Question A : Soit G un groupe fini et soit L(G) l'ensemble des fonctions sur ce groupe : L(G) ={f | f : G C}. Cet ensemble L(G) est muni du produit...

Question A : Soit G un groupe fini et soit L(G) l’ensemble des fonctions sur ce groupe : L(G) ={f | f : G → C}. Cet ensemble L(G) est muni du produit scalaire h , iL(G): L(G) × L(G) → Cdonné parhf1, f2iL(G) =1|G|Xg∈Gf1(g) f2(g), pour f1, f2 ∈ L(G).Le but de cette première Question A est de construire une base orthonormée de l’ensemble L(G).Soit h , iC le produit scalaire usuel sur Cn : hv, wiCn = v†· w pour v, w ∈ Cn. (La notation v†dénote le vecteur obtenu en faisant la transposition et la conjugaison complexe du vecteur v.) Unereprésentation ρ : G → GL(n, C) de G est dite unitaire sihρ(g)v, ρ(g)wiCn = hv, wiCn , pour tout g ∈ G et tout v, w ∈ Cn.Le groupe des matrices unitaires n × n sera noté U(n).(15) 1. Toute représentation ρ : G → GL(n, C) du groupe fini G est équivalente à une représentationunitaire.Suggestion : étudier la forme quadratique (v, w) = 1|G|Pg∈Ghρ(g)v, ρ(g)wiCn où v, w ∈ Cn.Soient V et W deux CG-modules et T : V → W une transformation linéraire. Soit T^ : V → W lafonction définie par T^ =1|G|Pg∈G g−1 ◦ T ◦ g. (Note : les deux symboles « g » de cette expressionreprésentent en général deux fonctions distinctes.) Soit enfin φ la fonction Tφ7→ T^.