I am in desperate need for a help on a exam i will be having soon and i am willing to pay a good amount of money! Please message me as soon as possible.

1 Formelsamling Statistikk 11.01.21 Komplementsetning ⤽(⤮ⷡ)= ╾−⤽(⤮) ⤽(⤮ⷡ␌⤯)= ╾−⤽(⤮␌⤯) Addisjonssetningen ⤽(⤮⟶⤯)= ⤽(⤮)+⤽(⤯)−⤽(⤮⟵⤯) Betinget sannsynlighet ⤽(⤮␌⤯)= ⷔ(ⷅ⟵ⷆ) ⷔ(ⷆ) Bayes lov ⤽(⤯␌⤮)= ⷔ(ⷅ␌ⷆ)ⷔ(ⷆ) ⷔ(ⷅ) Total sannsynlighet (oppsplittingsprinsippet) ␾= ⤯ⵀ⟶⤯ⵁ⟶⢹ ⟶⤯ⷒ der ⤯ⵀ, ⤯ⵁ, . . . , ⤯ⷒ er disjunkte. Da er ⤽(⤮)= ⤽(⤮␌⤯ⵀ)⢏⤽(⤯ⵀ)+⤽(⤮␌⤯ⵁ)⢏⤽(⤯ⵁ)+⢹ +⤽(⤮␌⤯ⷒ)⢏⤽(⤯ⷒ). Viktig spesialtilfelle : Når ␾= ⤯⟶⤯ⷡ er ⤽(⤮)= ⤽(⤮␌⤯)⢏⤽(⤯)+⤽(⤮␌⤯ⷡ)⢏⤽(⤯ⷡ) A og B uavhengige ⤽(⤮⟵⤯)= ⤽(⤮)⢏⤽(⤯) ⤽(⤮␌⤯)= ⤽(⤮) ⤽(⤯␌⤮)= ⤽(⤯) Antall forskjellige utvalg når s enheter trekkes fra i alt N enheter Ordnet utvalg med tilbakelegging: ⤻ⷱ Or dnet utvalg uten tilbakelegging: (⤻)ⷱ= ⤻(⤻−╾)(⤻−╿)⢹ (⤻−⥚+╾)= ⷒ⏳ (ⷒⵊⷱ)⏳ Når ⥚= ⤻ får vi antall rekkefølger : (⤻)ⷒ= ⤻⏳= ⤻⢏(⤻−╾)⢏(⤻−╿)⢹ ▀⢏╿⢏╾ Uor dnet utvalg uten tilbakelegging: (⤻ ⥚)= (ⷒ)⻩ⷱ⏳= ⷒ⏳ ⷱ⏳(ⷒⵊⷱ)⏳ Sannsynlighetsfordeling ⤽(⥟)= ⤽(⥅= ⥟) Kumulativ fordelingsfunksjon ⤳(⥟)= ⤽(⥅≤ ⥟) Simultanfordeling ⥗(⥟⏬⥠)= ⤽(⥅= ⥟ ⊜⊔ ⥆= ⥠) Forventning ⤲[⥅]= ⥟ⵀ⢏⤽(⥅= ⥟ⵀ)+⥟ⵁ⢏⤽(⥅= ⥟ⵁ)+⢹ +⥟ⷬ⢏⤽(⥅= ⥟ⷬ)= ⿘ ⥟ⷧ⢏⤽(⥅= ⥟ⷧ) ⷬ ⷧⵋⵀ Varians V⊎⊟ [⥅]= ⤲[(⥅−⤲[⥅])ⵁ]= ⤲[⥅ⵁ]−(⤲[⥅])ⵁ= ⿘ ⥟ⷧⵁ⢏⤽(⥅= ⥟ⷧ) ⷬ ⷧⵋⵀ −(⤲[⥅])ⵁ Standardavvik ⧵[⥅]= ⾰V⊎⊟ [⥅] Kovarians mellom variabler C⊜⊣ [⥅⏬⥆]= ⤲[(⥅−⤲[⥅])(⥆−⤲[⥆])]= ⤲[⥅⢏⥆]−⤲[⥅]⢏⤲[⥆] der ⤲[⥅⢏⥆]= ◎ ◎ ⥟ⷧ⢏⥠ⷨ⢏⤽⽶⥅= ⥟ⷧ ⊜⊔ ⥆= ⥠ⷨ⽺ ⷫⷨⵋⵀ ⷬⷧⵋⵀ Korrelasjonskoeffisienten mellom variabler ⧴[⥅⏬⥆]= ⵒ⵸⵿ [ⷜ⏬ⷝ] ⾰V⊎⊟ [ⷜ]⢏⾰V⊎⊟ [ⷝ] Regneregler ⤲[⥅+⥆]= ⤲[⥅]+⤲[⥆] ⤲[⥉⥅ ]= ⥉⤲ [⥅] ⤲[⥈]= ⥈ V⊎⊟ [⥈+⥉⥅ ]= ⥉ⵁV⊎⊟ [⥅] a og b konstanter V⊎⊟ [⥅+⥆]= V⊎⊟ [⥅]+V⊎⊟ [⥆]+╿C⊜⊣ [⥅⏬⥆] Hvis ⪏ og ⪐ er uavhengige er ⥗(⥟⏬⥠)= ⤽(⥅= ⥟ ⊜⊔ ⥆= ⥠)= ⤽(⥅= ⥟)⢏⤽(⥆= ⥠) C⊜⊣ [⥅⏬⥆]= ╽ og ⤲[⥅⢏⥆]= ⤲[⥅]⢏⤲[⥆] V⊎⊟ [⥅+⥆]= V⊎⊟ [⥅]+V⊎⊟ [⥆] Binomisk fordeling ⥅┼B⊖⊛ (⥕⏬⥗) ⤽(⥅= ⥟)= (⥕ ⥟)⥗ⷶ(╾−⥗)ⷬⵊⷶ ⤲[⥅]= ⥕⢏⥗ V⊎⊟ [⥅]= ⥕⢏⥗(╾−⥗) Normaltilnærming ⥅≈ ⤻⽶⥕⥗ ⏬⥕⥗ (╾−⥗)⽺ når ⥕⥗ (╾−⥗)≥ ╾╽ Hypergeometrisk fordeling ⥅┼H⊦⊝⊒⊟⊔⊒⊜⊚⊒⊡⊟⊖⊠⊘ (⤻⏬⤺⏬⥕) ⤽(⥅= ⥟)= (ⷑⷶ)(ⷒⵊⷑⷬⵊⷶ) (ⷒⷬ) ⤲[⥅]= ⥕ⷑ ⷒ V⊎⊟ [⥅]= ⷒⵊⷬ ⷒⵊⵀ⢏⥕ⷑ ⷒ⢏(╾−ⷑ ⷒ) Normaltilnærming ⥅≈ ⤻⽶⥕⧫ ⏬⥕⧫ (╾−⧫)⽺ når ⤻ ≥ ╿╽ ⥕ og ⥕⧫ (╾−⧫)≥ ╾╽ der ⧫= ⷑ ⷒ Poissonfordeling ⥅┼P⊜⊖⊠⊠⊜⊛ (⧮) ⤽(⥅= ⥟)= ⸝⻮ ⷶ⏳⥌ⵊ⸝ ⤲[⥅]= ⧮ V⊎⊟ [⥅]= ⧮ Normaltilnærming ⥅≈ ⤻(⧮⏬⧮) når ⧮≥ ╾╽ Normalfordeling ⥅┼⤻(⧯⏬⧵ⵁ) ⤲[⥅]= ⧯ V⊎⊟ [⥅]= ⧵ⵁ ⤽(⥅≤ ⥟)= ⤴(ⷶⵊ⸞ ⸤) (verdier i tabell) ⤴(−⥜)= ╾−⤴(⥜) Kombinasjoner: ⥅ⵀ, . . . , ⥅ⷬ uavhengige med ⥅ⷧ┼⤻(⧯⏬⧵ⵁ). Da er ⥀= ⥅ⵀ+⢹ +⥅ⷬ┼⤻(⥕⧯ ⏬⥕⧵ⵁ) ⊜⊔ ⥅⼯= ╾ ⥕(⥅ⵀ+⢹ +⥅ⷬ)┼⤻(⧯⏬⧵ⵁ ⥕) Sentralgrensesetningen ⥅ⵀ, . . . , ⥅ⷬ uavhengige variabler med samme fordeling med ⤲[⥅ⷧ]= ⧯ og V⊎⊟ [⥅ⷧ]= ⧵ⵁ. For ⥕≥ ▀╽ er da ⥀= ⥅ⵀ+⢹ +⥅ⷬ≈ ⤻(⥕⧯ ⏬⥕⧵ⵁ) ⊜⊔ ⥅⼯= ╾ ⥕(⥅ⵀ+⢹ +⥅ⷬ)≈ ⤻(⧯⏬⧵ⵁ ⥕) 2 Estimering i m ålemodellen ⥅ⵀ, . . . , ⥅ⷬ er uavhengige med samme fordeling med ⤲[⥅ⷧ]= ⧯ og V⊎⊟ [⥅ⷧ]= ⧵ⵁ. Disse oppfattes som ⥕ observasjoner av et fenomen med sann forventnings verdi ⧯ og hvor variansen ⧵ⵁ er uttrykk for måleusikkerheten. Punktestimator for forventning en ⧯ er gjennomsnittet i utvalget ⧯⏃= ⥅⼯= ╾ ⥕⿘ ⥅ⷧ ⷬ ⷧⵋⵀ ⊚⊒⊑ ⤲[⧯⏃]= ⧯ ⊜⊔ V⊎⊟ [⧯⏃]= ⧵ⵁ ⥕ Punktestimator for variansen ⧵ⵁ er utvalgsvariansen ⧵⿧ⵁ= ⥀ⷜⵁ= ╾ ⥕−╾⿘ (⥅ⷧ−⥅⼯)ⵁ ⷬ ⷧⵋⵀ ⤲[⧵⿧ⵁ]= ⧵ⵁ Punktestimator for standardavviket ⧵ er utvalgsstandardavviket ⧵⿧= ⥀ⷜ= ⾰⧵⿧ⵁ ⤲[⧵⿧]= ⧵ (⳥−⫆)⢏⳥ⳤⳤ △ konfidensintervall for ⫑ ⫗ kjent , no rmalfordelte observasjoner eller ⥕≥ ▀╽ ⥅⼯±⥜⸓␋ⵁ⸤ ◉ⷬ der ⥜⸓␋ⵁ er ⧤␋╿ – frak tilen i ⤻(╽⏬╾) fordelingen. ⫗ ukjent , normalfordelte observasjoner ⥅⼯±⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ)⷗⻔◉ⷬ der ⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ) er ⧤␋╿ – fraktilen i ⥛-fordelingen med ⥕−╾ frihetsgrader. Estimering i binomisk modell ⪏┼⩹⪚⪟ (⪟⏬⪡) Punktestimator for ⥗ er andelen i utvalget ⥗⏃= ⥅ ⥕ ⊚⊒⊑ ⤲[⥗⏃]= ⤲[⥅ ⥕]= ⥗ ⊜⊔ V⊎⊟ [⥗⏃]= V⊎⊟ [⥅ ⥕]= ⥗(╾−⥗) ⥕ Hvis ⥕⥗ (╾−⥗)≥ ╾╽ er ⥅≈ ⤻(⥕⥗ ⏬⥕⥗ (╾−⥗)) og tilnærmet (╾−⧤)⢏╾╽╽ △ konfidensintervall for ⥗ er ⥗⏃±⥜⸓␋ⵁ√ⷮ⿧(ⵀⵊⷮ⿧) ⷬ der ⥜⸓␋ⵁ er ⧤␋╿ – fraktilen i ⤻(╽⏬╾) fordelingen. Estimering i hypergeometrisk modell ⪏┼H⊦⊝⊒⊟⊔⊒⊜⊚⊒⊡⊟⊖⊠⊘ (⪅⏬⪄⏬⪟) ⧫= ⷑ ⷒ For ⤻ ≥ ╿╽ ⥕ og ⥕⧫ (╾−⧫)≥ ╾╽ er ⥅≈ ⤻(⥕⧫ ⏬⥕⧫ (╾−⧫)) Konfidensintervall for ⧫= ⷑ ⷒ er da analogt med binomisk modell med ⧫⿫ ⪑-test for forventning ⫑ i målemodellen (kjent standardavvik ⫗) Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑> ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯> ⧯ⴿ+⥜⸓⸤ ◉ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⸤␋◉ⷬ> ⥜⸓ Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑< ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯< ⧯ⴿ−⥜⸓⸤ ◉ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⸤␋◉ⷬ< −⥜⸓ Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑≠ ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯< ⧯ⴿ−⥜⸓␋ⵁ⸤ ◉ⷬ eller ⥅⼯> ⧯ⴿ+⥜⸓␋ⵁ⸤ ◉ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⸤␋◉ⷬ< −⥜⸓␋ⵁ eller ⥇= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⸤␋◉ⷬ> ⥜⸓␋ⵁ ⪥-test for forventning ⫑ i målemodellen (ukjent standardavvik) Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑> ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯> ⧯ⴿ+⥛⸓(ⷬⵊⵀ)⷗⻔◉ⷬ dvs. hvis ⥁= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⷗⻔␋◉ⷬ> ⥛⸓(ⷬⵊⵀ) Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑< ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯< ⧯ⴿ−⥛⸓(ⷬⵊⵀ)⷗⻔◉ⷬ dvs. hvis ⥁= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⷗⻔␋◉ⷬ< −⥛⸓(ⷬⵊⵀ) Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑= ⫑ⳤ mot ⩿⩸⠂⫑≠ ⫑ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥅⼯< ⧯ⴿ−⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ)⷗⻔◉ⷬ eller ⥅⼯> ⧯ⴿ+⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ)⷗⻔◉ⷬ dvs. hvis ⥁= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⷗⻔␋◉ⷬ< −⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ) eller ⥁= ⷜ⼯ⵊ⸞⸷ ⷗⻔␋◉ⷬ> ⥛⸓␋ⵁ(ⷬⵊⵀ) Testing av binomiske variabler der ⪟⪡ⳤ(⳥−⪡ⳤ)≥ ⳩. Hypoteser ⩿ⳤ⠂⪡= ⪡ⳤ mot ⩿⩸⠂⪡> ⪡ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⷜ ⷬ> ⥗ⴿ+⥜⸓√ⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷) ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜⵊⷬⷮ⸷ ⾰ⷬⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷)> ⥜⸓ Hypoteser ⩿ⳤ⠂⪡= ⪡ⳤ mot ⩿⩸⠂⪡< ⪡ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⷜ ⷬ< ⥗ⴿ−⥜⸓√ⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷) ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜⵊⷬⷮ⸷ ⾰ⷬⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷)< −⥜⸓ Hypoteser ⩿ⳤ⠂⪡= ⪡ⳤ mot ⩿⩸⠂⪡≠ ⪡ⳤ Forkast ⤵ⴿ hvis ⷜ ⷬ< ⥗ⴿ−⥜⸓␋ⵁ√ⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷) ⷬ eller ⷜ ⷬ> ⥗ⴿ+⥜⸓␋ⵁ√ⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷) ⷬ dvs. hvis ⥇= ⷜⵊⷬⷮ⸷ ⾰ⷬⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷)< −⥜⸓␋ⵁ eller ⥇= ⷜⵊⷬⷮ⸷ ⾰ⷬⷮ⸷(ⵀⵊⷮ⸷)> ⥜⸓␋ⵁ 3 Tosidig t-test for sammenlikning av to grupper Hypoteser ⩿ⳤ⠂⫑⪏= ⫑⪐ mot ⩿⩸⠂⫑⪏≠ ⫑⪐ Uavhengige og normalfordelte observasjoner med lik varians . Regn ut: ⥀ⵁ= ╾ ⥕ⵀ+⥕ⵁ−╿(⿘ (⥅ⷧ−⥅⼯)ⵁ ⷬ⸸ ⷧⵋⵀ +⿘ (⥆ⷧ−⥆⼯)ⵁ ⷬ⸹ ⷧⵋⵀ ) ⥀[⧧㐣]= ⥀⢏√╾ ⥕ⵀ+ ╾ ⥕ⵁ ⥁= ⥅⼯−⥆⼯ ⥀[⧧㐣] Forkast ⤵ⴿ hvis ⥁< −⥛⸓␋ⵁ(ⷴ) eller ⥁> ⥛⸓␋ⵁ(ⷴ) der ⥝= ⥕ⵀ+⥕ⵁ−╿. Korrelasjon skoeffisienten Observasjoner (⥅ⵀ⏬⥆ⵀ) ⏬(⥅ⵁ⏬⥆ⵁ) ⏬⏰⏬(⥅ⷬ⏬⥆ⷬ) ⤿ⷜⷝ = ⥀ⷜⷝ ⥀ⷜ⢏⥀ⷝ ⊑⊒⊟ ⥀ⷜⷝ = ╾ ⥕−╾⿘ (⥅ⷧ−⥅⼯)(⥆ⷧ−⥆⼯) er utvalgskovariansen og ⥀ⷜ og ⥀ⷝ er utvalgsstandardavvikene . ⤿ⷜⷝ måler graden av lineær samvariasjon og v i har −╾≤ ⤿ⷜⷝ ≤ ╾. Lineær r egresjon Modell ⥆= ⧤+⧥⥅ +⥌ ⥌┼⤻(╽⏬⧵ⵁ) Observasjoner (⥅ⵀ⏬⥆ⵀ) ⏬(⥅ⵁ⏬⥆ⵁ) ⏬⏰⏬(⥅ⷬ⏬⥆ⷬ) ⤺ = ⿘ (⥅ⷧ−⥅⼯)ⵁ ⧥㐣= ╾ ⤺ ⿘ (⥅ⷧ−⥅⼯)(⥆ⷧ−⥆⼯) ⧤⿧= ⥆⼯−⧥㐣⥅⼯ Estimert regresjonslinje ⥆⿫= ⧤⿧+⧥㐣⥅ Estimert varians ⧵⿧ⵁ= ⥀ⵁ= ⵀ ⷬⵊⵁ◎⽶⥆ⷧ−⥆⿫ⷧ⽺ⵁ Forklaringskraft ⤿ⵁ= ╾−⷗⷗ⷉ ⷗⷗ⷘ ⥀⥀⤲ = ◎⽶⥆ⷧ−⥆⿫ⷧ⽺ⵁ ⥀⥀⥁ = ◎(⥆ⷧ−⥆⼯)ⵁ Hypotesetest ⤵ⴿ⠂ ⧥⧥ = ╽ ⤵ⷅ⠂ ⧥≠ ╽ ⥁= ⧥㐣 ⥀[⧥㐣]= ⧥㐣 ⥀ ◉⤺ = ⧥㐣 ⥀◉⤺ Forkast ⤵ⴿ hvis ⥁< −⥛ⴿ⏬ⴿⵁⵄ(ⷬⵊⵁ) eller ⥁> ⥛ⴿ⏬ⴿⵁⵄ(ⷬⵊⵁ) (signifikansnivå 5 %) Estimert verdi for forventet verdi ⤲[⥆] når ⥅= ⥟ finnes ved ⥆⿫= ⧤⿧+⧥㐣⢏⥟ ▆▂ △ konfidensintervall ⥆⿫±⥛ⴿ⏬ⴿⵁⵄ(ⷬⵊⵁ)⥀[⥆⿫] ⊑⊒⊟ ⥀[⥆⿫]= ⥀⢏√╾ ⥕+(⥟−⥅⼯)ⵁ ⤺ Predikert verdi for ⥆ selv, når ⥅= ⥟ finnes ved ⥆⿫= ⧤⿧+⧥㐣⢏⥟ ▆▂ △ konfidensintervall ⥆⿫±⥛ⴿ⏬ⴿⵁⵄ(ⷬⵊⵁ)⥀[⥆−⥆⿫] ⊑⊒⊟ ⥀[⥆−⥆⿫]= ⥀⢏√╾+╾ ⥕+(⥟−⥅⼯)ⵁ ⤺ Kjikvadrattest for sannsynligheter ⤵ⴿ : Utfallene har sannsynligheter ⥗ⵀ ⏬⥗ⵁ ⏬⏰⏬⥗ⷫ (dvs. lik de oppgitte sanns.) ⤵ⷅ : Ikke alle sannsynligheter er lik de oppgitte. ⤾= (⥅ⵀ−⥕⥗ⵀ)ⵁ ⥕⥗ⵀ +(⥅ⵁ−⥕⥗ⵁ)ⵁ ⥕⥗ⵁ +⢹ +(⥅ⷫ−⥕⥗ⷫ)ⵁ ⥕⥗ⷫ Forkast ⤵ⴿ hvis ⤾≥ ⥘⸓(ⷫⵊⵀ)= ⧤-fraktilen i kjikvadratfordelingen med ⥔ −╾ frihetsgrader. Kjikvadrattest for uavhengighet (krysstabeller) ⤵ⴿ : Kjennetegnene er uavhengige ⤵ⷅ : Kjennetegnene er avhengige. ⤾= ⿘⽶⥅ⷧⷨ−⤲ⷧⷨ⽺ⵁ ⤲ⷧⷨ ⊑⊒⊟ ⤲ⷧⷨ= ⤮ⷧ⤯ⷨ ⥕ Forkast ⤵ⴿ hvis ⤾≥ ⥘⸓(⸟)= ⧤-fraktilen i kjikvadratfordelingen med ⧰= (⤺ −╾)(⤻−╾) frihetsgrader. Kjennetegn 1 Totalt Kjennetegn 2 ⥅ⵀⵀ ⥅ⵁⵀ ⢹ ⥅ⷒⵀ ⤯ⵀ ⥅ⵀⵁ ⥅ⵁⵁ ⥅ⷒⵁ ⤯ⵁ ⢸ ⢸ kkkk ⢸ ⢸ ⥅ⵀⷑ ⥅ⵁⷑ ⥅ⷒⷑ ⤯ⷑ Totalt ⤮ⵀ ⤮ⵁ ⢹ ⤮ⷒ ⥕