là v ốn và lao độ ng. Bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốn là Kp 120 = USD và giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là Lp 60 = USD. N ếu doanh nghi ệp chi s ố tiền 3000. 120 1) Tính m ức s ử dụng v ốn và lao độ ng để tối đa hóa s ản l ượ ng.

2) Nếu s ố tiền doanh nghi ệp chi t ăng 10% thì s ản l ượ ng t ối đa thay đổ i nh ư th ế nào? Đ áp s ố : 1) ( ) maxQ Q 12, 26 144; = = 2) S ản l ượ ng t ối đa t ăng 20,833%.

Bài s ố 10. M ột nhóm dân c ư có hàm th ỏa d ụng ( ) 0,6 0,2 U X, Y 2X Y . = Bi ết r ằng giá các m ặt hàng t ươ ng ứng l ần l ượ t là X YP 240, P 4. = = Hãy xác định ph ươ ng án tiêu dùng cho c ụm dân c ư trên để có th ể đặ t đượ c độ th ỏa d ụng là 40 v ới chi phí bé nh ất. Đ áp s ố : ( ) min TC U 20, 400 6400. = = Bài s ố 11. M ột công ty độ c quy ền s ản xu ất m ột lo ại s ản ph ẩm và bán s ản ph ẩm đó ở hai th ị tr ườ ng khác nhau. Bi ết hàm t ổng chi phí ( ) 1 2 TC 2000 10Q, Q Q Q = + = + và c ầu c ủa hai th ị tr ườ ng l ần l ượ t là 1 1 2 2Q 21 0,1P ; Q 50 0, 4P . = - = - Hãy xác định s ản l ượ ng và giá bán trên m ỗi th ị tr ườ ng để công ty thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Bi ết r ằng giá bán t ại hai th ị tr ườ ng là nh ư nhau. Đ áp s ố : max 1 2 67 98 ; 178; P P 76. 5 5   p = p = = =     Bài s ố 12. Cho hàm s ản xu ất c ủa m ột doanh nghi ệp có d ạng: ( ) Q K , L K (L 5), = + trong đó K, L lần l ượ t là v ốn và lao độ ng. Bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 70 USD và giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 20 USD.

1) Nếu doanh nghi ệp nh ận đượ c h ợp đồ ng cung c ấp 5600 s ản ph ẩm. Tính m ức s ử dụng v ốn và lao độ ng sao cho vi ệc s ản xu ất lượ ng s ản ph ẩm theo h ợp đồ ng t ốn ít chi phí nh ất?

2) Tính h ệ số co dãn c ủa hàm t ổng chi phí theo s ản l ượ ng Q tại th ời điểm t ối ưu? Nêu ý ngh ĩa c ủa h ệ số đó? Đ áp s ố : 1) ( ) min TC TC 40,135 5500; = = 2) TC|Q 28 . 55 e = Bài s ố 13. M ột công ty có hàm s ản xu ất:

( ) 3/ 4 1/ 2 Q K , L K L = (K – v ốn, L – lao độ ng). 121 Bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 30 USD và giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng 5 USD.

1) Công ty c ần s ản xu ất 2048 s ản ph ẩm, khi đó công ty nên s ử dụng bao nhiêu đơ n v ị v ốn và lao độ ng để tối thi ểu hóa chi phí 2) Tại th ời điểm t ối thi ểu hóa chi phí, n ếu s ản l ượ ng t ăng lên 2% thì chi phí s ẽ thay đổ i nh ư th ế nào?

3) Đ ánh giá hi ệu qu ả của vi ệc t ăng quy mô s ản xu ất. Đ áp s ố : 1) ( ) min TC TC 256,1024 12800; = = 2) 1,6%; 3) T ăng quy mô hi ệu qu ả..

Bài s ố 14. M ột ng ườ i mu ốn dùng s ố ti ền 178000 ngàn đồ ng để mua hai m ặt hàng có đơ n giá t ươ ng ứng là 400 ngàn đồ ng và 600 ngàn đồ ng. Hàm h ữu d ụng c ủa hai m ặt hàng trên là ( ) ( )( ) TU X, Y X 20 Y 10 = + + (X, Y lần l ượ t là s ố lượ ng c ủa hai m ặt hàng). Hãy xác định s ố lượ ng c ần mua c ủa hai lo ại m ặt hàng trên để hàm h ữu d ụng đạ t giá tr ị cao nh ất. Đ áp s ố : ( ) max TU TU 220,150 38400. = = Bài s ố 15. M ỗi cá nhân s ẽ đượ c l ợi từ thu nh ập (INCOME) và ngh ỉ ng ơi (LEISURE). Gi ả s ử m ỗi ngày có 12 gi ờ để chia ra th ời gian làm vi ệc và ngh ỉ ng ơi. Ti ền l ươ ng cho m ỗi gi ờ làm vi ệc là 3 USD và hàm l ợi ích c ủa cá nhân là ( ) 0,5 0,75 TU L, I L I = trong đó: L: là s ố gi ờ ngh ỉ ng ơi; I : là thu nh ập. Cá nhân này s ẽ cân đố i gi ữa th ời gian ngh ỉ ng ơi và làm vi ệc th ế nào để tối đa hóa l ợi ích c ủa mình? Đ áp s ố : 0,5 0,75 max 24 108 24 108 TU TU , . 5 5 5 5       = =             Bài s ố 16. Cho hàm l ợi ích tiêu dùng c ủa m ột ch ủ th ể có d ạng nh ư sau:

( ) ln TU x, y 0, 7 ln x 0, 3 ln y   = +   Cho bi ết x, y là kh ối lượ ng các hàng hóa. Cho p, q là giá các hàng hóa t ươ ng ứng, I là ngân sách tiêu dùng. 1) Có ý ki ến cho r ằng, n ếu ch ủ th ể trên t ăng kh ối l ượ ng hàng hóa x lên 1% và gi ảm kh ối lượ ng hàng hóa y đi 3% thì l ợi ích tiêu dùng không đổ i. Điều đó đúng hay sai.

2) Xác định kh ối lượ ng hàng hóa x, y để lợi ích tiêu dùng có l ợi nh ất cho ch ủ th ể đó. Đ áp s ố : 1) Sai ; 2) max 7M 3M TU TU ; . 4p 4q   =    122 Thuật ngữ chính chương 3 Tiếng Anh Tiếng Việt Constant Return to Scale Capital Cost minimization Decreases Returns to Scale Increases Returns to Scale Labor Marginal Product of Labor Marginal Product of Capital Manufacturing Efficiency Maximization of Utility Method of Lagrange Multipliers Marginal Analysis Revenue Maximization Profit Maximization Partial Derivatives Total Differential The Partial Coefficient Elasticity The Function homogeneous of degree k The Hessian Matrix Hiệu quả không đổi theo quy mô Vốn Tối thiểu hóa chi phí Hiệu quả giảm theo quy mô Hiệu quả tăng đổi theo quy mô Lao động Sản phẩm cận biên của lao động Sản phẩm cận biên của vốn Hiệu quả sản xuất Tối đa hóa lợi ích Phương pháp nhân tử Lagrange Phân tích cận biên Tối đa hóa doanh thu Tối đa hóa lợi nhuận Đạo hàm riêng Vi phân toàn phần Hệ số co dãn riêng phần Hàm thuần nhất bậc k Ma trận Hessian 123 PH Ụ L ỤC Ph ụ lụ c 1. Ma tr ận, định th ức, h ệ ph ương trình tuy ến tính 1.1. Các khái ni ệm c ơ b ản v ề ma tr ận 1.1.1. M ột b ảng g ồm ( ) m n ´ s ố th ực đượ c sắp thành m dòng (hàng) và ncộ t đượ c gọi là ma tr ận có c ấp m n ´ .

Ký hi ệu: ( ) 11 12 1n 21 22 2 n ij m n m1 m 2 mn a a ... a a a ... a A a ... ... ... ...

a a ...a ´       = =      v ớ i i : g ọi là ch ỉ s ố dòng.

j : g ọi là ch ỉ s ố c ột.

ija : là ph ần t ử n ằm ở dòng i và c ột j trong ma tr ận A. 1.1.2. Ma tr ận có s ố dòng b ằng s ố c ột ( ) m n = đượ c gọi là ma tr ận vuông c ấp n Ký hi ệu: ( )ij m n A a ´ = .

V ới 11 22 nna , a ,..., a đượ c gọi là các ph ần t ử n ằm trên đường chéo chính. 1.1.3. Hai ma tr ận đượ c gọi là b ằng nhau n ếu chúng cùng c ấp và có t ất c ả các ph ần t ử tươ ng ứng v ị trí b ằng nhau.

Cho hai ma tr ận: ( )ij m n A a ´ = và ( )ij m n B b ´ = ij ija b A B i 1, 2, ..., m; j 1, 2,..., n =  =  " = " =  Û 1.1.4. Cho ma tr ận ( )ij m n A a ´ = , ma tr ận ký hi ệu TA nh ận đượ c từ ma tr ận A b ằng cách đổi dòng thành c ột ho ặc đổ i cột thành dòng, được gọi là ma tr ận chuy ển v ị c ủ a ma tr ận A . Ví d ụ 1. Cho ma tr ận 2 3 1 2 0 A 3 5 6 ´ - =  -   Ma tr ận chuy ển v ị của ma tr ận A là 124 T 3 2 1 3 A 2 5 0 6 ´ -   = -    D ễ nh ận th ấy ( ) T T A A = . 1.1.5. Ma tr ận d ạng tam giác và d ạng hình thang.

a) Ma tr ận tam giác trên là ma tr ận vuông mà m ọi ph ần t ử n ằm phía d ưới đườ ng chéo đều b ằng 0.

11 12 1n 22 2 n nn a a ... a 0 a ... a ... ... ... ...

0 0 ... a             b) Ma tr ận tam giác d ưới là ma tr ận vuông mà m ọi ph ần t ử n ằm phía trên đường chéo đều b ằng 0.

11 21 22 n1 n 2 nn a 0 ... 0 a a ... 0 ... ... ... ...

a a ... a             c) Ma tr ận hình thang (ma tr ận b ậc thang) là ma tr ận ứng v ới hai dòng b ất k ỳ s ố h ạng khác không đầu tiên c ủa dòng d ưới ph ải n ằm bên ph ải s ố h ạng khác không đầu tiên c ủa dòng trên. 11 12 1r 1n 22 2 r 2 n rr rn a a a a 0 a a a 0 0 a a 0 0 0 0                   ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ v ớ i r n< và 11 22 rra , a ,..., a g ọi là các ph ần t ử chéo. 1.1.6. Ma tr ận vuông c ấp n có t ất c ả các ph ần t ử trên đường chéo chính b ằng 1, các ph ần t ử còn l ại đề u b ằng 0, được gọi là ma tr ận đơ n v ị c ấp n. Ký hi ệu là nI . 125 2 3 n 1 0 0 1 0 I ; I 0 1 0 0 1 0 0 1 ...

1 0 ... 0 0 1 ... 0 I ... ... ... ...

0 0 ... 1       = =                =       1.1.7. Cho ma tr ận ( )ij m n A a ´ = , ma tr ận ký hi ệu ( )ij m n A a ´ - = - g ọi là ma tr ận đố i của ma tr ận A. 1.1.8. Ma tr ận có t ất c ả các ph ần t ử b ằng 0 được gọi là ma tr ận không. 1.2. Hai phép toán tuy ến tính đối với ma tr ận 1.2.1. Nhân m ột s ố th ực v ới ma tr ận là nhân s ố đ ó v ới t ất c ả các ph ần t ử c ủa ma tr ận:

Cho ma tr ận ( )ij m n A a ´ = và k" Î ℝ ta có:

ij m n kA (k a ) ´ = × Đặ c bi ệt ( )ij m n ( 1)A A a ´ - = - = - 1.2.2. C ộng hai ma tr ận cùng c ấp là c ộng các ph ần t ử t ươ ng ứng các v ị trí v ớ i nhau:

Cho hai ma tr ận : ( )ij m n A a ´ = và ( )ij m n B b ´ = . Ta có ( ) ij ij m n A B a b ´ + = + 1.2.3. Các tính ch ất Cho ba ma tr ận A, B, C cùng c ấp và , "a b Î ℝ .

a) A B B A + = + b) (A B) C A (B C) + + = + + c) A 0 A + = d) A ( A) 0 + - = e) 1 A A× = f) ( )A A Aa + b = a + b g) (A B) A Ba + = a + a 126 h) ( )A ( A) ( A)ab = a b = b a 1.3. Phép nhân hai ma tr ận 1.3.1. Chúng ta s ẽ làm quen khái ni ệm này b ằng bài toán th ực t ế nh ư sau: b ạn mua ba m ặt hàng v ới s ố l ượ ng l ần l ượ t là 7, 6, 5 và giá bán t ương ứng là 2, 3, 4 thì s ố ti ền b ạn ph ải tr ả đượ c tính b ằng: 7.2 + 6.3 + 5.4 = 52. 1.3.2. Cho hai ma tr ận ( )ij m n A a ´ = và ( )jk n p B b ´ = Khi đó ( )ik m p AB c ´ = vớ i ( ) 1k n 2 k ik i1 i 2 in ij jk j 1 nk b b c a a a a b b =       = =       ∑ ⋯ ⋮ v ớ i: i 1, 2,..., m= ; k 1, 2,..., p= . ( )ik m p AB c ´ = đượ c gọi là tích c ủa 2 ma tr ận A và B. Nh ận xét:

- Tích hai ma tr ận t ồn t ại khi s ố c ột c ủa ma tr ận đứ ng tr ước b ằng s ố dòng ma tr ận đứ ng sau.

- Ma tr ận tích có s ố dòng b ằng s ố dòng c ủa ma tr ận đứ ng tr ước và có s ố c ột b ằng s ố c ột c ủa ma tr ận đứ ng sau.

1.3.3. Các tính ch ất a) (AB)C A(BC) = V ới gi ả thi ết s ố c ột c ủa A b ằng s ố dòng c ủa B và s ố c ột c ủa B b ằng s ố dòng c ủa C. Đặc bi ệt, n ếu A là ma tr ận vuông ta định ngh ĩa:

2 k kA A.A; ....; A A.A.....A = = b) A(B C) AB AC + = + ; (A B)C AC BC + = + V ới gi ả thi ết c ấp c ủa các ma tr ận A, B, C ph ải phù h ợp v ới phép toán.

c) ( ) ( ) ( ) AB A B A B a = a = a .

d) ( ) T T T AB B A = .

e) kI I = (I là ma tr ận đơ n v ị). 127 f) N ếu ( )ij m n A a ´ = thì n m AI A; I A A = = . 1.4. Các phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng c ủa ma tr ận 1.4.1. Ba phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng c ủa ma tr ận a) Đổ i ch ỗ 2 dòng c ủa ma tr ận.

/ (i) (i ) A B ¾¾¾¾® ∼ b) Nhân m ột s ố th ực khác không v ới m ột dòng.

(i ): (i ) 0 A B =a a ¹ ¾¾ ¾ ¾® c) Thay 1 dòng b ất k ỳ b ằng chính nó r ồi c ộng v ới m ột s ố th ực nhân cho dòng khác.

/ (i): (i) (i ) A B = +a ¾¾¾¾¾® 1.4.2. Liên h ệ v ới phép nhân ma tr ận Cho ( )ij m n A a ´ = và ma tr ận đơ n v ị: m 1 0 0 0 1 I 0 0 0 1      =      ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋯ Đị nh ngh ĩa: 1 dong i 0 1 I(i, j) 1 0 dong j 1           =             ⋱ ⋱⋱ 1 I(i, ) dong i 1         a = a         ⋱ ⋱ 128 1 dong i 1 I(i, j, ) 0 1 dong j 1         a   a =            ⋱ ⋱ ⋱ - Phép đổi ch ỗ 2 dòng c ủa A được coi là th ực hi ện phép nhân ma tr ận I(i, j) A ´ - Phép nhân 1 dòng v ới s ố 0 a ¹ đượ c coi là phép nhân ma tr ận I(i, ) A a ´ .

C ộng vào dòng i dòng j đã nhân v ới a ( i j¹ ) đượ c coi là phép nhân ma tr ận I(i, j, ) A a ´ . 1.5. Quy t ắc th ực hành tính định th ức c ấp hai và c ấp ba 1.5.1. a b ad bc c d = - Tích hai ph ần t ử trên đường chéo chính tr ừ tích hai ph ần t ử trên đường chéo ph ụ. Ví d ụ 2. Tính định th ức 1 2 1 4 3 ( 2) 10 3 4 - = × - × - = . 1.5.2. ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 a b c a b c a b c b c a c a b c b a b a c a c b a b c = + + - + + T ổng đầu g ồm 3 tích s ố l ấy theo đường chéo chính và 2 đường song song v ới nó nhân v ới ph ần t ử đố i di ện.

T ổng sau cùng c ũng g ồm 3 tích s ố nh ưng l ấy theo đường chéo còn l ại và 2 đườ ng song song v ới nó nhân v ới ph ần t ử đố i di ện. C ụ th ể:

Ví d ụ 3. Tính định th ức 129 2 3 4 1 2 3 2 2 2 3 3 5 4 1 4 4 2 5 3 1 2 2 3 4 63 5 4 2 - = × × - × × - × × - × × + × × + × × = - - 1.6. M ột s ố tính ch ất c ơ b ản c ủa đị nh th ức 1.6.1. Đị nh th ức c ủa ma tr ận vuông ( )ij m n A a ´ = b ằng định th ức ma tr ận chuy ển v ị c ủa nó, T A A = Ví d ụ 4. 1 2 1 3 10 3 4 2 4 - = = - 2 3 4 2 0 0 0 3 1 3 3 0 30 0 0 5 4 1 5 - = - = - - - 1.6.2. Đị nh th ức b ằng 0 n ếu trong định th ức có m ột dòng toàn các ph ần t ử b ằng 0. Ví d ụ 5. 4 5 6 3 4 1 0 0 0 0 - = 1.6.3. Đị nh th ức đổ i d ấu m ỗi khi đổi ch ỗ 2 dòng c ủa đị nh th ức và gi ữ nguyên các dòng còn l ại. Ví d ụ 6. Tính định th ức 2 3 4 0 3 1 30 0 0 5 - = - - và 0 3 1 2 3 4 30 0 0 5 - = - 1.6.4. Đị nh th ức b ằng 0 n ếu trong định th ức có hai dòng có ph ần t ử gi ống nhau. Ví d ụ 7. 1 1 1 2 2 2 1 1 1a b c a b c 0 a b c = 1.6.5. Th ừa s ố chung c ủa m ột dòng có th ể đư a ra ngoài d ấu đị nh th ức (hay nhân 1 s ố v ới đị nh th ức là nhân s ố đ ó ch ỉ v ới m ột dòng c ủa đị nh th ức) 130 Ví d ụ 8. a b a b a b c d c d c d a a = a = a a 1.6.6. Đị nh th ức b ằng 0 n ếu đị nh th ức có hai dòng t ỉ l ệ Ví d ụ 9. 1 1 11 1 1 3 3 3a b c a b c 0 a b c a a a = 1.6.7. N ếu trong định th ức có 1 dòng các ph ần t ử đượ c tách thành t ổng 2 s ố thì đị nh th ức c ũng đượ c tách thành t ổng c ủa hai định th ức t ươ ng ứng. Ví d ụ 10. 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b d a b c d a c b d a c b d a c b d + + = + + + + + + + 1.6.8. Đị nh th ức không thay đổi khi ta s ử d ụng phép bi ến đổ i lo ại 3 Ví d ụ 11. i1 i 2 in i1 i 2 in k1 k 2 kn i1 k1 i 2 k 2 in kn ... ... ... ... ... ... ... ...

a a ... a a a ... a ... ... ... ... ... ... ... ...

a a ... a a a a a ... a a ... ... ... ... ... ... ... ... = a + a + a + Chú ý: Các tính ch ất nêu trên c ũng v ẫn đúng v ới c ột c ủa đị nh th ức. 1.6.9. N ếu A và B là hai ma tr ận vuông cùng c ấp thì:

AB A B BA = = Nói riêng:

k k kA A . A ..... A A = = 1.7. Ph ần bù đại số và ma tr ận ph ụ h ợp Cho ma tr ận ( )ij n A a = vuông c ấp n. 1.7.1. Đị nh th ức c ấp (n 1) - thu được từ A b ằng cách xóa b ớt dòng i và c ột j, l ấy d ấu (+) n ếu (i j)+ ch ẵn, l ấy d ấu (–) n ếu (i j)+ l ẻ, đượ c gọi là ph ần bù đại số c ủa ph ần t ử ija ( i, j 1, 2, .., n" = ), ký hi ệu là ijA . 131 1.7.2. Ma tr ận ký hi ệu *A , đượ c đị nh ngh ĩa nh ư sau:

11 21 n1 12 22 n 2 * 1n 2 n nn A A ... A A A ... A A A A ... A     =      ⋮ ⋮ ⋮ Trong đó: ijA ( i, j 1, 2, .., n) " = là ph ần bù đại số c ủa ph ần t ử ija , đượ c gọi là ma tr ận ph ụ h ợp c ủa ma tr ận A. Chú ý: N ếu A là ma tr ận vuông c ấp n thì *A c ũng là ma tr ận vuông c ấp n. Ví d ụ 12. Tính các ma tr ận ph ụ h ợp a) Cho 11 12 21 22 a a A a a  =   thì 11 21 * 12 22 A A A A A =   V ới 11 22 12 21 21 12 22 11A a ; A a ; A a ; A a = + = - = - = + ngh ĩa là 22 12 * 21 11 a a A a a -  = -  b) Cho ma tr ận 2 3 4 B 1 0 5 3 2 2 -    =   -   thì 11 21 31 * 12 22 32 13 23 33 B B B B B B B B B B   =    V ới 11 0 5 B 10 2 2 = + = - - ; 21 3 4 B 2 2 2 - = - = - ; 31 3 4 B 15 0 5 - = + = - 12 1 5 B 17 3 2 = - = - ; 22 2 4 B 16 3 2 = + = - - ; 32 2 4 B 6 1 5 = - = - 13 1 0 B 2 3 2 = + = ; 23 2 3 B 13 3 2 - = - = - ; 33 2 3 B 3 1 0- = + = Hay * 10 2 15 B 17 16 6 2 13 3 - -   = - -   -   c) Cho ma tr ận sau 132 2 0 0 3 1 1 2 2 C 2 3 5 1 3 4 2 4 -    - -  =    -   Hãy tìm ph ần t ử n ằm ở dòng 4 c ột 1 trong ma tr ận ph ụ h ợp c ủa C.

* 41 14 1 1 2 C C 2 3 5 47 3 4 2 - = = - = - 1.8. Ph ương pháp tính định th ức 1.8.1. Tính định th ức b ằng khai tri ển theo 1 dòng ho ặc 1 c ột c ủa đị nh th ức.

Cho ma tr ận vuông c ấp n: ( )ij n A a = , ký hi ệu nD A = , khi đó nD có th ể đượ c tính b ởi m ột trong hai công th ức d ưới đây.

n i1 i1 i 2 i 2 in inD a A a A a A = + + + ⋯ (1) n 1 j 1 j 2 j 2 j nj njD a A a A a A = + + + ⋯ (2) V ới ijA là ph ần bù đại số c ủa ija ( i, j 1, 2, .., n) " = (1) g ọi là công th ức khai tri ển đị nh th ức theo dòng i.

(2) g ọi là công th ức khai tri ển đị nh th ức theo c ột j. Chú ý: Các ph ần bù đại s ố ijA là các định th ức c ấp ( n 1- ), nên ý ngh ĩa c ủa công th ức (1) và (2) là có th ể tính định th ức c ấp n ( nD ) thông qua các định th ức c ấp ( ) n 1- ( ijA ).

1.8.2. Ví d ụ 13. a) Tính định th ức c ủa ma tr ận:

2 0 0 3 1 1 2 2 C 2 3 5 1 3 4 2 4 -    - -  =    -   Chúng ta khai tri ển đị nh th ức này theo dòng 1 133 4 11 14 2 0 0 3 1 1 2 2 D C 2C 3C 2 3 5 13 4 2 4 - - - = = = - + - 11 1 2 2 C 3 5 1 14 4 2 4 - - = + = - ; 14 1 1 2 C 2 3 5 47 3 4 2 - = - = - V ậy 4D C 2 14 3 47 113 = = - × + × = Chú ý: Có th ể có l ợi n ếu khai tri ển định th ức theo dòng (c ột) có nhi ều ph ần t ử b ằng 0. N ếu ma tr ận ch ưa có dòng (c ột) nh ư v ậy thì có th ể dùng các tính ch ất c ủa đị nh th ức để tạo ra. 1.9. Ma tr ận ngh ịch đảo 1.9.1. Định ngh ĩa: Cho ma tr ận vuông c ấp n: ( )ij n A a = .

N ếu X là ma tr ận vuông cùng c ấp v ới A và tho ả mãn điề u ki ện: n AX XA I = = , thì X được gọi là ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận A.

Ký hi ệu: 1 X A - = Nh ận xét: Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận vuông ( )ij n A a = (n ếu có) là duy nh ất. 1.9.2. Định lý: Cho ( )ij n A a = là ma tr ận vuông c ấp n.

Đ iề u ki ện c ần và đủ để A có ma tr ận ngh ịch đảo là định th ức c ủa A khác 0.

Tr ướ c khi gi ới thi ệu công th ức tính ma tr ận ngh ịch đảo, chúng ta quay l ại v ới khái ni ệm ma tr ận ph ụ h ợp ở m ục (1.7). Ví d ụ 14. Cho ma tr ận 11 12 21 22 a a A a a  =   thì 22 12 * 21 11 a a A a a -  = -  Gi ả s ử:

11 12 11 22 12 21 21 22a a A a a a a 0 a a = = - ¹ 134 Nh ận xét:

11 12 22 12 * 21 22 21 11a a a a 1 0 A.A A A I a a a a 0 1 -     = = =     -     (I : là ma tr ận đơ n v ị) T ươ ng t ự: 22 12 11 12 * 21 11 21 22a a a a 1 0 A .A A A I a a a a0 1 -    = = =   -    V ậy chúng ta có: * * A.A A .A A .I = = Do A 0 ¹ nên:

* * 1 1 A. .A .A .A I A A     = =             Hay theo định ngh ĩa * 1 .A A là ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận A.

Công th ức tính ma tr ận ngh ịch đảo:

N ếu ( )ij n A a = là ma tr ận vuông c ấp n không suy bi ến ( A 0 ¹ ), thì ma tr ận ngh ịch đả o c ủa nó được tính b ởi công th ức sau:

1 * 1 A .A A - = Ở đ ây, A * là ma tr ận ph ụ h ợp c ủa ma tr ận A. Ví d ụ 15. Cho 2 1 3 A 0 3 1 5 2 4 -    =   -   . Tìm ma tr ận 1 A- . Gi ải Đầ u tiên tính:

2 1 3 A 0 3 1 22 0 5 2 4 - = = - ¹ - Ti ếp theo, xác định ma tr ận ph ụ h ợp *A :

11 3 1 A 14 2 4 = = - ; 21 1 3 A 2 2 4 - = - = - - ; 31 1 3 A 10 3 1 - = = - 135 12 0 1 A 5 5 4 = - = ; 22 2 3 A 7 5 4 = = - ; 32 2 3 A 2 0 1 = - = - 13 0 3 A 15 5 2 = = - - ; 23 2 1 A 1 5 2 - = - = - - ; 33 2 1 A 6 0 3- = = V ậy ma tr ận ph ụ h ợp c ủa ma tr ận A là:

* 14 2 10 A 5 7 2 15 1 6 - -    = - -  - -  Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa A được xác định b ởi:

1 14 2 10 14 2 10 1 1 A 5 7 2 5 7 2 22 22 15 1 6 15 1 6 - - - -         = - - - = -       - - -    Ví d ụ 16. Cho 0, 2 0, 3 A 0,1 0, 4  =   Hãy tìm ma tr ận ngh ịch đảo c ủa ma tr ận ( I A- ). Gi ải Ta có: 1 0 0, 2 0, 3 0, 8 0, 3 I A 0 1 0,1 0, 4 0,1 0, 6 -       - = - =       -       0, 8 0, 3 I A 0, 45 0,1 0, 6 - - = = - Vậy ma tr ận ph ụ h ợp c ủa ma tr ận A là:

* 0, 6 0, 3 (I A) 0,1 0, 8   - =    Ma tr ận ngh ịch đảo c ủa A được xác định b ởi: 1 0, 6 0, 3 1 (I A) 0,1 0, 8 0, 45 -   - =    136 1.10. H ệ ph ương trình tuy ến tính t ổng quát 1.10.1. Các ví d ụ a) 2x 3y 4 x 5y 1 - =   + = -  g ọi là h ệ 2 ph ương trình 2 ẩn G ọi: 2 3 A 1 5 -  =   là ma tr ận h ệ s ố (c ủa ẩn); 4 b 1  = -  là c ột h ệ s ố t ự do x X y  =   là c ột ẩn; 2 3 4 A (A b) 1 5 1   - = =   -   là ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng. b) 1 2 3 1 3x 2x 3x 4 3x 4x 5 + - = -   + =  g ọi là h ệ 2 ph ương trình 3 ẩn.

G ọi: 1 2 3 A 3 0 4 -  =   là ma tr ận h ệ s ố (c ủa ẩn) 4 b 5 - =   là c ột h ệ s ố t ự do; 1 2 3 x X x x    =    là c ột ẩn 1 2 3 4 A (A b) 3 0 4 5   - - = =     là ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng. c) x 2 y 3 2x 3y 0 3x 4 y 1 + =   - =   + = -  g ọi là h ệ 3 ph ương trình 2 ẩn Ta có 1 2 A 2 3 3 4    = -    ma tr ận h ệ s ố (c ủa ẩn) 3 b 0 1    =  -  c ột h ệ s ố t ự do; x X y  =   là c ột ẩn 1 2 3 A 2 3 0 3 4 1    = -    -   ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng Nh ận xét: 137 - Cho m ột h ệ ph ương trình tuy ến tính, chúng ta có th ể bi ểu di ễn nó thông qua ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng (ma tr ận m ở r ộng). Ng ược lại, n ếu cho tr ước ma tr ận h ệ s ố m ở r ộ ng và ký hi ệu ẩn chúng ta s ẽ khôi ph ục l ại đượ c hệ ph ương trình tuy ến tính.

- Các h ệ ph ương trình trên có th ể vi ết d ướ i dạng ma tr ận: AX b = . 1.10.2. Các định ngh ĩa 1.

H ệ ph ương trình tuy ến tính là m ột h ệ th ống g ồm m ph ương trình b ậc nh ất theo n ẩ n s ố có d ạng t ổng quát nh ư sau :

11 1 12 2 1n n 1 21 1 2 2 2 2 n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m a x a x ... a x b a x a x ... a x b ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a x a x ... a x b + + + =   + + + =    + + + =  (*) trong đó 1 2 nx , x , , x … là các ẩ n cần tìm, ija Î ℝ (g ọi là các h ệ s ố ) và ib Î ℝ (g ọi là các hệ s ố t ự do ), i 1, m; j 1, n= = . Đặ t 11 12 1n 21 22 2 n m1 m 2 mn a a a a a a A a a a     =      ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ , 1 2 n x x X x      =      ⋮ , 1 2 m b b B b      =      ⋮ , ( ) 11 12 1n 1 21 22 2 n 2 m1 m 2 mn m a a ... a b a a ... a b A A B ... ... ... ... ...

a a ... a b       = =       , trong đó ta g ọi A là ma tr ận các h ệ s ố , A là ma tr ận b ổ sung (ma tr ận các h ệ s ố m ở r ộng ), X là ma tr ận ẩn và B là ma tr ận các h ệ s ố t ự do . Khi đó, h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính (1.1) đượ c vi ết lại d ướ i d ạng ph ươ ng trình ma tr ận là AX B = . (ma tr ận m ở r ộng) Chúng ta có th ể bi ểu di ễn h ệ ph ương trình (*) d ưới dạng:

n ij j i j 1 a x b i 1, 2,..., m =  =    = ∑ (D ạng vi ết g ọn) (**) Ho ặc d ạng ma tr ận: AX b = (***) 138 2. N ếu 1 2 mb b b 0 = = = = ⋯ khi đó h ệ (*) có d ạng AX 0 = , nó được gọi là h ệ ph ươ ng trình tuy ến tính thu ần nh ất. 3. B ộ n s ố th ực có th ứ t ự ( ) 1 2 n, , ..., a = a a a đượ c gọi là m ột nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình (*) n ếu khi chúng ta thay 1 1 2 2 n nx , x ,..., x = a = a = a , thì t ất c ả các ph ươ ng trình trong h ệ (*) đều tr ở thành đẳng th ức đúng.

Nh ận xét: H ệ thu ần nh ất luôn nh ận b ộ s ố (0, 0,.., 0) q = làm nghi ệm (g ọi là nghi ệm t ầm th ường). 4. Hai h ệ ph ương trình có cùng s ố ẩ n đượ c gọi là t ương đươ ng n ếu t ập h ợp nghi ệm c ủa chúng là b ằng nhau.

Chú ý: Hai h ệ ph ương trình cùng vô nghi ệm c ũng đượ c coi là t ương đươ ng. Nhận xét: Vi ệc gi ải m ột h ệ ph ương trình chính là đưa h ệ ban đầu thành h ệ m ới t ươ ng đươ ng nh ưng đơn gi ản h ơn.

Sau đây, s ẽ gi ới thi ệu hai h ệ ph ương trình được coi là đơn gi ản và các phép bi ến đổ i h ệ ph ương trình để đư a h ệ ban đầu thành h ệ m ới t ươ ng đươ ng. 1.10.3. H ệ ph ương trình d ạng tam giác và d ạng hình thang a) H ệ ph ương trình d ạng tam giác H ệ g ồm n ph ương trình, n ẩn có d ạng:

11 1 12 2 1n n 1 22 2 2 n n 2 nn n n a x a x a x b a x a x b ...

a x b + + + =   + + =     =  ⋯ ⋯ V ới 11 22 nna , a , ..., a 0 ¹ đượ c gọi là h ệ ph ương trình d ạng tam giác. Chú ý: Ma tr ận h ệ s ố A có d ạng tam giác có th ể đượ c viết nh ư sau:

11 12 1n 22 2 n nn a a ... a 0 a ... a A ... ... ... ...

0 0 ... a      =      D ễ dàng nh ận th ấy h ệ có duy nh ất nghi ệm. Ví d ụ 17. 1 2 3 2 33x 4x 3x 5 2x x 1 3x 9 + - =   + = -   =  139 Chúng ta gi ải ng ược từ ph ương trình cu ối lên ph ương trình đầu.

H ệ có duy nh ất nghi ệm ( 1 2 3x 22, x 2, x 3 = = - = ) Nh ận xét: H ệ ph ương trình thu ần nh ất có d ạng tam giác ch ỉ có duy nh ất nghi ệm t ầ m th ường. b) H ệ ph ương trình d ạng hình thang H ệ g ồm r ph ương trình, n ẩn (v ới r < n) có d ạng:

11 1 12 2 1r r 1n n 1 22 2 2 r r 2 n n 2 rr r rn n r a x a x ... a x ... a x b a x ... a x ... a x b ...

a x ... a x b + + + + + =   + + + + =    + + =  V ới 11 22 rra , a ,..., a 0 ¹ , đượ c gọi là h ệ ph ương trình d ạng hình thang. Chú ý: Ma tr ận h ệ s ố A có d ạng hình thang có th ể đượ c viết nh ư sau:

11 12 1r 1n 22 2 r 2 n rr rn a a ... a ... a 0 a ... a ... a A ... ... ... ... ... ...

0 0 ... a ... a      =      Để giải h ệ hình thang đầu tiên chúng ta gi ữ lại v ế trái các ẩn 1 2 rx , x , ..., x (g ọi là các ẩn chính) và chuy ển sang v ế ph ải các ẩn r 1 r 2 nx , x ,..., x + + (g ọi là các ẩn t ự do). Khi đ ó h ệ có d ạng:

11 1 12 2 1r r 1 1r 1 r 1 1n n 22 2 2 r r 2 2 r 1 r 1 2 n n rr r r rr 1 r 1 rn n a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x ...

a x b a x a x + + + + + + + + + = - - -   + + = - - -    = - - -  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Cho các ẩn t ự do nh ận m ột b ộ giá tr ị tùy ý: r 1 r 1 r 2 r 2 n nx , x , ..., x + + + + = a = a = a ( ) r 1 r 2 n , ,...,+ + "a a a Î ℝ Khi đó h ệ m ới nh ận đượ c có d ạng tam giác, gi ải h ệ ta có được: 1 1 2 2 r rx , x ,..., x = a = a = a Tuy nhiên, c ứ v ới m ỗi b ộ giá tr ị c ủa các ẩn t ự do chúng ta l ại thu được một b ộ giá tr ị c ủa các ẩn chính, nên h ệ ban đầu có vô s ố nghi ệm. Ví d ụ 18. Cho h ệ ph ương trình có d ạng hình thang sau 140 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 x 4x x 2x 0 x 4x x 2x 2x 3x x 0 2x 3x x + - + = + = -   Û   + - = = - +   Ch ọn 1 2x , x làm ẩn c ơ s ở và 3 4x , x làm ẩn t ự do .

Gán cho ( ) 3 4x , x , = a = b "a b Î ℝ ta thu được hệ ph ương trình d ạng tam giác:

1 2 2x 4x 2 2x 3 + = a - b   = - a + b  Suy ra: 2 1 3 x ; x 7 4 2 - a + b = = a - b V ậy h ệ ban đầu có vô s ố nghi ệm d ạng:

3 W 7 4 , , , , 2   - a + b   = a - b a b a b Î      ℝ Ta còn g ọi nghi ệm này là nghi ệm t ổng quát. Nh ận xét: H ệ thu ần nh ất có d ạng hình thang s ẽ có nghi ệm khác nghi ệm t ầm th ườ ng. 1.10.4. Các phép bi ến đổ i tươ ng đươ ng h ệ ph ương trình Ba phép bi ến đổ i d ướ i đây s ẽ bi ến đổ i h ệ ban đầu thành h ệ m ới t ươ ng đươ ng:

1. Đổ i ch ỗ hai ph ương trình trong h ệ.

2. Nhân hai v ế c ủa m ột ph ương trình v ới cùng m ột s ố khác 0.

3. C ộng vào hai v ế, hai v ế t ươ ng ứng c ủa m ột ph ương trình khác đã nhân v ới cùng m ột s ố.

Nh ận xét: Vi ệc th ực hi ện các phép bi ến đổ i tươ ng đươ ng h ệ ph ương trình, th ực ch ất là làm trên các h ệ s ố. Do đó, t ương ứng v ới 3 phép bi ến đổ i tươ ng đươ ng h ệ ph ương trình chúng ta có 3 phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng đối v ới ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng A nh ư sau: 1'. Đổ i ch ỗ 2 dòng c ủa ma tr ận. 2'. Nhân 1 dòng v ới m ột s ố khác 0. 3'. C ộng vào m ột dòng c ủa ma tr ận m ột dòng khác đã nhân v ới m ột s ố. Ví d ụ 19. Cho h ệ ph ương trình: 3x 4y 5 x 2y 6 - =   + =  Ta bi ến đổ i tươ ng đươ ng h ệ này nh ư sau: 141 ( 2) (1) 3x 4y 5 x 2y 6 x 2y 6 x 2y 6 3x 4y 5 0 10y 13 - = + = + =    Û Û    + = - = - = -    (1) Đổi ch ỗ 2 ph ương trình.

(2) C ộng vào 2 v ế c ủa ph ương trình th ứ hai, hai v ế t ươ ng ứng c ủa ph ương trình đầ u tiên đã nhân v ới (-3).

T ươ ng ứng đối v ới ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng. Chúng ta có các phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng. ( a ) ( b ) 3 4 5 1 2 6 1 2 6 A 1 2 6 3 4 5 0 10 13 -      =      - - -       ® ® (a) Đổi ch ỗ 2 dòng ma tr ận.

(b) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (–3).

Do v ậy, để "ti ết ki ệm" khi bi ến đổ i tươ ng đươ ng h ệ ph ương trình chúng ta ch ỉ c ần th ực hi ện trên ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng. 1.11. Ph ương pháp kh ử ẩ n liên ti ếp Gauss 1.11.1. N ội dung Để giải m ột h ệ ph ương trình tuy ến tính chúng ta s ẽ s ử d ụng các phép bi ến đổ i t ươ ng đươ ng h ệ ph ương trình để đư a h ệ ban đầu v ề h ệ ph ương trình có d ạng tam giác ho ặc d ạng hình thang (hay ma tr ận h ệ s ố A có d ạng tam giác ho ặc hình thang) c ụ th ể đố i v ới h ệ ph ương trình nh ư sau:

11 1 12 2 1n n 1 21 1 2 2 2 2 n n 2 m1 1 m 2 2 mn n m a x a x ... a x b a x a x ... a x b ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a x a x ... a x b + + + =   + + + =    + + + =  (*) Không m ất t ổng quát, chúng ta luôn có gi ả thi ết a 11 ¹ 0 (vì n ếu ch ưa có ta có th ể đổ i ph ương trình khác để có điề u đó).

Để ma tr ận h ệ s ố A có d ạng tam giác ho ặc hình thang, đầu tiên, chúng ta làm cho các ph ần t ử ở c ột th ứ nh ất, dòng th ứ hai tr ở đ i bi ến thành 0 b ằng cách nhân dòng 1 v ới i1 11 a a  -   rồ i c ộng vào dòng i ( i 2, 3,...= ), sau ( m 1 - ) phép bi ến đổ i nh ư v ậy chúng ta thu được hệ ph ương trình t ương đươ ng. 142 11 1 12 2 1n n 1 ' '22 2 2 n n 2 ' ' 'm 2 2 mn n n a x a x ... a x b a x ... a x b ...

a x ... a x b + + + =   + + =    + + =  (**) Trong đó: ' i1ij ij ij 11 a a a a a = - ' i1i i 1 11 a b b b a = - (i 1, 2, ..., m; j 1, 2, ..., n= = ) Ở đ ây, ta còn nói "kh ử ẩ n x 1", ti ếp theo b ằng cách t ương t ự, chúng ta "kh ử ẩ n x 2" t ừ ph ương trình th ứ ba tr ở đ i đố i v ới h ệ (**). Sau đó, l ại "kh ử ẩ n x 3" t ừ ph ương trình th ứ t ư tr ở đ i (n ếu có)... Quá trình "kh ử ẩ n" theo cách nêu trên là quá trình l ặp, sau h ữu h ạn b ước bi ến đổ i quá trình s ẽ d ừng l ại ở m ột trong các tr ường h ợp sau đây: 1. H ệ nh ận đượ c có d ạng tam giác (h ệ có duy nh ất nghi ệm) hay ma tr ận h ệ s ố A có d ạng tam giác.

2. H ệ nh ận đượ c có d ạng hình thang (h ệ có vô s ố nghi ệm) hay ma tr ận h ệ s ố có d ạng hình thang.

3. Trong h ệ xu ất hi ện ph ương trình d ạng: 1 2 n 0x 0x 0x b + + + = ⋯ , v ới b 0¹ .

Khi đó, h ệ vô nghi ệm. Chú ý:

- Trong quá trình bi ến đổ i trong h ệ có th ể xu ất hi ện ph ương trình d ạng : 1 2 n 0x 0x 0x 0 + + + = ⋯ Khi đó chúng ta có th ể lo ại b ỏ ph ương trình này ra kh ỏi h ệ ph ương trình.

- V ề m ặt th ực hành, để gi ải h ệ ph ương trình tuy ến tính b ằng ph ương pháp kh ử ẩ n liên ti ếp ta làm nh ư sau: Đầu tiên, xác định ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng ( ) A A b = . Ti ếp theo, s ử d ụng các phép bi ến đổ i sơ c ấp trên dòng để bi ến đổ i sao cho ma tr ận h ệ s ố A chuy ển thành d ạng tam giác ho ặc hình thang. B ạn đọ c có th ể theo dõi c ụ th ể qua các ví d ụ minh h ọa d ưới đây. 1.11.2. Ví d ụ 20.

Gi ải các h ệ ph ương trình sau b ằng ph ương pháp kh ử ẩ n liên ti ếp Gauss: 143 1. 1 2 3 1 2 3 1 3 2x x 3x 4 x 2x x 0 3x 2x 1 + - =   - + =   - = -  B ướ c 1: L ập ma tr ận m ở r ộng A ( ) 2 1 3 4 A A b 1 2 1 0 3 0 2 1   -   = = -     - -   B ướ c 2. Bi ến đổ i A để đư a A v ề d ạng tam giác ho ặc hình thang:

( ) (1) 2 1 3 4 1 2 1 0 A A b 1 2 1 0 2 1 3 4 3 0 2 1 3 0 2 1     - -     = = - -         - - - -     ® ( 2) (3) 1 2 1 0 1 2 1 0 0 5 5 4 0 5 5 4 0 6 5 1 0 0 1 29 5      - -     - -         - -   -    ® ® (1) Đổi ch ỗ dòng 1 và 2.

(2) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-2).

C ộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới (-3).

(3) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới 6 5  -   .

B ướ c 3. Khôi ph ục l ại h ệ ph ương trình:

1 2 3 2 3 3x 2x x 0 5x 5x 4 29 x 5  - + =  - =   = -  Đ ây là h ệ ph ương trình d ạng tam giác, t ương đươ ng v ới h ệ ban đầu. H ệ có duy nh ất nghi ệm là:

19 24 29 W , , 5 5 5  = - - -   144 2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2x x 3x 4x 1 x 3x x x 2 3x 2x 2x 3x 1 x 4x 4x 5x 3 + - + =   - + - = -   - - + = -   + - + =  B ướ c 1. Xác định ma tr ận h ệ s ố m ở r ộng A :

( ) 2 1 3 4 1 1 3 1 1 2 A A b 3 2 2 3 1 1 4 4 5 3   -   - - -   = =   - - -    -   B ướ c 2. Bi ến đổ i A sao cho ma tr ận h ệ s ố A đưa đượ c về d ạng tam giác ho ặc hình thang. ( ) (1) 2 1 3 4 1 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 2 1 3 4 1 A A b 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 1 4 4 5 3 1 4 4 5 3     - - - -     - - - -     = =     - - - - - -        - -     ® ( 2) (3) 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 0 7 5 6 5 0 7 5 6 5 0 7 5 6 5 0 0 0 0 0 0 7 5 6 5 0 0 0 0 0     - - - - - -     - -         -        -     ® ® (1) Đổi ch ỗ dòng (1) và dòng (2).

(2) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-2).

C ộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới (-3).

C ộng vào dòng 4 dòng 1 đã nhân v ới (-1).

(3) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới (-1).

C ộng vào dòng 4 dòng 2 đã nhân v ới (-1).

B ướ c 3. Khôi ph ục l ại h ệ ph ương trình:

1 2 3 4 2 3 4x 3x x x 2 7x 5x 6x 5 - + - = -   - + =  H ệ ph ương trình có d ạng hình thang, nó t ương đươ ng v ới h ệ:

1 2 3 4 2 3 4 x 3x 2 x x 7x 5 5x 6x - = - - +   = + -  145 Ch ọn 1 2x , x làm ẩn c ơ s ở và 3 4x , x làm ẩn t ự do.

Gán cho ( ) 3 4x , x , = a = b "a b Î ℝ ta có:

1 2 2x 3x 2 7x 5 5 6 - = - - a + b   = + a - b  H ệ có vô s ố nghi ệm d ạng: 1 8 11 5 5 6 W , , , , 7 7   + a - b + a - b   = a b a b Î    ℝ 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3x 3x 2x 5 4x x 3x 2 3x 4x 5x 1 - + =   + - =   - - + = B ướ c 1. Xác định ma tr ận m ở r ộng A ( ) 1 3 2 5 A A b 4 1 3 2 3 4 5 1   -   = = -    - -  B ướ c 2. Bi ến đổ i ma tr ận A ( ) 1 3 2 5 A A b 4 1 3 2 3 4 5 1   -   = = -    - -  (1) ( 2) 1 3 2 5 1 3 2 5 0 13 11 18 0 13 11 18 0 13 11 16 0 0 0 2     - -     - - - -         - -     ® ® (1) C ộng vào dòng 2 dòng 1 đã nhân v ới (-4) C ộng vào dòng 3 dòng 1 đã nhân v ới 3.

(2) C ộng vào dòng 3 dòng 2 đã nhân v ới 1.

Trong h ệ xu ất hi ện ph ương trình có d ạng:

1 2 3 0x 0x 0x 2 + + = - Ph ươ ng trình này vô nghi ệm, do đó h ệ ph ương trình c ũng vô nghi ệm. 1.12. H ệ ph ương trình Cramer 1.12.1. Định ngh ĩa H ệ g ồm n ph ương trình, n ẩn có d ạng: 146 11 1 12 2 1n n 1 21 1 2 2 2 2 n n 2 n1 1 n 2 2 nn n n a x a x ... a x b a x a x ... a x b ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a x a x ... a x b + + + =   + + + =    + + + =  (*) V ới 11 12 1n 21 22 2 n n1 n 2 nna a ... a a a ... a A 0 ... ... ... ...

a a ... a = ¹ đượ c gọi là h ệ ph ương trình Cramer. 1.12.2. Ví d ụ 21. Xét các h ệ sau 1. 2x 3y 4 x 4y 1 - =   + = -  H ệ ph ương trình trên là h ệ g ồm 2 ph ương trình, 2 ẩn và 2 3 A 11 0 1 4 - = = ¹ , nên nó là h ệ ph ương trình Cramer. 2. 1 2 3 1 2 1 3 4x 3x 2x 7 x x 5 3x x 4 + - =   + =   + =  H ệ ph ương trình trên là h ệ g ồm 3 ph ương trình 3 ẩn và 4 3 2 A 1 1 0 7 0 3 0 1 - = = ¹ nên nó là h ệ ph ương trình Cramer.

1.12.3. D ạng ma tr ận c ủa h ệ ph ương trình Cramer – Ph ương pháp ma tr ận ngh ịch đảo gi ải h ệ Cramer Ký hi ệu:

11 12 1n 1 1 21 22 2 n 2 2 n1 n 2 nn n n a a ... a x b a a ... a x b A ; X ; b ... ... ... ... a a ... a x b                  = = =                  ⋮ ⋮ 147 Khi đó, h ệ ph ương trình Cramer (*) có th ể vi ết d ướ i dạng ma tr ận nh ư sau:

AX b A 0 =    ¹   (**) Ph ươ ng trình này có nghi ệm duy nh ất xác định b ởi công th ức:

1 X A b - = Ví d ụ áp d ụng:

a) Gi ải h ệ ph ương trình sau b ằng ph ương pháp ma tr ận ngh ịch đảo: 2x 3y 4 x 4y 1 - =   + = -  Ta có: 2 3 A 1 4 -  =   ; x X y  =   ; 4 b 1  = -  B ướ c 1. Tìm ma tr ận ngh ịch đảo A –1 2 3 A 11 0 1 4 - = = ¹ * 4 3 A 1 2  = -  1 4 3 1 A 1 2 11 -   =  -  B ướ c 2. Nghi ệm c ủa h ệ đượ c tính b ởi công th ức:

1 13 x 4 3 4 13 1 1 11 X A .b y 1 2 1 6 6 11 11 11 -             = = = = =           - - - -             V ậy h ệ có nghi ệm duy nh ất 13 6 x ; y 11 11 -   = =    b) Gi ải h ệ ph ương trình sau b ằng ph ương pháp ma tr ận ngh ịch đảo.

1 2 3 1 2 1 3 4x 3x 2x 7 x x 5 3x x 4 + - =   + =   + =  148 Ta có: 1 2 3 4 3 2 x 7 A 1 1 0 ; X x ; b 5 3 0 1 x 4 -            = = =                 B ướ c 1. Tìm ma tr ận ngh ịch đảo 1 A- 4 3 2 A 1 1 0 7 0 3 0 1 - = = ¹ * 1 3 2 A 1 10 2 3 9 1 -    = - -  -  1 1 3 2 1 A 1 10 2 7 3 9 1 - -     = - -   -  B ướ c 2. H ệ có duy nh ất nghi ệm đượ c tính b ởi công th ức:

1 1 2 3x 1 3 2 7 0 0 1 1 X x A .b 1 10 2 5 35 5 7 7 x 3 9 1 4 28 4 - -                     = = = - - = =                    -           Hay ( 1 2 3x 0, x 5, x 4 = = = ). 1.12.4. Quy t ắc Cramer (Ph ương pháp định th ức gi ải h ệ ph ương trình Cramer) Quy t ắc Cramer: H ệ ph ương trình Cramer (*) có duy nh ất nghi ệm đượ c tính theo công th ức: jx jD x , ( j 1, 2,..., n ) D = = V ới 11 12 1n 21 22 2 n n1 n 2 nn a a ... a a a ... a D A ... ... ... ...

a a ... a = = 149 Các jxD nh ận đượ c từ D b ằng cách thay c ột h ệ s ố c ủa ẩn jx b ởi c ột h ệ s ố t ự do b ( j 1, 2, ..., n ) = .

Ch ẳng h ạn:

1 n 1 12 1n 11 12 1n 1 2 22 2 n 21 22 2 n 2 x x n n 2 nn n1 n 2 nn n b a ... a a a ... a b b a ... a a a ... a b D ,..., D ... ... ... ... ... ... ... ... ...

b a ... a a a ... a b = = * Ví dụ áp d ụng: Gi ải các h ệ ph ương trình sau b ằng quy t ắc Cramer (ph ương pháp định th ức):

a) 1 1 1 2 2 2 a x b y k a x b y k + =   + =  gi ả thi ết 1 2 2 1a b a b 0 - ¹ Ta có 1 1 1 2 2 1 2 2a b D a b a b 0 a b = = - ¹ 1 1 x 1 2 2 1 2 2 k b D k b k b k b = = - 1 1 y 1 2 2 1 2 2 a k D a k a k a k = = - H ệ có nghi ệm duy nh ất:

y x 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 D D k b k b a k a k x ; y D a b a b D a b a b   - - = = = =   - -  b) 3x 4y 5 2x y 6 + = -   - =  Ta có 3 4 D 11 0 2 1 = = - ¹ - ; x 5 4 D 19 6 1 - = = - - y 3 5 D 28 2 6 - = = H ệ có nghi ệm duy nh ất: y xD D 19 28 x ; y D 11 D 11   = = = = -    150 c) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z k a x b y c z k a x b y c z k + + =   + + =   + + =  Ta có 1 1 1 2 2 2 3 3 3a b c D a b c 0 a b c = ¹ ; 1 1 1 x 2 2 2 3 3 3 k b c D k b c k b c = ; 1 1 1 y 2 2 2 3 3 3 a k c D a k c a k c = ; 1 1 1 z 2 2 2 3 3 3 a b k D a b k a b k = .

H ệ có nghi ệm duy nh ất: y x z D D D x ; y ; z D D D   = = =    d) Chúng ta gi ải l ại ví d ụ b) trong m ục 1.3.3.

1 2 3 1 2 1 3 4x 3x 2x 7 x x 5 3x x 4 + - =   + =   + =  Ta có: 4 3 2 D 1 1 0 7 0 3 0 1 - = = ¹ ; 1x 7 3 2 D 5 1 0 0 4 0 1 - = = 2x 4 7 2 D 1 5 0 35 3 4 1 - = = ; 3x 4 3 7 D 1 1 5 28 3 0 4 = = H ệ có nghi ệm duy nh ất là: 3 1 2x x x 1 2 3D D D 0 35 28 x 0; x 5; x 4 D 7 D 7 D 7   = = = = = = = = =    151 Ph ụ lụ c 2. Đạo hàm và vi phân hàm s ố m ột bi ến 2.1. Đạo hàm c ủa hàm s ố m ột bi ến 2.1.1. Các định ngh ĩa – Cho hàm s ố y f (x )= xác định trong m ột lân c ận điể m 0x (m ột kho ảng đủ nh ỏ ch ứa 0x ).

– Ký hi ệu 0 x x xD = - g ọi là s ố gia c ủa đố i s ố (v ới xD đủ nh ỏ), t ương ứng 0 0 y f (x x) f (x )D = + D - đượ c gọi là s ố gia c ủa hàm s ố.

N ếu t ồn t ại gi ới h ạn h ữu h ạn : 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 f ( x ) f (x ) f (x x ) f ( x ) y lim lim lim x x x x D ® ® D ® - + D - D = = D - D thì hàm s ố f (x ) đượ c gọi là có đạo hàm t ại điể m 0x và k ết qu ả c ủa gi ới h ạn này, được g ọi là đạo hàm c ủa hàm s ố f (x ) t ại điể m 0x , ký hi ệu là / 0 f (x ) hay / 0 y (x ) . Ví d ụ 1. Sử d ụng định ngh ĩa, xây d ựng công th ức tính đạo hàm c ủa hàm s ố 2 y f (x) x= = T ập xác định c ủa hàm s ố : fD =R V ới 0x Î R , xét gi ới h ạn 0 0 2 2 0 0 0 x x x x 0 0 f (x ) f (x ) x x lim lim 2x x x x x ® ® - - = = - - V ậy / 0 0 f (x ) 2x = hay ( ) / 2 x 2x ( x ) = " Î R Ví d ụ 2. Cho hàm s ố: 1 cos 3x khi x 0 f (x) x 0 khi x 0.

-  ¹  =   =  . Tính đạo hàm /f (0). Gi ải Xét 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 1 cos 3x 3x 2 sin f (x) f (0) 1 cos 3x 9 x 2 lim lim lim lim . x 0 x 2 x x ® ® ® ® - - - = = = = - V ậy hàm s ố có đạo hàm / 9 f (0) . 2 = Ví d ụ 3. Dùng định ngh ĩa xây d ựng công th ức tính đạo hàm c ủa hàm s ố: y f (x) 3x 1.= = + Gi ải 152 T ập xác định c ủa hàm s ố : f 1 D ; . 3  = - +¥    Xét 0 1 x ; . 3   Î - +¥    Ta có: 0 y 3x 1 3x 1,D = + - + do đó : 0 0 x 0 x x 0 3x 1 3x 1 y lim lim . x x x D ® ® + - + D = D - Khi 0 1 x 3 > - gi ới h ạn trên t ồn t ại và nh ận giá tr ị h ữu h ạn: 0 0 x x 00 3x 1 3x 1 3 lim . x x 2 3x 1 ® + - + = - + Khi 0 1 x 3 = - , gi ới h ạn trên không t ồn t ại h ữu h ạn.

Do đó, đạo hàm c ủa hàm s ố là: / 3 f (x) . 2 3x 1 = + – Đạ o hàm m ột phía:

+ Đạ o hàm bên trái c ủa hàm s ố f ( x ) tạ i điể m 0x : dn / 0 0 0 x 0 f (x x) f (x ) f (x ) lim x - - D ® + D - = D (n ếu gi ới h ạn này t ồn t ại và h ữu h ạn) + Đạ o hàm bên ph ải c ủa hàm s ố f (x ) t ại điể m 0x : dn / 0 0 0 x 0 f (x x) f (x ) f (x ) lim x + + D ® + D - = D (nếu gi ới h ạn này t ồn t ại và h ữu h ạn) Hàm số có đạo hàm t ại điể m 0x khi và ch ỉ khi hàm s ố có đạo hàm trái, đạo hàm ph ải t ại 0x , đồ ng th ời hai đạo hàm này b ằng nhau : / 0 f (x ) t ồn t ại Û / / 0 0 f (x ) f (x )- + = – Đạ o hàm trên m ột kho ảng :

+ Hàm s ố f (x ) đượ c gọi là có đạo hàm trên kho ảng (a , b) n ếu nó có đạo hàm t ại m ọi điể m trên kho ảng này.

+ Hàm s ố f (x ) đượ c gọi là có đạo hàm trên đo ạn [a, b] n ếu nó có đạo hàm trên kho ảng (a, b) và có đạo hàm bên ph ải t ại a, đạo hàm bên trái t ại b. 2.1.2. Liên h ệ v ới tính liên t ục 153 – N ếu hàm s ố f ( x ) có đạo hàm t ại điể m 0x thì f ( x ) liên t ục t ại 0x , điề u ng ược lại không ch ắc đã đúng. Ví d ụ 4. Hàm s ố f (x) x = liên t ục t ại 0x 0 = nh ưng không có đạo hàm t ại điể m đó. 2.1.3. ý ngh ĩa hình h ọc c ủa đạ o hàm – Đạ o hàm c ủa hàm s ố f (x ) t ại điể m 0x là h ệ s ố góc ti ếp tuy ến v ới đồ th ị hàm s ố y f ( x )= t ại điể m ( ) ( ) 0 0 0 M x ; f x . Ta có / 0f (x ) tan = a Ph ương trình ti ếp tuy ến đó là: ( )( ) / 0 0 0 y f (x ) f x x x- = - . Ví d ụ 5. Vi ết ph ương trình ti ếp tuy ến v ới đồ th ị hàm s ố 2 y f (x) x= = tạ i điể m 0 1 x 2 = Gi ải. Ta có /f (x) 2x = . Tại 0 1 x 2 = , ta có 1 1 f 2 2   =     và / 1 f 2 2   =     Ph ươ ng trình ti ếp tuy ến t ại điể m 0 1 x 2 = là : 1 1 y 2 x 2 2   - = -    .

2.1.4. Ý ngh ĩa c ủa đạ o hàm / / 0 0 f (x ) hay y (x ) bi ểu th ị t ốc độ thay đổi của giá tr ị hàm s ố f (x ) t ại điể m 0x , khi đố i số x thay đổi m ột l ượ ng nh ỏ. Nói cách khác, t ại 0x khi đối số x thay đổi m ột l ượ ng nh ỏ, thì giá tr ị hàm s ố f (x ) s ẽ thay đổi m ột l ượ ng x ấp x ỉ b ằng / 0 f (x ) . 154 2.2. Đạo hàm c ủa các hàm s ơ c ấp c ơ b ản D ướ i đây là b ảng công th ức đạ o hàm c ủa m ột s ố hàm s ố s ơ c ấp c ơ b ản 1. / (c) 0 = (clà h ằng s ố) 2. / 1 / (x ) x ; (x) 1. a a- = a = 3. x / x x / x (a ) a ln a; (e ) e . = = 4. / / a 1 1 (log x ) ; (ln x ) . x ln a x = = 5. / (sin x ) cos x. = 6. / (cos x) sin x. = - 7. / 2 1 (tan x) . cos x = 8. / 2 1 (cot x) . sin x = - 9. / 2 1 (arcsin x) . 1 x = - 10. / 2 1 (arc cos x) . 1 x = - - 11. / 2 1 (arctan x ) . 1 x = + 12. / 2 1 (arccotx ) . 1 x = - + 2.3. Các quy t ắc tính đạo hàm 2.3.1. Đạo hàm c ủa t ổng, hi ệu, tích, th ương c ủa các hàm s ố N ếu các hàm s ố u u (x )= và v v(x )= cùng có đạo hàm thì: 1. / / (ku) ku = (k là h ằng s ố). 2. / / / (u v) u v . ± = + 3. / / / (uv) u v uv . = + 4. / / / 2 u u v uv (v 0). v v-   = ¹     2.3.2.

Đạo hàm c ủa hàm s ố h ợp N ếu hàm s ố u ( x )= j có đạo hàm t ại điể m 0x và hàm s ố y f (u)= có đạo hàm t ại đ iể m 0 0u (x ) = j thì hàm h ợp [ ] y f (x)= j có đạo hàm t ại điể m 0x và giá tr ị c ủa đạ o hàm đượ c tính theo công th ức:

/ / /x u xy y u . = Áp d ụng quy t ắc đạ o hàm c ủa hàm h ợp, n ếu u (x )= j là m ột hàm s ố có đạo hàm thì các công th ức đạ o hàm được sử d ụng nh ư sau: 155 1. / 1 / (u ) u .u . a a- = a 6. / / 2 1 (tan u) .u . cos u = 2. u / u / u / u / (a ) (a ln a )u ; (e ) e u . = = 7. / / 2 1 (cot u) .u . sin u = - 3. / / a 1 (log u ) .u ; u ln a = 8. / / 2 1 (arcsin u) .u . 1 u = - / / u (ln u) . u = 9. / / 2 1 (arc cos u) .u . 1 u = - - 4. / / (sin u) cos u.u . = 10. / / 2 1 (arctan u ) .u . 1 u =+ 5. / / (cos u) sin u.u . = - 11. / / 2 1 (arccot u) .u . 1 u = - + 2.4. Khái ni ệm vi phân và liên h ệ v ới đạ o hàm Định ngh ĩa: Cho hàm s ố y f (x )= xác định trên X. Gi ả s ử f (x ) liên t ục t ại 0x X. Î Nếu s ố gia c ủa hàm s ố f (x ) tại 0x có th ể bi ểu di ễn đượ c d ướ i d ạng: 0 f (x ) A. x ( x)D = D + a D trong đó, A là m ột h ằng s ố, ( x )a D là m ột vô cùng bé b ậc cao h ơn xD thì ta nói hàm s ố f (x ) kh ả vi t ại 0x và giá tr ị A. x D đượ c gọi là vi phân c ủa hàm s ố f (x ) t ại điể m 0x , ký hi ệu là: 0 df (x ). Nh ư v ậy, 0 df (x ) A. x. = D Đị nh lý: Hàm s ố f (x ) kh ả vi t ại 0x khi và ch ỉ khi hàm s ố f (x ) có đạo hàm t ại 0x và khi đó: / 0 0 df (x ) f (x ). x. = D – N ếu hàm s ố kh ả vi t ại m ọi điể m trong kho ảng X thì ta nói hàm s ố kh ả vi trong X. Khi đó, ta có m ột hàm s ố xác định trên X g ọi là bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố, ký hi ệu là: df (x ) ho ặc dy. df (x ) dy A. x. = = D Đặ c bi ệt n ếu y x= thì dx x. = D Do đó, bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố y f (x )= th ườ ng đượ c viết d ướ i dạng: / df (x) f (x)dx. = 2.5. Các quy t ắc tính vi phân Nếu các hàm s ố u u ( x )= và v v(x )= kh ả vi t ại điểm 0x thì t ại điểm đó ta có: 1. d(u v) du dv. ± = ± 156 2. d(ku ) kdu = (k là h ằng s ố). 3. d(uv) vdu udv. = + 4. 2 u vdu udv d (v 0). v v-   = ¹     Ví d ụ 6. Tính vi phân c ủa hàm s ố x y x cos 2 = t ại 0x 2 p = khi x 0, 01.D = Gi ải Ta có: / / x x x 1 y cos sin y 1 . 2 2 2 2 4 2 p p    = - ⇒ = -        V ậy, / 0, 01(4 ) 4 dy y x . 2 2 4 2 400 2 p p - p - p    = D = =         Ví d ụ 7. Tìm bi ểu th ức vi phân c ủa các hàm s ố:

a) y ax b.= + b) y x (ln x 1).= - c) 1 x 6 y sin . 12 x 6 - = + Gi ải a) Ta có: [ ] / / y ax b) a = + = . Do v ậy, dy adx = b) Ta có: [ ] / / / / y x (ln x 1) x (ln x 1) x (ln x 1) ln x. = - = - + - = Do v ậy, dy ln xdx = .

c) Ta có: / / / 2 1 x 6 1 x 6 x 6 1 x 6 y sin cos . cos . 12 x 6 12 x 6 x 6 x 6 ( x 6) - - - -    = = =    + + + + +     Do v ậy, / 2 1 x 6 dy y dx cos dx. x 6 (x 6) - = = + + * Tính b ất bi ến c ủa bi ểu th ức vi phân c ấp 1:

Xét hàm s ố h ợp y f (x ), x x (t ).= = Bi ểu th ức vi phân c ủa hàm s ố là: / / / / t x t x dy y dt ( y .x )dt y .dx. = = = Nh ư v ậy, bi ểu th ức vi phân gi ữ nguyên d ạng trong tr ường h ợp x là bi ến độ c l ập, c ũ ng nh ư xlà bi ến trung gian. 2.6. Các định lý c ơ b ản v ề hàm s ố kh ả vi và áp d ụng 157 2.6.1. B ổ đề Fermat Gi ả s ử hàm s ố f ( x ) xác định trong kho ảng (a, b) và đạt giá tr ị c ực đạ i (ho ặc giá tr ị c ự c ti ểu) t ại điể m c thu ộc kho ảng (a , b). Khi đó, n ếu t ại c hàm s ố có đạo hàm thì /f (c) 0. = 2.6.2. Định lý Rolle Gi ả s ử hàm s ố f (x ) xác định, liên t ục trên [ ] a, b và kh ả vi trên ( ) a, b . N ếu f (a ) f (b) = thì t ồn t ại điể m ( ) c a, bÎ sao cho: /f (c) 0. = 2.6.3. Định lý Lagrange Nếu hàm s ố f (x ) xác định, liên t ục trên [ ] a, b và kh ả vi trên ( ) a, b thì t ồn t ại điể m ( ) c a, bÎ sao cho / f (b) f (a ) f (c)(b a ) - = - . 2.6.4. Định lý Cauchy Nếu các hàm s ố f (x), g(x) xác định, liên t ục trên [ ] a, b , kh ả vi trên ( ) a, b và g(x) 0, x (a, b) ¹ " Î thì t ồn t ại điể m ( ) c a, bÎ sao cho : / /f (c) f (b) f (a ) . g(b) g(a ) g (c) - = - Ví dụ 8. Ch ứng minh b ất đẳ ng th ức: sina sin b a b . - £ - Gi ải Ta có hàm s ố f (x ) sin x = xác định và liên t ục trên [ ] a, b , có đạ o hàm /y cos x = trên ( ) a, b . Theo công th ức Lagrange, t ồn t ại ( ) c a, bÎ sao cho / f (a ) f (b) f (c)(a b) - = - Hay sin a sin b (a b).cos c - = - Do cos c 1 £ nên ta suy ra sin a sin b cos c a b a b . - = - £ - Ví d ụ 9. Cho 2 2 f (x) (x 3x 2) ln(x 1). = - + + 158 Ch ứng minh r ằng ph ương trình /f (x) 0 = có nghi ệm. Gi ải Hàm s ố f ( x ) xác định và kh ả vi trên R . M ặt khác f (1) f (2) 0. = = Theo k ết qu ả c ủa đị nh lý Rolle, t ồn t ại ( ) c 1, 2Î tho ả mãn /f (c) 0. = V ậy ph ương trình /f (x) 0 = có nghi ệm trong kho ảng ( ) 1, 2 . B ạn đọ c t ự ch ứng minh r ằng / /f (x) 0 = cũng có nghi ệm. 2.7. Áp d ụng vi phân để tính g ần đúng Chúng ta có k ết qu ả là: s ố gia hàm s ố t ại điể m 0x x ấp x ỉ v ới vi phân hàm s ố t ại điể m đ ó: / 0 0 0 0 0 f (x ) df (x ) f (x x) f (x ) f (x ). xD » ⇒ + D - » D / 0 x 0 x 0 f (x ) f (x ). f (x ) Û + D » D + Để tính g ần đúng 0 f (x x) + D chúng ta s ẽ tính 0 f (x ) và / 0 f (x ) . Ví d ụ 10. Không tra b ảng, tính g ần đúng giá tr ị 71, 04 . Gi ải Đặ t : 7 f (x) x = , Đạ o hàm c ấp 1: 6 / 7 1 f ( x ) x 7 - = , l ấy 0x 1, x 0, 04 = D = Áp d ụng công th ức: / 0 0 0 f (x) f (x x) f (x ) f (x ). x = + D » + D Hay / 7 776 1, 04 f (1 0, 04) f (1) f (1). x 1 1 .0, 04 1, 0057 7. 1 = + » + D = + » 159 Ph ụ lụ c 3. Bài toán t ối ư u hàm m ột bi ến 3.1. Xác định kho ảng t ăng, gi ảm và c ực tr ị c ủa hàm s ố Đị nh ngh ĩa Cho hàm s ố f (x ) xác định và liên t ục trong kho ảng ( ) a, b . Ta nói r ằng hàm s ố nh ận giá tr ị c ực đạ i (giá tr ị c ực ti ểu) t ại điể m ( ) 0x a, b Î n ếu t ồn t ại s ố 0 d > sao cho b ất đẳ ng th ức: [ ] 0 0 f (x) f (x ) f (x) f (x ) < > luôn tho ả mãn khi 0 0 x x .< - < d Đ iể m mà t ại đó hàm s ố nh ận giá tr ị c ực đạ i ho ặc giá tr ị c ực ti ểu đượ c gọi chung là đ iể m c ực tr ị c ủa hàm s ố.

Đị nh lý 1. Giả s ử hàm s ố y f ( x )= có đạo hàm trong kho ảng ( ) a, b . Khi đó: · N ếu ( ) / /f (x) 0 f (x) 0 > < t ại m ọi đ iể m ( ) x a, bÎ thì hàm s ố đơ n điệ u t ăng (gi ảm) trong kho ảng ( ) a, b . · N ếu /f (x) 0 = t ại m ọi đ iể m ( ) x a, bÎ thì hàm s ố f (x ) nh ận giá tr ị không đổi trong kho ảng ( ) a, b . Đị nh lý 2. Nếu 0x là điể m c ực tr ị c ủa hàm s ố f (x ) và t ại điể m đó hàm s ố f ( x ) có đạ o hàm thì / 0f (x ) 0. = Nh ận xét : Hàm s ố ch ỉ có th ể đạ t c ực tr ị t ại các điể m t ới h ạn: · Đ iể m mà t ại đó đạ o hàm tri ệt tiêu (g ọi là điể m d ừng).

· Đ iể m mà t ại đó hàm s ố liên t ục nh ưng không có đạo hàm.

Đị nh lý 3. Giả s ử 0x là m ột điể m t ới h ạn c ủa f (x ) và t ồn t ại 0 e > mà f (x )¢ có d ấu xác định trong m ỗi kho ảng ( )( ) 0 0 0 0x , x , x , x . - e + e Khi đó · N ếu khi qua điể m 0x đạ o hàm /f (x) đổ i d ấu thì hàm s ố f (x ) đạ t c ực tr ị t ại điể m đ ó.

+) x 0 là điể m c ực đạ i n ếu /f (x) đổ i d ấu t ừ (+) sang (–) .

+) x 0 là điể m c ực ti ểu n ếu /f (x) đổ i d ấu t ừ (–) sang (+). · N ếu khi qua điể m 0x đạ o hàm /f (x) không đổi d ấu thì hàm s ố không đạt c ực tr ị t ạ i điể m đó. 160 Đị nh lý 4. Giả s ử 0x là m ột điể m d ừng c ủa hàm s ố f (x ) và t ồn t ại s ố t ự nhiên n 2³ sao cho: / / / ( n 1) 0 0 0f (x ) f (x ) f (x ) 0 - = = = = ⋯ và ( n ) 0f (x ) 0. ¹ Khi đó: · N ếu n là s ố ch ẵn thì 0x là m ột điể m c ực tr ị c ủa f (x). +) x 0 là điể m c ực đạ i n ếu ( n ) 0f (x ) 0. < +) x 0 là điể m c ực ti ểu n ếu ( n ) 0f (x ) 0. > · Nếu n là s ố l ẻ thì 0x không ph ải là điể m c ực tr ị c ủa f (x). Ví d ụ 1. Xác định kho ảng t ăng, gi ảm và tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố: x y (x 5)e .= - Gi ải Hàm s ố x y (x 5)e= - có t ập xác định là .ℝ Ta có: / x /y (x 4)e ; y 0 x 4. = - = Û = Ta có b ảng bi ến thiên V ậy hàm s ố tăng trên ( ) , 4 ; -¥ gi ảm trên (4; ) +¥ và đạt giá tr ị c ực ti ểu t ại x 4= v ới 4 CTy e . = - Ví d ụ 2. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố: 4 y (x 1) .= - Gi ải Hàm s ố 4 y (x 1)= - có t ập xác định là .ℝ Ta có: / 3 /y 4(x 1) ; y 0 x 1 = - = Û = Hàm s ố có điể m d ừng t ại 0x 1. = Đạ o hàm c ấp hai: / / 2 / /y 12(x 1) y (1) 0. = - ⇒= 161 Đạ o hàm c ấp ba: / / / / / /y 24(x 1) y (1) 0. = - ⇒ = Đạ o hàm c ấp b ốn: ( 4) ( 4)y 24 y (1) 24 0. = ⇒ = > Do đó hàm s ố 4 y (x 1)= - đạ t giá tr ị c ực ti ểu t ại x 1= v ới CTy 0. = Ví d ụ 3. Xác định kho ảng t ăng, gi ảm và tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố: 3 2 y (2x 1) x .= + Gi ải Hàm s ố có t ập xác định: .ℝ Ta có: 3 / 2 3 3 2 1 2(5x 1) y 2 x (2x 1). . 3 x 3 x + = + + = Hàm s ố có hai điể m t ới h ạn: 1 1 x 5 = - và 2x 0. = B ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố:

V ậy hàm s ố t ăng trên 1 , 5  -¥ -   và ( ) 0, ; +¥ gi ảm trên 1 ( ; 0). 5- Hàm s ố đạ t giá tr ị c ực ti ểu t ại x 0= v ới CTy 0; = hàm s ố đạ t giá tr ị c ực đạ i tại 1 x 5 = - v ới CD 3 3 y . 5 25 = Ví dụ 4. Tìm kho ảng t ăng, gi ảm và c ực tr ị c ủa hàm s ố: 2 ln x y . x = Gi ải Hàm s ố có t ập xác định: (0, ). +¥ Ta có: / / 4 3 x (1 2 ln x ) 1 2 ln x y ; y 0 x e. x x - - = = = Û = B ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố: 162 V ậy hàm s ố t ăng trên ( ) 0, e , gi ảm trên ( ) e , +¥ và đạt c ực đạ i tại x e= v ới 1 CDy e . - = Ví d ụ 5. Tìm kho ảng t ăng, gi ảm và c ực tr ị c ủa hàm s ố: 4 xe y . 3x 2 = + Gi ải Hàm s ố có t ập xác định: 2 2 ( , ) ( , ). 3 3 -¥ - È - +¥ Ta có: 4 x / / 2e (12x 5) 5 y ; y 0 x . 12 (3x 2)+ = = Û = - + B ảng bi ến thiên c ủa hàm s ố:

V ậy hàm s ố gi ảm trên các kho ảng 2 , 3  -¥ -   và 2 5, ;3 12  - -   t ăng trên kho ảng 5 , . 12  - +¥   Hàm s ố đạ t giá tr ị c ực ti ểu t ại 5 x 2 = - v ới 5 3 CT 4 y e . 3 - = Ví d ụ 6. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố 3 2 y f (x) x 3x 5= = - + Gi ải Hàm s ố có T ập xác định là R Ta có : 163 / / 2y f (x) 3x 6x = = - Gi ải ph ương trình:

( ) / 1 2y 0 3x x 2 0 x 0 x 2 = Û - = Û = Ú = Ta có / /y 6x 6 = - V ới / /y (0) 6 0 = - < V ới / /y (2) 6 0 = + > V ậy hàm s ố đạ t c ực đạ i tại x 0= với CDy y(0) 5 = = và đạt c ực ti ểu t ại x 2= với CTy y(2) 1 = = . 3.2. Xác định kho ảng l ồi, lõm và điể m u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố Đị nh ngh ĩa : Cho hàm s ố f (x ) xác định và liên t ục trên (a , b). Hàm s ố f ( x ) đượ c g ọi là hàm s ố l ồi trên ( ) a, b n ếu 1 2x , x (a, b)" Î và t (0,1)" Î ta luôn có: [ ] 1 2 1 2 f tx (1 t)x tf (x ) (1 t)f (x ). + - < + - N ếu b ất đẳ ng th ức trên có d ấu ng ược lại thì hàm s ố đượ c gọi là hàm s ố lõm trên (a, b). Đ iể m mà t ại đó đồ th ị hàm s ố liên t ục f (x ) thay đổi tính l ồi, lõm được gọi là điể m u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố đ ó. Đị nh lý. Gi ả s ử hàm s ố f (x ) có đạo hàm c ấp hai trên kho ảng X . Khi đó:

– N ếu hàm s ố f (x ) l ồi (lõm) trên kho ảng ( ) a, b thì :

( ) / / / /f (x) 0 f (x) 0 ³ £ v ới m ọi x (a, b)Î ( điề u ki ện c ần).

– N ếu ( ) / / / /f (x) 0 f (x) 0 ³ £ v ới m ọi ( ) x a, bÎ thì hàm s ố f (x ) là hàm l ồi (lõm) trong kho ảng ( ) a, b ( điề u ki ện đủ ). Ví d ụ 7. Xác định kho ảng l ồi, lõm và điể m u ốn c ủa đồ th ị hàm s ố: 2 y ln(1 4x )= + Gi ải Hàm s ố có t ập xác định là R Đạ o hàm c ấp 1 / 2 8x y 1 4x = + 164 Đạ o hàm c ấp 2 2 / / 2 2 8(1 4x ) y (1 4x ) - = + Gi ải ph ươ ng trình: / / 1 1 y 0 x x . 2 2 = Û = Ú = - Ta có b ảng xét d ấu c ủa / /y : Vậy, hàm s ố l ồi trong kho ảng 1 1;2 2  -   và lõm trong các kho ảng 1 ; 2  -¥ -   và 1; .2   +¥    Đồ thị hàm s ố có hai điể m u ốn là : 1 1 A , ln 2 ; B , ln 2 . 2 2    -       3.3. Bài toán tìm giá tr ị l ớ n nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố 1. Cho hàm s ố y f (x )= liên t ục trên đoạn [ ] a, b . Khi đó hàm s ố sẽ đạ t giá tr ị lớn nh ất, giá tr ị nh ỏ nh ất trên đoạn đó. Mu ốn tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố f ( x ) , ta tìm t ất c ả các điểm t ới h ạn c ủa hàm s ố trên đoạn [ ] a, b , rồi tính giá tr ị của f (x ) t ại các điểm t ới h ạn và t ại a , b. So sánh các giá tr ị tính đượ c, t ừ đó suy ra giá tr ị lớn nh ất, nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố trên đoạn [ ] a, b . Ví d ụ 8. Tìm giá tr ị lớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố: 2 x y x e - = trên đoạn [ ] 1, 3- Gi ải Ta có / x 2y e (2x x ) - = - , Gi ải ph ươ ng trình : / 1 2y 0 x 0 x 2 = Û = Ú = V ậy, hàm s ố có hai điểm t ới h ạn là: 1 2x 0, x 2 = = . So sánh các giá tr ị f ( 1) - , f (0), f (2) , f (3) . Ta đượ c giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố là f (0) 0 = và giá tr ị lớn nh ất c ủa hàm s ố là f ( 1) e - = . 2. Cho hàm s ố y f (x )= xác định, liên t ục, kh ả vi trên ( ) a, b : 165 – N ếu f (x ) có duy nh ất điểm c ực đạ i trên kho ảng ( ) a, b , thì giá tr ị lớn nh ất c ủa hàm s ố y f (x )= trên ( ) a, b chính b ằng giá tr ị cực đạ i c ủa nó. – N ếu f (x ) có duy nh ất điểm c ực ti ểu trên kho ảng ( ) a, b , thì giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y f (x )= trên ( ) a, b chính b ằng giá tr ị cực ti ểu c ủa nó. Ví d ụ 9. Tìm giá tr ị l ớ n nh ất c ủa hàm s ố 3 2 y f (x) x 3x 5= = - + trên kho ảng ( ) 2,1- . Gi ải Ta có : ( ) / / 2y f (x ) 3x 6x 3x x 2 = = - = - Gi ải ph ươ ng trình: / 1 2y 0 x 0 x 2 = Û = Ú = Lo ại điể m 2x 2 = vì 2 ( 2,1)Ï - T ại 1x 0 = , / /y (0) 6 0 = - < nên hàm s ố đạ t cực đạ i tại điể m này, vì có duy nh ất đ iể m c ự c đạ i trên kho ảng ( ) 2,1- , nên giá tr ị l ớ n nh ất c ủa hàm s ố y f (x )= trên kho ảng đó b ằng giá tr ị c ực đạ i y(0) 5 = . Ví d ụ 10. Tìm giá tr ị l ớ n nh ất c ủa hàm s ố 3 2 y f (x) x 3x 5= = - + trên kho ảng ( ) 1, 3 . Gi ải Ta có : ( ) / / 2y f (x ) 3x 6x 3x x 2 = = - = - Gi ải ph ươ ng trình : / 1 2y 0 x 0 x 2 = Û = Ú = Lo ại điể m 1x 0 = vì 0 (1, 3)Ï T ại 2x 2 = , / /y (2) 6 0 = > nên hàm s ố đạ t c ực ti ểu t ại điể m này, vì có duy nh ất điể m c ự c đạ i trên kho ảng ( ) 1, 3 , nên giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa hàm s ố y f (x )= trên kho ảng đó b ằng giá tr ị c ực ti ểu y(2) 1 = .

166 Ph ụ lụ c 4. B ảng công th ức nguyên hàm c ơ b ản và các ph ương pháp tính tích phân 4.1. Khái ni ệm tích phân b ất đị nh Đị nh ngh ĩa: Hàm s ố F(x ) đượ c gọi là nguyên hàm c ủa hàm f (x ) trên t ập X n ếu /F ( x) f (x ) = hay dF( x ) f ( x )dx, x X. = " Î N ếu G(x ) là m ộ t nguyên hàm khác c ủa hàm f (x ) trên t ập X, ta có G(x ) F(x ) C = + (C là h ằng s ố) Tích phân b ất định c ủa hàm s ố f (x ) là t ập t ất c ả các nguyên hàm c ủa hàm s ố f ( x) trên tâp X. Ký hi ệu: f (x)dx F(x) C = + ∫ . Ví d ụ 1. Ta có 2x xdx C 2 = + ∫ ; cos x dx sin x C = + ∫ ; x xe dx e C = + ∫ .

( ) 2 2 1 dx ln x x k C x k = + + + + ∫ 4.2. Các tính ch ất c ơ b ản c ủa tích phân b ất đị nh 1. ( ) / f (x)dx f (x) = ∫ 2. /f (x )dx f (x ) C = + ∫ hay df (x) f (x) C = + ∫ 3. f (x) g(x) dx f (x) dx g(x) dx    ± = ± ∫ ∫ ∫ 4. kf (x)dx k f (x)dx = ∫ ∫ (k là h ằng s ố) 5. Tính b ất bi ến c ủa bi ểu th ức tích phân:

N ếu f (x)dx F(x) C = + ∫ thì f (u)du F(u) C, = + ∫ trong đó u (x )= j là m ột bi ểu th ức hàm s ố có đạ o hàm liên t ục.

167 4.3. Các công th ức nguyên hàm c ơ b ản 1. x C 1.dx = + ∫ 2. 1 x x dx C ( 1) 1 a+ a + a ¹ - a + = ∫ . 3. dx ln | x | C x + = ∫ 4. 2 dx C 1 x arctan x + + = ∫ 5. 2 dx arcsin x C 1 x = + - ∫ 6. x x a a dx C ln a + = ∫ 7. x xe dx e C = + ∫ 8. sin x.dx cos x C - + = ∫ 9. cos x.dx sin x C = + ∫ 10. 2 dx tan x C cos x = + ∫ 11. 2 dx cot x C sin x = - + ∫ 12. 2 2 dx 1 x C a a a x arctan = + + ∫ 13. 2 2 x arcsin C a dx a x = + - ∫ 14. 2 2 dx 1 a x ln C 2a a x a x + = - - + ∫ 15. 2 2 dx ln x x b C x b = + + + + ∫ 4.4. Các ph ương pháp tích phân Trong khi th ực hành tính tích phân, ta không ch ỉ sử dụng m ột ph ươ ng pháp gi ải mà có th ể ph ải k ết h ợp m ột s ố ph ươ ng pháp v ới nhau. D ướ i đây s ẽ trình bày các ph ươ ng pháp v ới các ví d ụ minh h ọa c ụ th ể để tính các d ạng tích phân th ườ ng g ặp. 4.4.1. S ử d ụng b ảng tích phân c ơ b ản và ph ương pháp khai tri ển Ta có th ể tính tích phân c ủa m ột hàm ph ức t ạp b ằng cách khai tri ển nó thành t ổng (hi ệu) tích phân c ủa các hàm đơ n gi ản h ơn. Ví d ụ 2. Tính tích phân : 3x x 1dx - ∫ Gi ải N ếu khai tri ển x x 1 1= - + , ta chuy ển tích phân ban đầ u v ề tổng hai tích phân sau:

3 3 3 3x x 1dx ( x 1 1) x 1dx ( x 1) x 1dx x 1dx - = - + - = - - + - ∫ ∫ ∫ ∫ 4 1 7 4 3 3 3 3 3 3 (x 1) dx (x 1) dx ( x 1) (x 1) C 7 4 = - + - = - + - +∫ ∫ Ví d ụ 3. Tính tích phân: 2 cos 2x dx sin x∫ 168 Gi ải Khai tri ển 2 cos 2x 1 2 sin x = - ta có:

2 2 2 2 cos 2x 1 2 sin x 1 dx dx dx 2dx cot x 2x C sin x sin x sin x - = = - = - - + ∫ ∫ ∫ ∫ . 4.4.2. S ử d ụng tính b ất bi ến c ủa bi ểu th ức tích phân Nếu ta nh ận th ấy tích phân c ần tính có d ạng nh ư sau:

( ) / I f (x ) ( x )dx= j j∫ thì có th ể đặ t u (x )= j để chuy ển v ề tính m ột bi ểu th ức tích phân d ễ hơn:

I f (u )du F(u ) C= = +∫ Tr ườ ng h ợp u kx b= + ta có: 1 1 f (kx b)dx f (kx b)d(kx b) F(kx b) C k k + = + + = + + ∫ ∫ Ví d ụ 4. Tính tích phân: 3 dx 4 5x- ∫ Gi ải Ta có ( ) ( ) 1 1 3 3 3 dx 1 4 5x dx 4 5x d(4 5x) 5 4 5x - - = - = - - - - ∫ ∫ ∫ 2 3 2 3 1 3 3 (4 5x ) C (4 5x ) C. 5 2 10 = - × × - + = - - + 4.4.3. Ph ương pháp đổi bi ến s ố a) Phép đổi bi ến xuôi Gi ả sử cần tính tích phân / I f [u (x )].u (x ).dx=∫ Đặ t / t u(x) dt u (x).dx= ⇒= / I f [u (x )]u (x ).dx f ( t).dt F( t) C F[u( x )] C= = = + = +∫ ∫ Ví d ụ 5. Tính tích phân x 1 e .dx+ ∫ . Gi ải Đặ t x t 1 e= + . Khi đó x 2 2e t 1, x ln(t 1) = - = - , suy ra 2 2t.dt dx t 1 = - 169 Ta có: 2 x 2 2 2t .dt 2.dt t 1 1 e .dx 2 2t ln C t 1 t 1 t 1 - + = = + = + + + - - ∫ ∫ ∫ x x x 1 e 1 2 1 e ln C. 1 e 1+ - = + + + + + • Tr ường h ợp bi ểu th ức hàm s ố ch ứa c ăn th ức d ạng nkx b + Khi đó ta đổ i bi ến b ằng cách đặ t: n t kx b= + , suy ra:

n 1 x (t b) k = - , n 1 n dx t dt k - = . Ví d ụ 6. Tính tích phân 3 dx x 2 x- ∫ . Gi ải Trong tr ườ ng h ợp này để kh ử đượ c h ết c ăn ta có th ể đổ i bi ến b ằng cách đặ t 6 6 t x x t= ⇒ = , 5 3 2 3 dx 6t dt, x 2 x t 2t = - = - .

Tích phân ban đầ u bi ến đổ i thành:

5 3 2 3 2 3 dx 6t .dt t 8 6 dt 6 t 2t 4 dt t 2 t 2 t 2t x 2 x   = = = + + +   - - - -   ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2t 6 t 4t 8 ln t 2 C 3   = + + - - +     3 6 6 4 2 x 6 x 24 x ln x 2 C. 3 = + + - - + b) Phép đổi bi ến ng ược Xét tích phân I f ( x )dx=∫ trong đó f (x ) là m ột hàm s ố liên t ục và cho (t )j là m ột hàm đơ n điệu, có đạ o hàm liên t ục ( ( t )j có hàm s ố ng ượ c). Đặ t x ( t ) dx '(t )dt= j ⇒ = j , ta có:

[ ] I f (x )dx f (t ) '(t)dt g(t )dt= = j j =∫ ∫ ∫ N ếu ta tính đượ c g(t)dt G(t ) C = + ∫ và t h ( x )= là hàm ng ượ c c ủa hàm s ố x (t )= j thì: [ ] I f (x )dx G h (x ) C= = +∫ 170 • Tr ường h ợp bi ểu th ức hàm s ố ch ứa c ăn th ức d ạng 2 2a - x Ta đổ i bi ến x a.sin t= , t 2 2 p p- £ £ , khi đó:

2 2 dx a. cos t.dt, a x a.cos t, (a 0) = - = > . 1.4.4. Ph ương pháp tích phân t ừng ph ần Gi ả sử u u ( x )= và v v(x )= là các hàm s ố có đạ o hàm liên t ục. Khi đó, ta có:

f (x )dx udv uv vdu = = - ∫ ∫ ∫ .

L ưu ý r ằng, vdu∫ là d ễ tính, ho ặc l ặp tích phân ban đầ u sau hai l ần tính và v dv=∫ .• Đố i với các tích phân n kx n nx e dx, x sin kx.dx, x cos kx.dx∫ ∫ ∫ , (n nguyên d ươ ng) ta áp d ụng công th ức tích phân t ừng ph ần đố i v ới n u x= và dv là ph ần còn l ại c ủa bi ểu th ức d ướ i d ấu tích phân. Ví d ụ 7. Tính tích phân 2 I x sin 2x.dx=∫ . Gi ải Đặ t 2 u x du 2xdx= ⇒ = , 1 dv sin 2x.dx v cos 2x 2 = ⇒ = - .

Theo công th ức tính tích phân t ừng ph ần ta có:

2 1 I udv uv vdu x cos 2x x cos 2x.dx 2 J = = - = - +∫ ∫ ∫ .

Ti ếp t ục áp d ụng tích phân t ừng ph ần v ới J x cos 2x.dx=∫ Đặ t: u x du dx= ⇒ = , 1 dv cos 2x.dx v sin 2x 2 = ⇒ = , suy ra:

1 1 1 1 J x sin 2x sin 2xdx x sin 2x cos 2x C 2 2 2 4 = - = + + ∫ .

V ậy 2 1 1 1 I x cos 2x x sin 2x cos 2x C 2 2 4 = - + + + . • Đố i với tích phân n x ln xdx ( 1a a ¹ - ∫ , n nguyên d ươ ng) 171 ta áp d ụng công th ức tích phân t ừng ph ần v ới n u ln x= , dv x dx a = . Ví d ụ 8. Tính tích phân 2 I x log x.dx=∫ . Gi ải Đặ t 2 1 u log x du dx (ln 2)x = ⇒ = , 2x dv xdx v 2 = ⇒ = Ta có: 2 2 2 2 2x 1 x x I log x xdx log x C 2 2 ln 2 2 4 ln 2 = - = - + ∫ . Chú ý : Khi áp d ụng công th ức tích phân t ừng ph ần v ới d ạng tích phân P(x ) ln(ax b)dx + ∫ , trong đó P(x ) là m ột đa th ức, ta s ẽ ph ải tính tích phân c ủa phân th ức h ữu t ỷ với m ẫu s ố bậc nh ất. Ví d ụ 9. Tính tích phân I x ln(x 2).dx= +∫ . Gi ải Đặ t dx u ln(x 2) du x 2 = + ⇒ = + , 2x dv xdx v 2 = ⇒ = Ta có: 2 2 2x 1 x x 1 4 I ln(x 2) dx ln(x 2) x 2 dx 2 2 x 2 2 2 x 2   = + - = + - - +   + +   ∫ ∫ 2 2x 1 ln(x 2) x x 2 ln(x 2) C. 2 4 = + - + - + + 4.5. Khái niệm tích phân xác định và các l ớp hàm kh ả tích Đị nh ngh ĩa: Cho hàm s ố y f ( x )= xác định và b ị ch ặn trên [ ] a; b . Chia [ ] a; b thành n ph ần b ởi các điểm chia 0 1 n 1 n a x x ... x x b - = < < < < = (phép phân ho ạch p). Đặ t i i i 1 x x ( i 1, 2,..., n) - D = - = g ọi: i 1 i n d maxp £ £= D , lấy [ ] i i 1 i x ; x , i 1, 2, ..., n- x Î = L ập t ổng n i i i 1 ( ) f ( ) = p = D x s ∑ . N ếu t ồn t ại gi ới h ạn h ữu h ạn n i i d 0 n i 1 lim ( ) lim f ( ) I p® ®¥= p = D x = s ∑ 172 không ph ụ thu ộc phép phân ho ạch p, c ũng nh ư cách ch ọn điểm ix , thì chúng ta nói hàm s ố y f (x )= kh ả tích trên [ ] a; b và s ố I đượ c g ọi là tích phân xác định c ủa hàm s ố y f ( x )= trên [ ] a; b . Ký hi ệu là: b a I f (x)dx=∫ V ới a g ọi là c ận d ướ i, b g ọi là c ận trên. Các l ớp hàm kh ả tích Các l ớp hàm sau đây kh ả tích trên [ ] a; b :

a) Các hàm s ố liên t ục trên [ ] a; b .

b) Các hàm s ố bị ch ặn và gián đoạn t ại h ữu h ạn điểm trên [ ] a; b .

c) Các hàm s ố bị ch ặn và đơ n điệu trên [ ] a; b . Ý ngh ĩa hình h ọc c ủa tích phân xác định Cho hàm s ố y f (x ) 0,= ³ xác định và liên t ục trên [ ] a; b , khi đó b a f (x)dx S(D) = ∫ , (di ện tích c ủa mi ền D, v ới { } D a x b; 0 y f (x) = £ £ £ £ ng ườ i ta th ườ ng g ọi D là hình thang cong).

4.6. Các tính chất c ơ b ản c ủa tích phân xác định Gi ả sử các điều ki ện kh ả tích c ủa các hàm s ố đề u đượ c tho ả mãn, khi đó ta có các tính ch ất sau c ủa tích phân xác định: 1. a b b a f (x)dx f (x)dx = - ∫ ∫ . 173 2. b c b a a c f (x)dx f (x)dx f (x)dx = + ∫ ∫ ∫ . 3. [ ] b b b a a a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ . 4. b b a a kf (x)dx k f (x)dx = ∫ ∫ .

5. Nếu a b< và f (x ) g(x ), x [a, b] ³ " Î thì: b b a a f (x)dx g(x)dx ³ ∫ ∫ .

6. Nếu hàm s ố f (x ) liên t ục trên [a, b] (ho ặc [b, a ] ) thì t ồn t ại ít nh ất m ột điểm x trong kho ảng gi ữa hai c ận a và b sao cho:

b a f (x)dx f ( )(b a ) = x - ∫ ( định lý giá tr ị trung bình). 7. a a f (x)dx 0 = ∫ . 4.7. Liên h ệ tích phân b ất đị nh Tích phân xác định v ới c ận trên thay đổi Gi ả sử f (x ) là m ột hàm s ố liên t ục trên [ ] a; b , khi đó v ới m ọi [ ] x a; b Î thì hàm s ố x a (x) f (t)dtF = ∫ đượ c g ọi là hàm c ận trên (hay tích phân xác định v ới c ận trên thay đổ i). Đị nh lý v ề đạ o hàm c ủa hàm c ận trên Nếu f (x ) là m ột hàm s ố liên t ục trên [ ] a; b , khi đó v ới m ọi [ ] x a; b Î ta có:

/ x / a f (x ) (x) f (t)dt =   F =      ∫ .

Trong tr ườ ng h ợp ph ải tính đạ o hàm c ủa hàm s ố ( x ) ( x ) f (t )dt b a ∫ , ta nên đặ t ( ) ( ) ( x ) ( x ) f (t)dt F (x) F (x) b a = b - a ∫ , trong đó F(t) là m ột nguyên hàm c ủa hàm 174 số f (t ) rồi s ử dụng công th ức đạ o hàm hàm h ợp. Ví d ụ 10. Tính đạ o hàm c ủa hàm s ố:

2x 3 2 f (x) ln(t 1)dt - = + ∫ Gi ải Sử dụng công th ức: [ ] [ ] / ( x ) / / ( x ) f ( t)dt f ( x ) (x ) f (x ) (x ) b a    = b b - a a     ∫ Ta có : ( ) ( ) / 2 / 6 / 6 6f (x) (x ) ln x 1 ( 2) ln x 1 2x.ln(x 1) = × + - - × + = + . Ví d ụ 11. Tính gi ới h ạn c ủa hàm s ố sau:

x 2 0 3 x 0 tan t dt lim x ® ∫ . Gi ải Để không ph ải tính tích phân trên t ử th ức c ủa hàm l ấy gi ới h ạn, ta có th ể áp d ụng quy t ắc L’hospital. Khi đó đạ o hàm c ủa t ử th ức s ẽ là 2 tan x .

x 2 2 0 3 2 x 0 x 0 tan t dt tan x 1 lim lim 3 x 3x ® ® = = ∫ . Công th ức Newton – Leibnitz Với F(x ) là nguyên hàm b ất k ỳ của hàm s ố liên t ục f ( x ) khi đó ta có công th ức:

b b a a f (x)dx F(b) F(a ) F(x) = - = ∫ . Ví d ụ 12. Tính tích phân 1 3x 0 I e dx=∫ . Gi ải Ta có : 1 1 3 1 3x 3x 3x 0 0 0 1 1 e 1 I e dx e d(3x) e 3 3 3 - = = = =∫ ∫ . 4.8. Ph ương pháp đổi bi ến 175 Gi ả sử cần tính tích phân b a I f (x).dx=∫ . Thay / x (t ), dx (t )dt= j = j với gi ả thi ết hàm s ố ( t )j tho ả mãn các điều ki ện sau:

– Hàm s ố ( t )j xác định, liên t ục và có đạ o hàm liên t ục trên [ , ]a b .

– ( ) a, ( ) bj a = j b = tức là c ận x a= tươ ng ứng v ới c ận t= a và c ận x b= tươ ng ứng v ới c ận t .= b – Khi t bi ến thiên trên kho ảng [ , ]a b hàm s ố x (t )= j nh ận các giá tr ị không v ượ t ra ngoài [a, b]. Khi đó: b / a I f (x)dx [ (t)] (t )dt g(t )dt. b b a a = = j j =∫ ∫ ∫ Ph ươ ng pháp đổ i bi ến đượ c v ận d ụng gi ống nh ư trong tr ườ ng h ợp tích phân b ất định, tuy nhiên c ần ghi nh ớ: ph ải đổ i c ận khi đổ i bi ến. Ví d ụ 13. Tính 2 2 3 0 dx I 1 (x 1) = + -∫ . Giải Đổ i bi ến b ằng cách đặ t 3 t x 1,= - suy ra 3 2 x t 1 dx 3t dt= + ⇒ = . Đổ i c ận: x 0 t 1, x 2 t 1= ⇒ = - = ⇒ = .

Theo công th ức đổ i bi ến ta có:

1 1 2 2 2 1 1 1 3t dt 1 3 I 3 1 dt 3(t arctan t ) 6 1 2 1 t 1 t- - p   = = - = - = - ×  - + +   ∫ ∫ Ví dụ 14. Tính 2 3 8 0 I cos x.sin x.dx p = ∫ . Gi ải Đổ i bi ến b ằng cách đặ t t sin x= , 3 2 2 cos x.dx cos x.d(sin x) t .dt = = Đổ i c ận: x 0 t 0, x t 1 2 p = ⇒ = = ⇒ = , ta đượ c:

1 1 9 11 2 8 8 10 0 0 1 t t 2 I (1 t )t dt (t t )dt 0 9 11 99   = - = - = - =     ∫ ∫ . 176 Ví d ụ 15. Tính 1/ 2 2 0 dx I 1 x = - ∫ . Giải Đặ t ,2 2 x sin t, t p p   = Î -   , 2 1 x cos t, dx cos t.dt- = = . Đổ i c ận: 1 x 0 t 0, x t 2 6 p = ⇒ = = ⇒ = , ta có:

1/ 2 / 6 /6 6 2 0 0 0 dx cos tdt I dt t cos t 6 0 1 x p p p p = = = = = × - ∫ ∫ ∫ 4.9. Phương pháp tích phân t ừng ph ần Công th ức tính tích phân t ừng ph ần trong tích phân xác định là:

b b b a a a b f (x)dx udv uv vdu a = = - ∫ ∫ ∫ .

trong đó: u u(x), v v(x)= = là các hàm s ố liên t ục và b uv u (b)v(b) u(a ) v(a ) a = - . Ví d ụ 16. Tính 1 2 x 0 I x e dx=∫ . Gi ải Ta có x 1 1 2 x 2 2 0 0 I x e dx x e dx= =∫ ∫ . Đặ t 2 u x du 2xdx= ⇒ = , x x 2 2 dv e dx v 2e = ⇒ = . Khi đó: 1 x x 1 2 2 2 0 0 I 2x e 4 xe dx 2 e 4J= - = - ∫ .

Tính ti ếp J bằng ph ươ ng pháp tích phân t ừng ph ần nh ư sau:

x 1 1 1 1 x / 2 x / 2 x / 2 2 0 0 0 0 J 2 x.d(e ) 2xe 2 e .dx 2 e 4e 2 e 4= = - = - = - + ∫ ∫ .

V ậy ( ) I 2 e 4 2 e 4 10 e 16= - - + = - . 177 Ph ụ lụ c 5. Đạo hàm riêng và vi phân toàn ph ần 5.1. Đạo hàm riêng 5.1.1. Đạo hàm riêng c ấp 1 a) Tr ường h ợp hàm s ố hai bi ến s ố Cho hàm s ố ( ) z f x, y= , ( ) 0 0 0 f M x , y D Î . N ếu gi ữ giá tr ị c ủa bi ến y không đổi và cho giá tr ị c ủa bi ến x m ột s ố gia xD thì hàm s ố ( ) z f x, y= có s ố gia t ương ứng là ( ) ( ) 0 0 0 0 f x x, y f x , y + D - , s ố gia này g ọi là s ố gia riêng c ủa hàm s ố ( ) z f x, y= theo bi ến x, t ại ( ) 0 0 0 M x , y , ký hi ệu là x 0z(M ) D hay x 0f (M ) D .

N ếu t ồn t ại gi ới h ạn h ữu h ạn:

( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x 0 x 0 xf M f x x, y f x , y lim lim x x D ® D ® D + D - = D D thì gi ới h ạn đó đượ c gọi là đạo hàm riêng c ủa hàm s ố ( ) z f x, y= theo bi ến x t ạ i điểm ( ) 0 0x , y , ký hi ệu là /x 0z (M ) hay 0 z(M )x ¶ ¶ hay /x 0f (M ) hay 0 f(M )x ¶ ¶. Ý ngh ĩa : Đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố ( ) z f x, y= theo bi ến x tại điểm ( ) 0 0x , y bi ểu th ị tốc độ bi ến thiên c ủa giá tr ị hàm s ố ( ) z f x, y= tại điểm ( ) 0 0x , y khi x thay đổ i m ột l ượ ng nh ỏ, trong điều ki ện giá tr ị của bi ến y không thay đổ i.

T ươ ng t ự, ta c ũng có định ngh ĩa đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố ( ) z f x, y= theo bi ến ytại 0 M , ký hi ệu là /y 0z (M ) hay 0 z(M )y ¶ ¶ hay /y 0f (M ) hay 0 f(M )y ¶ ¶ . Ví d ụ 1. Tính đạ o hàm riêng theo định ngh ĩa c ủa hàm s ố:

a) 3 2 w x y = tại điểm ( ) 1, 2 .

b) x f (x, y) x ( y 1) arccos y = + - t ại điểm ( ) x,1 . Gi ải a) ( ) 3 2 3 2 3 x w 1, 2 x .2 1 .2 4x 4D = - = - ; x x 1D = - Vậy ( ) ( ) 3 / 2 x x 1 x 1 4x 4 w 1, 2 lim lim 4 x x 1 12 x 1 ® ® - = = + + = - .

T ươ ng t ự: 178 ( ) 3 2 3 2 2 y w 1, 2 1 .y 1 .2 y 4D = - = - ; y y 2D = - V ậy ( ) ( ) 2 / y y 2 y 2y 4 w 1, 2 lim lim y 2 4. y 2 ® ® - = = + = - b) ( ) ( ) ( ) / x x 0 x x x x x 1 1 arccos x 1 1 arccos 1 1 f x,1 lim 1 x D ®     + D + D + - - + -         = = D T ươ ng t ự: ( ) ( ) ( ) / y y 0 x x x 1 y 1 arccos x 1 1 arccos 1 y 1 f x,1 lim y D ®     + + D - - + -     + D     =D ( )/ y y 0 x y.arccos y 1 f x,1 lim arccos x . y D ® DD + Û = = D Nh ận xét : Để tính đạ o hàm riêng /xf của hàm s ố ( ) z f x, y= theo bi ến x ta xem y nh ư là h ằng s ố và khi đó ( ) z f x, y= là hàm s ố của m ột bi ến x, do đó ta áp d ụng các công th ức đạ o hàm c ơ bản và quy t ắc tính đạ o hàm c ủa hàm m ột bi ến. T ươ ng t ự, cho vi ệc tính đạ o hàm riêng c ủa z theo y. Ví d ụ 2. Tính đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố sau: y sin x z e arctan(xy)= + Gi ải Ta có đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm s ố y sin / x x 2 2 2 y y y z e .cos . . x x 1 x y   = - +   +   y sin / x y 2 2 y 1 x z = e .cos . . x x 1 x y   +   +   b) Tr ường h ợp đạ o hàm riêng hàm s ố nhi ều h ơn hai bi ến s ố Đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố n bi ến s ố ( ) 1 2 n w f x , x , ..., x = theo m ột trong các bi ến độ c l ập t ại m ột điểm ( ) 1 2 n X x , x ,..., x là gi ới h ạn (n ếu có) c ủa t ỷ số gi ữa s ố gia riêng hàm s ố và s ố gia c ủa bi ến độ c l ập t ươ ng ứng khi s ố gia c ủa bi ến độ c l ập đó ti ến t ới 0. 179 Ký hi ệu:

( ) ( ) i i / / 1 2 n x x 1 2 n i i f x , x , ..., x w w f x , x ,..., x x x ¶ ¶ = = = ¶ ¶ ( ) ( ) i 1 2 i i n 1 2 ii n x 0 i f x , x , ..., x x ,..., x f x , x ,..., x ,..., x lim xD ® + D - = D ( ) ( ) i i 1 2 i n 1 2 ii n x x i i f x , x ,..., x ,..., x f x , x ,..., x ,..., x lim x x® - = - Chú ý :

Đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố w theo bi ến ix tại điểm ( ) 1 2 n X x , x ,..., x bi ểu th ị tốc độ bi ến thiên c ủa giá tr ị hàm s ố ( ) 1 2 n w f x , x ,..., x = tại điểm ( ) 1 2 n X x , x ,..., x khi ix thay đổ i m ột lượ ng nh ỏ, trong điều ki ện giá tr ị các bi ến còn l ại không thay đổ i. Khi tính đạ o hàm ( ) i i / /x x 1 2 nw f x , x ,..., x = (đạ o hàm riêng theo bi ến ix ) ta coi các bi ến còn l ại nh ư h ằng s ố và xem w nh ư là m ột hàm c ủa bi ến ix . Sau đó áp d ụng các quy t ắc tính đạ o hàm c ủa hàm s ố m ột bi ến s ố. Ví d ụ 3. Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1 c ủa hàm s ố:

a) 4 2 2 2 f (x, y) ln(x x y y ) = + + b) 2z x w y  =   Gi ải a) Ta có đạ o hàm riêng c ấp 1 ( ) ( ) / 3 2x 4 2 2 2 1 f x, y 4x 2xy x x y y = + + + ( ) ( ) / 2 y 4 2 2 2 1 f x, y 2x y 2y x x y y = + + + b) Ta có đạ o hàm riêng c ấp 1 ( ) 2z 1 / 2 x x 1 w x, y, z z . y y -   =     ( ) 2 2 2 z 1 z / 2 2 y 2 z 1 x x x w x, y, z z . z yy y - +     = - = -         180 ( ) 2z / z x x w x, y, z ln .2z y y     =         5.1.2. Đạo hàm riêng c ủa hàm h ợp N ếu ( ) z f u, v= và ( ) ( ) u u x , v v x= = thì đạ o hàm c ủa hàm s ố z theo bi ến x là dz z du z dv dx u dx v dx ¶ ¶ = × + × ¶ ¶ N ếu ( ) 1 2 m w f u , u ,..., u = và m ỗi bi ến ku với ( ) k = 1, 2,..., m lại là hàm c ủa các bi ến 1 2 nx , x ,..., x thì đạ o hàm c ủa hàm s ố w theo ( ) ix i 1, 2, 3..., n = đượ c tính theo công th ức:

1 2 n i 1 i 2 i n i w w u w u w u x u x u x u x ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = + + + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ⋯ (N ếu các đạ o hàm ở vế ph ải tồn t ại). Ví d ụ 4. Cho hàm s ố 2 w u ln v = + với ( )2 u sin 2x y= + , 4 4 2 v x y cos x= + + . Tính đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố theo biên x, y. Gi ải Ta có ( ) 2 3 w w 1 u v 2u, ; 2cos 2x y , 4x sin 2x u v v x x ¶ ¶ ¶ ¶ = = = + = - ¶ ¶ ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 4 2 w 1 2 sin 2x y 2cos 2x y 4x sin 2x x x y cos x ¶ = + + + - ¶ + + ( ) 2 3 u v 2ycos 2x y , 4y y y ¶ ¶ = + = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 4 4 2 w 1 2 sin 2x y .2ycos 2x y . 4 y . y x y cos x ¶ = + + + ¶ + + Ví d ụ 5. Cho hàm s ố ( ) ( ) 2 2 x z f x, y ln x y arc co t . y = = + + Tính đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố ( ) f x, y - theo bi ến x và đạ o hàm riêng c ủa hàm s ố 1 f x, y      theo bi ến y. Gi ải 181 Cách 1: ( ) ( ) ( ) 2 2 x f x, y ln x y arccot g x, y y   - = + + - =     ( )/ x 2 2 2 2 2 2 2x 1 1 2x y g x, y . . y x y x x y 1 y   + = - - =   + +   + ( ) ( ) 2 2 1 1 f x, ln x arccot xy h x, y y y     = + + =         ( )/ y 3 2 2 2 2 2 2 1 2 x 2 xy h x, y . . 1 y 1 x y (1 x y ) y x y  - + = - + =   + +   + Cách 2. Xem ( ) f x, y - là hàm h ợp c ủa hàm s ố ( ) f u, v và các hàm s ố u x, v y= - = sau đó tính đạ o hàm c ủa hàm s ố ( ) f u, v theo bi ến x theo công th ức đạ o hàm c ủa hàm h ợp.

T ươ ng t ự, xem hàm 1 f x, y      là hàm h ợp c ủa hàm s ố ( ) f u, v và các hàm s ố 1 u x, v . y = = 5.1.3. Đạo hàm riêng c ấp 2 a) Tr ườ ng h ợp hàm s ố hai bi ến s ố Cho hàm s ố ( ) z f x, y= . Tính các đạ o hàm riêng l ần th ứ nh ất ta đượ c z z,x y ¶ ¶ ¶ ¶ gọi là các đạ o hàm c ấp m ột c ủa hàm z. Tính đạ o hàm riêng c ủa các đạ o hàm riêng đó ta đượ c các đạ o hàm riêng m ới g ọi là các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố z ký hi ệu là:

( ) ( ) 2 2 / / / / xx yy 2 2 z z z z f x, y , f x, y . x x y y x y   ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶   = = = =     ¶ ¶ ¶ ¶¶ ¶     ( ) ( ) 2 2 / / / / xy yx z z z z f x, y , f x, y . y x x y x y y x   ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶   = = = =     ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶     T ươ ng t ự, đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố n bi ến s ố là đạ o hàm riêng c ủa đạ o hàm riêng c ấp m ột.

Ký hi ệu: 182 i j i j / / / /x x x x w f = Hàm s ố n bi ến s ố có 2n đạ o hàm riêng c ấp hai và n ếu i j¹ thì các đạ o hàm riêng c ấp 2 đượ c g ọi là đạ o hàm h ỗn h ợp c ấp 2. Ví d ụ 6. Tính các đạ o hàm riêng c ấp hai c ủa hàm s ố sau: 3 2 w x y xy = + Gi ải · Tính các đạ o hàm riêng c ấp 1:

/ 2 2 / 3 x yw 3x y y ; w x 2xy. = + = + · Tính các đạ o hàm riêng c ấp 2:

/ / / / 2 / / / / xx xy yx yyw 6xy; w 3x 2y w ; w 2x. = = + = = Ví d ụ 7. Cho hàm s ố x z arctan y = . Ch ứng minh r ằng: 2 2 2 2z z 0. x y ¶ ¶ + = ¶ ¶ Gi ải Tính các đạ o hàm c ấp 1:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 z 1 1 y z 1 x x . ; .

x y y x x y x y x y 1 1 y y     ¶ ¶ - = = = - =     ¶ ¶ + +     + + M ặt khác: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z 2xy z 2xy ; x y x y x y ¶ ¶ = - = ¶ ¶ + + V ậy: 2 2 2 2z z 0. x y ¶ ¶ + = ¶ ¶ Ví d ụ 8. Cho ( )u j là m ột hàm s ố có đạ o hàm v ới u là hàm s ố của hai bi ến s ố x và y. Đặ t ( ) 2 2 z y. x y .= j - Hãy ch ứng minh: 2 1 z 1 z z x x y y y ¶ ¶ + = ¶ ¶ . Gi ải ( ) ( ) / / u u z z .2x; u y. . 2y x y ¶ ¶ = j = j + j - ¶ ¶ 183 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 / / u u 2 2 y. x y u 1 1 z VT .y. .2x . u y . 2y VP x y y y y j - j = j + j + j - = = = = Chú ý: Nói chung, hai đạ o hàm h ỗn h ợp c ấp hai theo cùng m ột c ặp bi ến s ố nh ưng sai khác nhau ở trình t ự lấy đạ o hàm có th ể không b ằng nhau. Tuy nhiên, c ả hai đạ o hàm đó cùng t ồn t ại và liên t ục thì chúng b ằng nhau. Trong ch ươ ng trình c ủa chúng ta ch ỉ xét nh ững đạ o hàm h ỗn h ợp c ấp hai t ồn t ại và liên t ục. 5.2. Vi phân toàn ph ần 5.2.1. Vi phân c ấp 1 a) Tr ường h ợp hàm s ố hai bi ến s ố Cho hàm s ố ( ) w f x, y = . Khi đồ ng th ời cho x số gia xD và y số gia yD thì hàm s ố ( ) w f x, y = có s ố gia t ươ ng ứng là:

( ) ( ) w f f x x, y y f x, y .D = D = + D + D - S ố gia này g ọi là s ố gia toàn ph ần c ủa hàm s ố ( ) w f x, y = tại điểm ( ) x, y . N ếu hàm s ố ( ) w f x, y = có các đạ o hàm riêng ( ) / xf x, y và ( ) / yf x, y liên t ục t ại điểm ( ) 0 0x , y thì s ố gia toàn ph ần fD tại điểm ( ) 0 0x , y có th ể vi ết d ướ i d ạng:

( ) ( ) / / x 0 0 y 0 0 w f f x , y x f x , y y x y.D = D = D + D + aD + bD (1) Trong đó, , 0a b ® khi xD và y 0.D ® Đị nh ngh ĩa: N ếu hàm s ố ( ) w f x, y = xác định trong mi ền D và có các đạ o hàm riêng liên t ục t ại điểm ( ) 0 0 0 M x , y D Î thì bi ểu th ức ( ) ( ) / / x 0 0 y 0 0f x , y x f x , y y D + D đượ c g ọi là vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố ( ) w f x, y = tại điểm ( ) 0 0 0 M x , y và đượ c ký hi ệu là dw hay ( ) 0 0 df x , y .

V ậy vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố hai bi ến s ố tại m ột điểm ( ) 0 0 0 M x , y là:

( ) ( ) / / x 0 0 y 0 0 dw f x , y x f x , y y = D + D Hay: ( ) ( ) ( ) / / 0 0 x 0 0 y 0 0 df x , y f x , y x f x , y y = D + D .

V ới x, y là các bi ến độ c l ập, ta có dx x, dy y = D = D và khi không nh ấn m ạnh vi phân toàn ph ần t ại m ột điểm nào đó thì bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố đượ c vi ết: 184 / / x y df f dx f dy = + Ví d ụ 9. Tính vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố : ( ) ( ) 2 2 w f x, y ln x xy y = = + + t ại điểm ( ) 0 M 1, 2 bi ết x 0,1; y 0, 2D = D = . Gi ải Ta có đạ o hàm riêng c ấp 1 ( )/ x 2 2 2x y f x, y ; x xy y + = + + ( )/ y 2 2 x 2 y f x, y x xy y + = + + V ậy ( )/ x 2 2 2.1 2 4 f 1, 2 7 1 1.2 2 + = = + + ; ( )/ y 2 2 1 2.2 5 f 1, 2 . 7 1 1.2 2 + = = + + Vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố tại điểm ( ) 0 M 1, 2 là:

( ) 4 5 df 1, 2 .0,1 0, 2 0, 2. 7 7 = + = * T ươ ng t ự, gi ả thi ết hàm s ố n bi ến s ố ( ) 1 2 n w f x , x , ..., x = có các đạ o hàm riêng liên t ục theo t ất c ả các bi ến độ c l ập, bi ểu th ức vi phân toàn ph ần là:

1 1 2 2 n n dw f dx f dx f dx = + + + ⋯ V ới i i f f x ¶ = ¶ . Ví d ụ 10. Vi ết bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố: 2 xy w tan z   =     Gi ải Ta có đạ o hàm riêng c ấp 1 2 / x 2 2 1 y w . z xy cos z =      ; 185 / y 2 2 1 2xy w . ; z xy cos z =      2 / z 2 2 2 1 xy w . z xy cos z   = -           Bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ủa hàm s ố là:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y 1 2xy 1 xy dw . dx . dy . dz. z z z xy xy xy cos cos cos z z z   = + + -                       5.2.2. Ứng d ụng vi phân toàn ph ần để tính g ần đúng Từ (1) ta suy ra: f df x yD = + aD + bD Trong đó, , 0a b ® khi xD và y 0.D ® Do đó, trong tr ườ ng h ợp hàm s ố ( ) w f x, y = có các đạ o hàm riêng liên t ục thì fD khác df càng ít khi x, yD D càng nh ỏ (v ề giá tr ị tuy ệt đố i). Vì v ậy, ta có th ể tính đơ n gi ản: f dfD » với x, yD D đủ nh ỏ. Ví d ụ 11. Tính g ần đúng ( ) 2,01 0, 99 . Gi ải Ta xét hàm s ố ( ) y f x, y x = thì s ố ph ải tính ( ) 2,01 0, 99 chính là ( ) f 0, 99; 2, 01 .

M ặt khác:

( ) ( ) f 0, 99; 2, 01 f 1 0, 01; 2 0, 01 = - + ( ) ( ) ( ) f 1; 2 f 1 0, 01; 2 0, 01 f 1, 2D = - + - Mà theo công th ức g ần đúng f dfD » , tại 0 0x 1, y 2 = = với x 0, 01,D = - y 0, 01.D = Suy ra: ( ) ( ) ( ) f 0, 99; 2, 01 f 1, 2 df 1, 2 . » + V ới ( ) 2 f 1, 2 1 1, = = / y 1 / y x yf yx , f x ln x - = = ( ) ( ) y 1 y df 1, 2 yx . x x ln x. y 2.1. 0, 01 1. ln 1.0, 01= 0, 02 - = D + D = - + - V ậy: ( ) f 0, 99; 2, 01 1 0, 02 0, 98. » - = 186 Nh ận xét : Để tính g ần đúng m ột s ố A nào đó ta ph ải tìm đượ c bi ểu th ức c ủa hàm s ố ( ) f x, y (n ếu ch ỉ cần hai bi ến độ c l ập) sao cho s ố A chính là giá tr ị của hàm s ố tại điểm ( ) 1 1x , y nào đó ( ) 1 1 A f x , y . = Sau đó vi ết ( ) 1 1 f x , y dướ i d ạng ( ) ( ) 1 1 0 0 f x , y f x x, y y = + D + D , trong đó 0 0x , y đượ c ch ọn sao cho giá tr ị của hàm 0 0 f (x , y ) đượ c tính d ễ dàng (chính xác), suy ra 1 0 1 0 x x x , y y yD = - D = - r ồi tính g ần đúng s ố gia toàn ph ần ( ) ( ) 0 0 0 0 f x , y df x , y .D » Cu ối cùng s ử dụng công th ức:

( ) ( ) ( ) / / 0 0 x 0 0 y 0 0 df x , y f x , y x f x , y y = D + D V ậy ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 A f x , y f x , y df x , y . = » + 5.2.3. Vi phân c ấp 2 Đị nh ngh ĩa: Vi phân toàn ph ần c ủa vi phân toàn ph ần c ấp m ột dw c ủa hàm s ố ( ) 1 2 n w f x , x , ..., x = đượ c g ọi là vi phân toàn ph ần c ấp hai c ủa hàm s ố đó và đượ c ký hi ệu nh ư sau: ( ) 2 2 1 2 n d w, d f x , x , ..., x Đố i v ới tr ườ ng h ợp hàm s ố hai bi ến s ố bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ấp hai là:

( ) ( ) ( ) 2 2 2 / / / / / / xx xy yyd w w dx 2w dxdy w dy = + + Ví dụ 12. Vi ết bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ấp hai c ủa hàm s ố:

x 2 y w e + = Gi ải Tính đạ o hàm riêng c ấp 1: / x 2 y / x 2 yx yw e ; w 2e + + = = Tính đạ o hàm riêng c ấp 2:

/ / x 2 y / / x 2 y / / / / x 2 yxx xy yx yyw e , w 2e w , w 4e + + + = = = = Bi ểu th ức vi phân toàn ph ần c ấp 2:

( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 y x 2 y x 2 y dw e dx 2.2e dxdy 4e dy + + + = + + . 187 Ph ụ lục 6. Bài toán c ực tr ị hàm nhi ều bi ến không có điề u ki ện ràng bu ộc (c ực tr ị t ự do) 6.1. Khái ni ệm c ực tr ị đị a ph ương Cho hàm n bi ến n f : D Ì ® ℝ ℝ và ( ) 0 0 0 0 1 2 n X x , x ,..., x D = Î . Hàm f xác định và liên t ục trong mi ền ( ) { } n 1 2 n i i i D X x , x , , x | a x b ; i 1, 2, , n = = Î < < = … … R i) Hàm f đạt c ực đạ i tại điể m 0X , n ếu ( ) ( )0 f X f X ; X D £ " Î ii) Hàm f đạt c ực ti ểu t ại điể m 0X , n ếu ( ) ( )0 f X f X ; X D ³ " Î Hàm s ố ( ) f X đạ t c ực đạ i hay c ực ti ểu t ại điề m 0X đượ c gọi là điể m c ực tr ị c ủa hàm s ố .

Bài toán 1: Tìm cực tr ị c ủa hàm s ố ( ) ( ) 1 2 n w f x , x , , x f X = = … v ới 0X D Î * Điề u ki ện c ần Gi ả s ử hàm s ố ( ) w f X = xác định, liên t ục và có các đạo hàm riêng theo t ất c ả các bi ến độ c l ập trong mi ền D. Để hàm s ố này đạt c ực tr ị (c ực đạ i ho ặc c ực ti ểu) t ại điể m 0X D Î thì t ại điể m đó t ất c ả các đạo hàm riêng c ấp m ột tri ệt tiêu:

( ) i i / / x x 0w f X 0; i 1, 2, , n = = = … Đ iể m 0X tho ả mãn điề u ki ện trên được gọi là điể m d ừng của hàm s ố ( ) f X .

* Điề u ki ện đủ 188 Gi ả s ử 0X là m ột điể m d ừng c ủa hàm s ố ( ) w f X = và t ại điể m đó hàm s ố có t ất c ả các đạo hàm riêng c ấp hai liên t ục. • Đị nh lý 1: Xét dạng toàn ph ương c ủa n bi ến s ố 1 2 n dx , dx , , dx … n n 2 ij i j i 1 j 1 d f a dx dx = = =∑ ∑ trong đó ( ) i j / / ij x x 0a f X = . 1. N ếu 2d f là d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng thì điểm d ừng 0X là điểm c ực ti ểu c ủa hàm s ố ( ) f X . 2. N ếu 2d f là d ạng toàn ph ươ ng xác định âm thì điểm d ừng 0X là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố ( ) f X . 3. N ếu 2d f là d ạng toàn ph ươ ng không xác định thì điểm d ừng 0X không ph ải là điểm c ực tr ị của hàm s ố ( ) f X .

• Đị nh lý 2: Xét ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng 2d f (ma tr ận Hess):

11 12 1n 21 22 2 n n1 n 2 nn a a a a a a H a a a      =      ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ có các định th ức con chính c ấp k ( ) k 1, 2, , n= … là:

11 12 1k 21 22 2 k k k1 k 2 kk a a a a a a H a a a = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 1. N ếu kH 0 > với k 1, 2, , n" = … (t ức là ma tr ận H có t ất c ả các định th ức con chính d ươ ng) thì điểm d ừng 0X là điểm c ực ti ểu c ủa hàm s ố ( ) f X . 2. N ếu ( ) k k 1 H 0- > với k 1, 2, , n" = … (t ức là ma tr ận H có các định th ức con chính c ấp l ẻ âm và c ấp ch ẵn d ươ ng) thì điểm d ừng 0X là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố ( ) f X . Trong th ực hành, ta th ườ ng g ặp các bài toán tìm c ực tr ị tự do c ủa hàm hai bi ến và hàm ba bi ến. 189 Sau đây chúng tôi s ẽ phát bi ểu các b ướ c tìm c ực tr ị cho các hàm trong nh ững tr ườ ng h ợp này. 6.2. Tr ường h ợp hàm hai bi ến Với hàm hai bi ến ( ) z f x, y= . B ướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) / / x x / / y yz f x, y 0 z f x, y 0  = =   = =   Các nghi ệm c ủa h ệ là t ọa độ các điểm d ừng. B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ tại các điểm d ừng.

Gi ả sử ( ) 0 0 M x , y là m ột điểm d ừng c ủa hàm s ố đã cho. Xét định th ức 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a = = - trong đó ( ) ( ) / / / / 11 xx 0 0 12 xy 0 0a f x , y ; a f x , y ; = = ( ) ( ) / / / / 21 yx 0 0 22 yy 0 0a f x , y ; a f x , y . = = Tr ườ ng h ợp 1 : N ếu D 0 > thì điểm d ừng M là điểm c ực tr ị của hàm s ố ( ) w f x, y : = ( ) 0 0 M x , y là điểm c ực đạ i n ếu 11a 0 < .

( ) 0 0 M x , y là điểm c ực ti ểu n ếu 11a 0 > . Tr ườ ng h ợp 2 : N ếu D 0 < thì điểm d ừng M không ph ải là điểm c ực tr ị của hàm s ố ( ) w f x, y . = 6.3. Tr ường h ợp hàm ba bi ến Với hàm ba bi ến ( ) w f x, y, z = . B ướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) ( ) / / x x / / y y / / z zw f x, y, z 0 w f x, y, z 0 w f x, y, z 0  = =   = =   = =   Các nghi ệm c ủa h ệ là t ọa độ các điểm d ừng. B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ tại các điểm d ừng. 190 Gi ả sử ( ) 0 0 0 M x , y , z là m ột điểm d ừng c ủa hàm s ố đã cho. Xét các định th ức con chính c ủa ma tr ận:

11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a H a a a a a a    =    V ới 11 12 1 11 2 3 21 22a a H a ; H ; H H a a = = = , trong đó:

( ) ( ) ( ) / / / / / / 11 xx 0 0 0 12 xy 0 0 0 13 xz 0 0 0a f x , y , z ; a f x , y , z ; a f x , y , z ; = = = ( ) ( ) ( ) / / / / / / 21 yx 0 0 0 22 yy 0 0 0 23 yz 0 0 0a f x , y , z ; a f x , y , z ; a f x , y , z ; = = = ( ) ( ) ( ) / / / / / / 31 zx 0 0 0 32 zy 0 0 0 33 zz 0 0 0a f x , y , z ; a f x , y , z ; a f x , y , z . = = = Tr ườ ng h ợp 1: N ếu 1 2 3H 0; H 0; H 0 > > > thì M là điểm c ực ti ểu c ủa hàm s ố ( ) w f x, y, z = . Tr ườ ng h ợp 2 : N ếu 1 2 3H 0; H 0; H 0 < > < thì M là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố ( ) w f x, y, z = .Chú ý : Trong khuôn kh ổ ch ươ ng trình, ta th ườ ng g ặp nh ững hàm s ố có các đạ o hàm riêng c ấp hai liên t ục, nên các đạ o hàm chéo đề u b ằng nhau, do đó ( ) ij jia a i j = ¹ . Ví d ụ 1. Tìm c ực tr ị của hàm s ố 3 3 z x 2xy 8y= + - . Gi ải Bướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình:

/ 2 2 x / 2 2 yz 3x 2y 0 3x 2y z 2x 24y 0 24y 2x   = + = = -   Û   = - = =     L ập t ỉ số vế theo v ế của hai ph ươ ng trình trên, ta có x 2y= - Thay vào ph ươ ng trình th ứ nh ất c ủa h ệ, ta có ( ) 1 1 2 2y 0 x 0 2y 6y 1 0 1 1 y x 6 3 = =     + = Û ⇒   = - =   V ậy hàm s ố có hai điểm d ừng ( ) 1 M 0, 0 và 2 1 1 M , 3 6   -    . 191 Bướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ / / / / / / / / xx yy xy yxz 6x; z 48y; z z 2 = = - = = +) T ại điểm ( ) 1 M 0, 0 , ta có: 0 2 D 4 0 2 0 = = - < nên 1 M không ph ải là điểm c ực tr ị.

+) T ại điểm 2 1 1 M , 3 6   -    , ta có: 2 2 D 12 0 2 8 = = > và 11a 2 0 = > nên 2 M là điểm c ực ti ểu. Khi đó giá tr ị cực ti ểu c ủa hàm s ố là 3 3 CT 1 1 1 1 1 z 2. . 8 3 3 6 6 27      = + - - - = -            . Ví d ụ 2. Tìm c ực tr ị của hàm s ố: 2 2 z 3x 4y 2xy 2x 3y 1.= - - + - + + Gi ải Bướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình / x / y 5 x z 6x 2y 2 0 22 7 z 8y 2x 3 0 y 22  = -  = - + - =   Û   = - + + =    =   V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng là 5 7 M , 22 22  -   .

B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ / / / / / / 11 xx 22 yy 12 21 xy a z 6; a z 8; a a z 2. = = - = = - = = = Ta có: 11 12 21 22a a 6 2 D 44 0 a a 2 8 - = = = > - và 11a 6 0 = - < nên M là điểm c ực đạ i c ủa hàm s ố. Khi đó giá tr ị cực đạ i c ủa hàm s ố là CD 5 7 825 z z , 22 22 484   = - =     . Ví d ụ 3. Tìm c ực tr ị của hàm s ố: 2 2 2 w x 2y 9z 4xz 2y 3z 4 = + + - - + + . Gi ải Bướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình 192 / x / y / z 3 x w 2x 4z 0 5 1 w 4y 2 0 y2 3 w 18z 4x 3 0 z 10  = -  = - =     = - = Û =     = - + = = -     V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng là 3 1 3 M , , 5 2 10 - -    .

B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ / / / / / / 11 xx 22 yy 33 zz a w 2; a w 4; a w 18; = = = = = = / / / / / / 12 21 xy 13 31 xz 23 32 yz a a w 0; a a w 4; a a w 0. = = = = = = - = = = L ập ma tr ận: 2 0 4 H 0 4 0 4 0 18 -    =  -  Ta có: 1 2 3 2 0 4 2 0 H 2 0; H 8 0; H 0 4 0 80 0 0 4 4 0 18- = > = = > = = > - nên M là điểm c ực ti ểu. Khi đó giá tr ị cực ti ểu c ủa hàm s ố là CT 3 1 3 61 z z , , . 5 2 10 20 - -  = =     Ví d ụ 4. Tìm c ực tr ị của hàm s ố 10 5 z 20xy x y = - - (điều ki ện: x 0; y 0< < ). Gi ải Bướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình / x 2 2 2 2 / y 2 2 10 1 z 20y 0 2y 2x y 1 x x 5 1 4xy 1 z 20x 0 4x y y   = + = = -    = -    Û Û    = -     = + = = -     Theo gi ả thi ết x 0; y 0< < nên ta có th ể xác định quan h ệ gi ữa x, y nh ư sau: 2 2 2x y 1 x 1 x 2 y 1 2 y 4xy - = ⇒ = ⇒ = - Thay vào ph ươ ng trình th ứ nh ất c ủa h ệ, ta có 193 3 3 1 1 8y 1 y y x 1 8 2 = - ⇒ = -⇒= - ⇒= - (tho ả mãn điều ki ện) V ậy hàm s ố có m ột điểm d ừng 1 M 1, 2  - -   .

B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ / / / / xx 11 xx 3 20 1 z a z 1, 20; 2 x   = - ⇒= - - =     / / / / yy 22 yy 3 10 1 z a z 1, 80; 2 y   = - ⇒= - - =     / / / / / / xy yx 12 21 xy 1 z z 20 a a z 1, 20. 2   = = ⇒= = - - =     Ta có: 20 20 D 1200 0 20 80 = = > và 11a 20 0 = > nên M là điểm c ực ti ểu. Khi đó giá tr ị cực ti ểu c ủa hàm s ố là ( ) CT 1 10 5 z 20. 1 . 30 1 2 12   = - - - - =   --   . Ví d ụ 5. Tìm c ực tr ị của hàm s ố 4 4 2 2 z x y x 2xy y 2= - - + - + - . Gi ải Bướ c 1: Gi ải h ệ ph ươ ng trình / 3 x / 3 yz 4x 2x 2y 0 z 4y 2x 2y 0  = - + - =   = - - + =   C ộng ph ươ ng trình th ứ nh ất v ới ph ươ ng trình th ứ hai c ủa h ệ, ta có quan hê gi ữa hai bi ến 3 3 4x 4y 0 x y- - = ⇒ = - Thay vào ph ươ ng trình th ứ nh ất c ủa h ệ, ta có ( ) 1 1 2 2 2 3 3x 1 y 1 4x x 1 0 x 1 y 1 x 0 y 0 = = -     - - = Û = - ⇒=     = =   V ậy hàm s ố có ba điểm d ừng ( ) 1 M 1, 1 - , ( ) 2 M 1,1 - và ( ) 3 M 0, 0 .

B ướ c 2: Ki ểm tra điều ki ện đủ 194 / / 2 / / 2 / / / / xx yy xy yxz 12x 2; z 12y 2; z z 2 = - + = - + = = - +) T ại điểm ( ) 1 M 1, 1 - , ta có 10 2 D 96 0 2 10 - - = = > - - và 11a 10 0 = - < nên 1 M là điểm c ực đạ i. Khi đó giá tr ị cực đạ i c ủa hàm s ố là ( ) CDz z 1, 1 0 = - = +) T ại điểm ( ) 2 M 1,1 - , ta có 10 2 D 96 0 2 10 - - = = > - - và 11a 10 0 = - < nên 2 M là là điểm c ực đạ i. Khi đó giá tr ị cực đạ i c ủa hàm s ố là ( ) CDz z 1, 1 0 = - = +) T ại điểm ( ) 3 M 0, 0 , ta có 2 2 D 0 2 2 - = = - nên ta ch ưa th ể kết lu ận đượ c tính ch ất c ủa điểm này. Ta c ần xét điểm 3 M thông qua định ngh ĩa c ực tr ị địa ph ươ ng:

Xét nh ững điểm ( ) M x, y có kho ảng cách đế n ( ) 3 M 0, 0 nh ỏ h ơn m ột s ố th ực d ươ ng: ( )3 0 d M, M r< < . Xét hi ệu :

( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 2 4 4 3 z M z M x y x 2xy y x y x y - = - - + - + = - - + T ại nh ững điểm ( ) M x, y tho ả mãn x y 0= ¹ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 z M z M x y 0 z M z M - = - + < ⇒ < T ại nh ững điểm ( ) M x, y tho ả mãn x 2y 0= ¹ , ta có ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2 3 1 1 z M z M y 17 y y 1 17 y 0 y 17 17 - = - = - > Û - < < nên t ại nh ững điểm ( ) M 2y, y mà 1 1 y 17 17 - < < thì ( ) ( )3 z M z M > V ậy theo định ngh ĩa, 3 M không ph ải là điểm c ực tr ị của hàm s ố.

195 Ph ụ l ục 7. Bài toán c ực tr ị có điề u ki ện ràng bu ộc ph ương trình (ph ương pháp nhân t ử Lagrange) 7.1. Bài toán c ực tr ị có điề u ki ện ràng bu ộc Bài toán. Tìm cực tr ị c ủa hàm s ố : ( ) ( ) 1 2 n w f x , x , , x f X = = … v ớ i điề u ki ện : ( ) ( ) 1 2 n g x , x , , x g X b = = … .

L ập hàm Lagrange:

( ) ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n 1 2 n L x , x , , x , f x , x , , x b g x , x , , x l = + l  -    … … … V ới l: nhân t ử Lagrange.

Đ iề u ki ện c ần:

Gi ả s ử các hàm f và g có các đạo hàm riêng liên t ục trong m ột lân c ận c ủa điể m ( ) 1 2 n X x , x , , x … và t ại điểm đó ít nh ất m ột trong các đạ o hàm riêng c ủa g khác 0. N ếu hàm ( ) w f X = với điều ki ện ( ) g X b = đạ t c ực tr ị tại X thì t ồn t ại m ột giá tr ị l của nhân t ử Lagrange sao cho ( ) 1 2 nx , x , , x , l … là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình:

( ) ( ) i i i / / / /x x xL b g X 0 i 1, 2, , n L f g 0 l  = - =  =  = - l =   … Đ iề u ki ện đủ :

Gi ả sử các hàm f và g có các đạ o hàm riêng c ấp hai liên t ục t ại điểm X và điểm ( ) 1 2 nx , x , , x , l … là m ột điểm d ừng c ủa hàm s ố Lagrange. L ập ma tr ận:

1 2 n 1 11 12 1n 2 21 22 2 n n n1 n 2 nn g g g 0 g L L L H g L L L g L L L       =       ⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ trong đó ( ) ( ) ( ) k i j / / / k x 1 2 n ij x x 1 2 n g g x , x , , x ; L L x , x , , x , ; i, j, k 1, 2, , n = = l = … … … Các định th ức con chính c ấp k ( ) k 2, 3, , n= … là 196 1 2 k 1 11 12 1k k 2 21 22 2 k k k1 k 2 kk g g g 0 g L L L H g L L L g L L L = ⋯ ⋯⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 1. N ếu ( ) k k 1 H 0- > với k 2, 3, , n" = … thì hàm ( ) w f X = với điều ki ện ( ) g X b = đạ t giá tr ị cực đạ i tại điểm X . 2. N ếu kH 0 < với k 2, 3, , n" = … thì hàm ( ) w f X = với điều ki ện ( ) g X b = đạ t giá tr ị cực ti ểu t ại điểm X . 7.2. Tr ường h ợp hàm hai bi ến Xét hàm hai bi ến ( ) z f x, y= với điều ki ện ( ) g x, y b = . B ướ c 1: L ập hàm Lagrange: ( ) ( ) ( ) L x, y, f x, y b g x, y l = + l  -    Bướ c 2 : Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau để tìm điểm d ừng ( ) / / / x x x / / / y y y /L f g 0 L f g 0 L b g x, y 0l  = - l =   = - l =   = - =   B ướ c 3: Gi ả sử ( ) 0 0 M x , y là m ột điểm d ừng ứng v ới giá tr ị 0l , ta xét định th ức 1 2 1 11 12 2 21 22 0 g g H g L L g L L = trong đó:

( ) ( ) ( ) / / / / 1 x 0 0 2 y 0 0 11 xx 0 0 0g g x , y ; g g x , y ; L L x , y , ; = = = l ( ) ( ) / / / / 22 yy 0 0 0 12 21 xy 0 0 0 L L x , y , ; L L L x , y , . = l = = l Tr ườ ng h ợp 1 : N ếu H 0 > thì hàm s ố ( ) z f x, y= với điều ki ện ( ) g x, y b = đạ t giá tr ị cực đạ i tại điểm M. Tr ườ ng h ợp 2: N ếu H 0 < thì hàm s ố ( ) z f x, y= với điều ki ện ( ) g x, y b = đạ t giá tr ị cực ti ểu t ại điểm M. 7.3. Tr ường h ợp hàm ba bi ến 197 Xét hàm ba bi ến ( ) w f x, y, z = với điều ki ện ( ) g x, y, z b = . B ướ c 1: L ập hàm Lagrange ( ) ( ) ( ) L x, y, z, f x, y, z b g x, y, z l = + l -    B ướ c 2: Gi ải h ệ ph ươ ng trình sau để tìm điểm d ừng ( ) / / / x x x / / / y y y / / / z z z /L f g 0 L f g 0 L f g 0 L b g x, y, z 0l  = - l =  = - l =    = - l =   = - =   B ướ c 3: Gi ả sử ( ) 0 0 0 M x , y , z là m ột điểm d ừng ứng v ới giá tr ị 0, l xét các định th ức con chính c ủa ma tr ận 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 0 g g g g L L L H g L L L g L L L      =      là 1 2 2 1 11 12 2 21 22 0 g g H g L L g L L = và 3H H = , trong đó ( ) ( ) ( ) / / / 1 x 0 0 0 2 y 0 0 0 3 z 0 0 0g g x , y , z ; g g x , y , z ; g g x , y , z ; = = = ( ) ( ) / / / / 11 xx 0 0 0 0 12 21 xy 0 0 0 0 L L x , y , z , ; L L L x , y , z , ; = l = = l ( ) ( ) / / / / 22 yy 0 0 0 0 23 32 yz 0 0 0 0L L x , y , z , ; L L L x , y , z , ; = l = = l ( ) ( ) / / / / 33 zz 0 0 0 0 13 31 xz 0 0 0 0L L x , y , z , ; L L L x , y , z , . = l = = l Tr ườ ng h ợp 1 : N ếu 2 3H 0; H 0 > < thì hàm s ố ( ) w f x, y, z = v ới điề u ki ện ( ) g x, y, z b = đạ t giá tr ị c ực đạ i tại điể m M.

Tr ườ ng h ợp 2 : N ếu 2 3H 0; H 0 < < thì hàm s ố ( ) w f x, y, z = v ới điề u ki ện ( ) g x, y, z b = đạ t giá tr ị c ực ti ểu t ại điể m M.

Ví d ụ 1. Sử d ụng ph ương pháp nhân t ử Lagrange tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố 2 2 z x 2y= - - v ớ i điề u ki ện 3x 2y 22 - = - . 198 Gi ải B ướ c 1: L ập hàm Lagrange ( ) 2 2 L(x, y, ) x 2 y 22 3x 2y l = - - + l - - + B ướ c 2: Gi ải h ệ ph ương trình / x / y / 3 x L 2x 3 0 2 x 6 L 4y 2 0 y y 2 2 4 3x 2y 22 L 22 3x 2y 0 l l  = -  = - - l = = -       l = - + l = Û = Û =       l = - = - = - - + =     V ậy hàm s ố có m ột điể m d ừng là ( ) M 6, 2 - ứ ng v ới 2 l = .

B ướ c 3: Ki ểm tra điều ki ện đủ / / / / 1 x 2 y 11 xx g g 3; g g 2; L L 2; = = = = - = = - / / / / 22 yy 12 21 xy L L 4; L L L 0. = = - = = = Xét định th ức : 0 3 2 H 3 2 0 44 0 2 0 4 - = - = > - - V ậy điểm M là điểm c ực đạ i. Khi đó giá tr ị cực đạ i c ủa hàm s ố là ( ) ( ) 2 2 CD z z 6, 2 6 2.2 44. = - = - - - = - Ví d ụ 2. S ử dụng ph ươ ng pháp nhân t ử Lagrange tìm c ực tr ị của hàm s ố z 3x y= - với điều ki ện 2 2 3x 4y 208. + = Gi ải Bướ c 1: L ập hàm Lagrange: ( ) 2 2 L(x, y, ) 3x y 208 3x 4y l = - + l - - B ướ c 2: Gi ải h ệ ph ươ ng trình / x / y 2 2 / 2 2L 3 6 x 0 2 x 1 (1) L 1 8 y 0 8 y 1 (2) 3x 4y 208 (3) L 208 3x 4y 0l  = - l = l =    = - - l = Û l = -     + = = - - =    T ừ (1) và (2), ta có x 4y= - (x 0, y 0¹ ¹ , vì n ếu x 0, y 0= = là vô lý) Thay vào ph ươ ng trình th ứ (3), ta có 2 2 y 2 52y 208 y 4 y 2 = -  = Û = Û  =  199 Với y 2= - kết h ợp v ới (1) và (2), ta có 2 x 1 x 8 8 y 1 y 2 y 2 1 16   l = =    l = - Û = -     = -   l = V ới y 2= kết h ợp v ới (1) và (2), ta có 2 x 1 x 8 8 y 1 y 2 y 2 1 16   l = = -    l = - Û =     =   l = - V ậy hàm s ố có hai điểm d ừng: ( ) 1 M 8, 2 - ứng v ới 1 1 16 l = ; ( ) 2 M 8, 2 - ứng v ới 2 1 16 l = - .

B ướ c 3: Ki ểm tra điều ki ện đủ tại điểm ( ) i i i M x , y ứng v ới ( ) ii 1, 2 l = / / / / x y xxg 6x; g 8y; L 6 ; = = = - l / / / / / / yy xy yxL 8 ; L L 0. = - l = = Suy ra 1 i 2 i 11 i 22 i 12 21g 6x ; g 8y ; L 6 ; L 8 ; L L 0. = = = - l = - l = = Xét định th ức: ( ) i i 2 2 i i i i i i i i 0 6x 8y H 6x 6 0 96 3x 4 y 96.19. 8y 0 8 = - l = l + = l - l +) T ại điểm ( ) 1 M 8, 2 - . Ta có 1 H 96.19. 0 16 = > nên 1 M là điểm c ực đạ i. Khi đó giá tr ị cực đạ i c ủa hàm s ố là ( ) CDz z 8, 2 3.8 2 26. = - = + = +) T ại điểm ( ) 2 M 8, 2 - . Ta có 1 H 96.19. 0 16   = - <     nên 2 M là điểm c ực ti ểu. Khi đó giá tr ị cực ti ểu c ủa hàm s ố là ( ) ( ) CTz z 8, 2 3. 8 2 26. = - = - - = - 200 Ph ụ lụ c 8. Ph ương trình vi phân 8.1. Các khái ni ệm c ơ b ản a) Định ngh ĩa ph ương trình vi phân Ph ương trình vi phân c ấp n có d ạng sau: ( ) ( )n / / / F x, y, y , y , , y 0 = … Ví d ụ 1. Cho các ph ươ ng trình vi phân /y 5x 0 - = Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 ( ) ( ) 3x y dx x y dy 0 - + + = Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 / / / xy 3y 2y (x 1)e - + = + Ph ươ ng trình vi phân c ấp 2 b) Nghi ệm c ủa ph ương trình vi phân Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình vi phân là m ột hàm s ố trên kho ảng IÌ ℝ Có 3 d ạng sau:

- D ạng hi ện : y f (x )= - D ạng ẩn : (x, y) 0j = - D ạng tham s ố : x x(t ) t y y(t ) =  Î  =  ℝ Nghi ệm c ủa ph ươ ng trình vi phân - Nghi ệm t ổng quát : y f ( x, C)= , nghi ệm riêng 0 y f (x, C )= - Tích phân t ổng quát : (x, y, C) 0j = - Nghi ệm k ỳ dị. 8.2. Ph ương trình vi phân c ấp 1 Ph ươ ng trình vi phân c ấp 1 có d ạng t ổng quát: / / F(x, y, y ) 0 hay y f (x, y) (*) = = Hàm s ố y (x )= j xác định và kh ả vi trên kho ảng IÌ ℝ đượ c g ọi là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (*) trên IÌ ℝ , n ếu / (x, ( x )) G, x I ( x ) f ( x, (x )), x I j Î " Î    j = j " Î  v ới G là t ập xác định c ủa hàm f ( x, y) Bài toán Cauchy: Tìm hàm s ố y (x )= j là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình (*) th ỏa điều ki ện đầ u 0 0y (x ) = j . a) Ph ương trình tách bi ến 201 Có 3 d ạng sau: /y f (x)g(y) = f (x)dx g(y)dy 0 + = 1 1 2 2f (x)g (y)dx f (x)g ( y)dy 0 + = Ph ươ ng pháp gi ải Phân ly bi ến s ố x và dx v ề m ột v ế và y và dy v ề m ột v ế rồi lấy tích phân hai v ế Ví d ụ 2. Gi ải ph ươ ng trình vi phân sau 1) / xy e = 2) ( ) 4 x sin x dx 5y dy 0+ + = 3) / 2y xy 2xy - = Gi ải 1) / x x xy e dy e dx y e C = Û = Û = + (C là h ằng s ố) 2) ( ) 4 x sin x dx 5y dy 0+ + = (2) L ấy tích phân 2 v ế của ph ươ ng trình (2) ( ) 4 x sin x dx 5y dy C+ + = ∫ ∫ 2 5 1x cos x y C2 Û - + = (v ới C là h ằng s ố) 3) / 2y xy 2xy - = Ph ươ ng trình (3) đượ c vi ết lại nh ư sau 2 dy xy 2xy xy( y 2) dy xy( y 2)dx dx = + = + Û = + (3) Tr ườ ng h ợp 1: N ếu y 0, 2= - là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình Tr ườ ng h ợp 2: N ếu y 0, 2¹ - , chia hai v ế của ph ươ ng trình (3) cho y( y 2) + , ta đượ c dy xdx y( y 2) = + , L ấy tích phân hai v ế của ph ươ ng trình trên, ta có dy 1 1 1 xdx C dy xdx C y( y 2) 2 y y 2   = + Û - = +   + +   ∫ ∫ ∫ ∫ 202 ( ) 2 1 1 ln y ln y 2 x C 2 2 Û - + = + 2 y ln x C y 2 Û = + + (v ới C là h ằng s ố) b) Ph ương trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 Ph ươ ng trình vi phân tuy ến tính c ấp 1 có d ạng: /y a(x)y b(x) + = . Trong đó . a(x), b(x) . là các hàm s ố liên t ục. Ph ương pháp gi ải B ướ c 1: Tìm m ột nguyên hàm c ủa a( x ) u ( x ) a( x )dx = ∫ B ướ c 2: Ch ọn th ừa s ố tích phân u ( x ) v(x) e = B ướ c 3: Nhân hai v ế của ph ươ ng trình cho th ừa s ố tích phân: v(x) (v(x) 0, x) ¹ " thì ta có / v(x) y a(x)v(x)y v(x)b(x) + = ( ) / v(x ) y v(x )b(x) (*) Û = B ướ c 4: L ấy tích phân hai v ế của (*), ta đượ c 1 v(x) y v(x)b(x)dx y v(x)b(x)dx v(x) = ⇒= ∫ ∫ Ví dụ 3. Gi ải ph ươ ng trình vi phân sau3 / 1 1) y y 1 x + = với . x 0, y(1) 1> = .

2 / x 2) y 2xy xe - + = Gi ải / 1 1) y y 1 x + = với x 0, y(1) 1> = B ướ c 1: 1 x có nguyên hàm là ln x ln x = (vì x 0> ) B ướ c 2: Ch ọn th ừa s ố tích phân: ln xe x = 203 Bướ c 3: Nhân hai v ế của ph ươ ng trình cho x, thì ta có ( ) / / xy y x xy x + = Û = (*) B ướ c 4: L ấy tích phân hai v ế của (*) 2 1 1 x C xy xdx C y x C x 2 2 x       = + ⇒= + = + ∫ V ới điều ki ện đầ u 1 C 1 y(1) 1 1 C 2 1 2 = Û + = Û = V ậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình: x 1 y 2 2x = + 2 / x 2) y 2xy xe - + = B ướ c 1: 2x có nguyên hàm là 2x B ướ c 2: Ch ọn th ừa s ố tích phân: 2xe B ướ c 3: Nhân hai v ế của ph ươ ng trình cho 2xe , thì ta có ( ) 2 2 2 / x / x x e y 2xe y x e y x + = Û = (*) B ướ c 4: L ấy tích phân hai v ế của (*) 2 2x x 2 1 e y xdx C y e x C 2 -      = + ⇒= + ∫ 204 M ỘT S Ố ĐỀ THAM KH ẢO Đề số 01 Câu 1. Cho hàm s ản xu ất Cobb Douglas: ( ) 3 2 Q K, L 80 K L = trong đó Q : là s ản l ượ ng, K : là v ốn, L : là lao độ ng.

1) Tính h ệ số co dãn c ủa Q theo K và theo L. Nêu ý ngh ĩa.

2) Nếu nh ịp t ăng tr ưở ng c ủa v ốn là 4% và nh ịp t ăng tr ưở ng c ủa lao độ ng là 6% thì nh ịp t ăng tr ưở ng c ủa s ản l ượ ng là bao nhiêu? Câu 2. Cho hàm chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q là ( ) 0,6Q MC Q 15e = và chi phí c ố định là 20. Tìm hàm t ổng chi phí. Câu 3. Cho ma tr ận h ệ số kỹ thu ật c ủa 3 ngành nh ư sau 0,1 0, 2 0 A 0, 2 0,1 0, 3 0, 2 0, 3 0,1    =    1) Nêu ý ngh ĩa kinh t ế của ph ần t ử ở hàng 2 và c ột 3 c ủa ma tr ận này.

2) Cho bi ết ma tr ận c ầu cu ối ( ) T b 60 50 70= . Tìm s ản l ượ ng m ỗi ngành Câu 4. Cho hàm t ổng chi phí nh ư sau: 2 C(Q) 4000 5Q 0,1Q = + + (Q là s ản l ượ ng) 1) Tính chi phí biên t ại m ức s ản l ượ ng 100. 2) Tìm Q để cực ti ểu hàm chi phí bình quân Câu 5. M ột công ty có hàm s ản xu ất: ( ) Q K, L 2K(L 2), = - trong đó K, L lần l ượ t là v ốn và lao độ ng. Bi ết giá thuê m ột đơ n v ị vốn là 600 USD và giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng là 300 USD. N ếu doanh nghi ệp chi s ố ti ền 15000 USD. Tìm m ức s ử dụng K và L sao cho s ản l ượ ng t ối đa. Đề số 02 Câu 1. Thu nh ập qu ốc dân c ủa m ột qu ốc gia (Y) ph ụ thu ộc vào v ốn (K), lao độ ng đượ c s ử d ụng (L) và ngân sách đào t ạo 5 n ăm tr ướ c đó (G) nh ư sau: 0,35 0,18 0,25 Y 0, 38K L G = trong đó K, L, G là các hàm theo th ời gian nh ư sau: 205 t 0 K(t ) K (1, 2) = ; t 0 L(t ) L (1, 05) = ; t 0 G(t ) G (1, 25) = . Tính h ệ số tăng tr ưở ng c ủa thu nh ập qu ốc dân. Câu 2. M ột doanh nghi ệp có hàm chi phí c ận biên : 2 MC(Q) 0, 9Q 6Q 19 = - + , v ới Q là s ản l ượ ng 1) Hãy tìm hàm t ổng chi phí c ủa doanh nghi ệp, bi ết chi phí c ố định b ằng 30.

2) Hãy xác định hàm chi phí bi ến đổ i bình quân và m ức s ản l ượ ng c ực ti ểu hóa hàm này. Câu 3. Lượ ng đầ u t ư tại th ời điểm t cho b ởi hàm s ố:

( ) 3 I(t ) 5t t t 1 t = + Bi ết qu ỹ vốn vào th ời điểm xu ất phát K (0) 84 = , tìm hàm qu ỹ vốn t ại th ời điểm t 4.= Câu 4. Cho mô hình thu nh ập qu ốc dân 0 0 Y C I G C 150 0, 8(Y T) T 0, 2Y = + +   = + -   =  Trong đó Y là thu nh ập qu ốc dân, 0I là đầ u t ư, 0G là chi tiêu chính ph ủ, C là tiêu dùng, T là thu ế. Tìm thu nh ập qu ốc dân và tiêu dùng ở tr ạng thái cân b ằng khi 0 0I 200, G 900. = = Câu 5. M ột hãng có hai c ơ sở sản xu ất v ới các hàm s ản xu ất có d ạng:

( ) 0,5 1 1Q 2 L 100 = + và ( ) 0,5 2 2Q 2 L 200 = + Tìm ph ươ ng án s ử dụng nhân công t ại hai c ơ sở để hãng có th ể làm ra m ột lô hàng là 200 đơ n v ị với giá thành nh ỏ nh ất, bi ết giá thu ế công nhân t ại hai c ơ sở là nh ư nhau là w USD/ đơ n v ị lao độ ng.

Đề số 03 Câu 1. Cho hàm cung và hàm c ầu c ủa m ột lo ại hàng háo nh ư sau :

0,45 0,25 D 1, 5Y P - = ; 0,35 S 1, 5P= .

Trong đó: Y là thu nh ập, P là giá c ủa hàng hóa.

1) Xác định h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá, theo thu nh ập và nêu ý ngh ĩa.

2) Xem xét m ức tác độ ng c ủa thu nh ập t ới m ức giá cân b ằng. 206 Câu 2. Cho hàm s ản ph ẩm c ận biên c ủa lao độ ng 0,5 MPL 40L = . Tìm hàm s ản xu ất ng ắn h ạn Q f (L) = , bi ết r ằng Q(100) 4000 = .

Câu 3. Xét th ị tr ườ ng ba lo ại hàng hóa v ới hàm cung và hàm c ầu nh ư sau:

1 1S 1 D 1 3Q 10 P ; Q 20 P P = - + = - - 2 2S 2 D 2 3Q 2P ; Q 40 2P P = = - - 3 3S 3 D 1 2 3Q 5 3P ; Q 10 P P P = - + = - + - Hãy xác định b ộ giá tr ị và l ượ ng cân b ằng th ị tr ườ ng c ủa ba hàng hóa đó b ằng quy t ắc Cramer.

Câu 4. Cho hàm chi phí trung bình c ủa doanh nghi ệp c ạnh tranh hoàn h ảo nh ư sau:

2 12 1 1 AV(Q) Q Q 10 Q 2 4 = - + + 1) Tìm hàm chi phí c ận biên.

2) Với giá bán P 106= , Tìm Q để lợi nhu ận c ực đạ i. Câu 5. M ột công ty có hàm s ản xu ất: 0,4 0,3 Q K L = , trong đó K, L l ần l ượ t là v ốn và lao độ ng. Bi ết giá m ột đơ n v ị vốn là 4 USD và giá m ột đơ n v ị lao độ ng là 3 USD. N ếu doanh nghi ệp chi s ố tiền 1050 USD. Tìm m ức s ử dụng v ốn và lao độ ng để tối đa hóa s ản l ượ ng. Đề số 04 Câu 1. Cho bi ết hàm chi phí c ận biên ở m ỗi m ức s ản l ượ ng Q là: 2 MC(Q) 36 28Q 12Q = + - và FC 53 = . Hãy tìm hàm t ổng chi phí và chi phí bi ến đổ i. Câu 2. 1) Cho hàm c ầu 2 D 6P P = - . Hãy tính h ệ số co dãn c ủa c ầu theo giá t ại múc giá P 5= và nêu ý ngh ĩa.

2) Cho hàm đầ u t ư 3 I(t ) t = . Hãy tìm hàm qu ỹ vốn K (t) , bi ết qu ỹ vốn t ại th ời điểm ban đầ u b ằng 100000. Câu 3. M ột doanh nghi ệp độ c quy ền s ản xu ất hai lo ại s ản ph ẩm. Cho bi ết hàm c ầu đố i v ới hai lo ại s ản ph ẩm đó nh ư sau: 1 1 2 2 1 Q 210 P ; Q 60 P 3 = - = - v ới hàm chi phí k ết h ợp 1 2 C 30(Q Q ) = + . Hãy tìm s ản l ượ ng 1Q và 2Q và giá bán t ươ ng ứng để doanh nghi ệp thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. 207 Câu 4. Cho mô hình cân b ằng kinh t ế:

0 0 Y C I G ; = + + ( ) 0 C C b Y T ; = + - 0 T T tY. = + Cho 0 0 0 0C 80; I 90; G 81; T 20; b 0, 9; t 0,1. = = = = = = Xác định m ức cân b ằng c ủa Y.

N ếu 0C tăng 1% thì m ức cân b ằng c ủa Y thay đổ i nh ư th ế nào? Câu 5. Đị nh K, L sao cho hàm chi phí C L 0, 01K = + (K 0, L 0 > > ) đạ t giá tr ị nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện K L 20 × = . Đề số 05 Câu 1. Cho hàm doanh thu trung bình: ( ) AR Q 60 3Q. = - Tìm hàm doanh thu c ận biên, ( ) MR Q . Ch ứng minh r ằng hàm ( ) AR Q và hàm ( ) MR Q có cùng tung độ góc, nh ưng độ d ốc c ủa ( ) MR Q gấp đôi độ dốc c ủa ( ) AR Q . Câu 2. Cho hàm c ầu v ề m ột lo ại nông s ản: D 200 50P. = - Có 50 c ơ sở gi ống h ệt nhau cùng tr ồng lo ại nông s ản này v ới hàm chi phí c ủa m ỗi c ơ sở là ( ) 2 TC Q Q = (Q là s ản l ượ ng). Hãy xác định l ượ ng cung t ối ưu c ủa m ỗi c ơ sở và giá cân b ằng th ị tr ườ ng. Câu 3. Cho mô hình Y C I; = + 0 C C aY, (0 a 1); = + < < 0 I I br, (b 0);= - > 0 L L mY nr, (m, n 0); = + - > s M L. = Trong đó Y là thu nh ập qu ốc dân, I là đầ u t ư, C là tiêu dùng, L là m ức c ầu ti ền, s M là m ức cung ti ền, r là lãi su ất.

1) Hãy xác định thu nh ập qu ốc dân và lãi su ất cân b ằng.

2) Cho 0 0 a 0, 7; b 1800; C 500; I 400;= = = = 0L 800; m 0, 6; = = n 1200;= 208 s M 2000 = . Tính h ệ số co dãn c ủa thu nh ập, lãi su ất theo m ức cung ti ền t ại điểm cân b ằng và nêu ý ngh ĩa. Câu 4. Cho hàm s ản xu ất c ủa hãng 3 2 4 Q 300 K L = , bi ết giá thuê m ột đơ n v ị tư bản K b ằng 100, giá thuê m ột đơ n v ị lao độ ng b ằng 150, giá s ản ph ẩm b ằng 1. Hãy xác định m ức s ử d ụng K và L để hãng thu đượ c l ợi nhu ận t ối đa. Câu 5. Cho bi ết hàm c ầu và hàm cung:

( ) 1 D Q 276 2Q- = - ; ( ) 1 S Q 6 Q- = + .

Hãy tính th ặng d ư của ng ườ i s ản xu ất và th ặng d ư của ng ườ i tiêu dùng. 209 TÀI LI ỆU THAM KH ẢO [1] Nguy ễn Huy Hoàng (ch ủ biên), Lê Th ị Anh, Phùng Minh Đứ c, Bùi Qu ốc Hoàn, Ph ạm B ảo Lâm, Nguy ễn Mai Quyên, Đoàn Tr ọng Tuy ến, Hoàng V ăn Th ắng – H ướ ng d ẫn gi ải bài t ập Toán cao c ấp cho các nhà kinh t ế, NXB ĐHKTQD, 2006& NXB Th ống kê, 2007 [2] B ộ môn toán c ơ bản – Bài t ập toán cao c ấp, NXB Đạ i h ọc Kinh t ế Qu ốc dân, 2008.

[3] Nguy ễn Huy Hoàng – Toán c ơ sở cho kinh t ế, NXB Thông tin và Truy ền thông, 2011& NXB GD, 2014.

[4] Nguy ễn Th ị An, Nguy ễn Huy Hoàng, Gi ới thi ệu đề thi tuy ển sinh Sau đạ i h ọc (2006 – 2012), Môn Toán Kinh t ế (Ph ần Toán c ơ sở cho Kinh t ế), NXB Chính tr ị – Hành chính, 2012.

[5] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Applied Calculus For Business, Economics, and the Social and Life Sciences, The Mc. Graw - Hill Companies, Inc (Expanded 10 th ed), 2010.

[6] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ra y Rees, Thanasis Stengos, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 2011.

[7] Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ra y Rees, Thanasis Stengos, Solutions Manual Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (second edition), 20 11.

[8] A. C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics , Mc GrawHill, Inc., 3rd edition, 1984.

[9] A. C. Chiang, Instructor’s Manual to accompany Fundamental Method s of Mathematical Economics , Mc GrawHill, Inc., 4rd edition, 2005.